专题10 圆与圆的位置关系（八大题型精练）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题10 圆与圆的位置关系 题型1 判断圆与圆的位置共线 1．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 3．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 4．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 5．（24-25高二下·上海·周测）已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 6．（2025高三·全国·周测）两圆与的位置关系是 ． 题型2 根据圆与圆的位置关系求参数 7．（24-25高二上·贵州黔南·月考已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·吉林四平·期中）若圆和圆相切，则等于（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 9．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 11．（24-25高二下·河南信阳·周测）已知圆和圆相切，则 题型3 两圆的公切线长 12．（24-25高二上·湖南·周测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 13．（24-25高二下·浙江·开学考试）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·广东肇庆·月考）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·河南郑州·期中）（多选题）已知圆与圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相切 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．两圆的公切线有两条 D．两圆的公共弦长为 17．（2025高三·全国·周测）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 18．（2023·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 题型4 求两圆的公切线方程 19．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 20．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 21．（23-24高二下·江苏盐城·周测）（多选题）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 23．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 题型5 两圆的公切线条数问题 24．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高三下·江苏常州·月考）圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 27．（23-24高三上·湖南·月考）（多选题）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 28．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）（多选题）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 29．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有 条. 30．（24-25高二上·吉林·期末）圆和圆的公切线条数为 . 31．（24-25高二上·山东·阶段练习）与圆，都相切的直线有 条． 题型6 相交圆的公共弦方程 32．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 35．（24-25高二上·河北唐山·期中）（多选题）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 36．（22-23高二上·河南南阳·周测）若两圆，的公共弦长为，则公共弦所在直线的方程为 . 37．（24-25高二下·海南海口·周测）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 题型7 两圆的公共弦长问题 38．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 39．（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高二上·江苏镇江·期中）（多选题）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 41．（24-25高二上·四川乐山·期末）（多选题）已知和，则下列说法正确的是（   ） A．两圆相交，有两个公共点 B．两圆的公共弦所在直线方程为 C．两圆公共弦长度为 D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 42．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 43．（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 题型8 圆系方程及其应用 44．（多选题）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，） B．直线的方程为 C．线段的长为 D．两圆有两条公切线与 45．（多选题）已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．所有过点、的圆系的方程可以记为 46．（24-25高二上·江苏扬州·期末）（多选题）已知圆与圆，下列选项正确的有（   ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 47．（24-25高二上·四川成都·月考）（多选题）已知圆和圆相交于A、B两点，下列说法正确的是（   ） A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为 48．若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 49．已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 50．（24-25高一下·浙江·期中）已知直线，圆，圆：. (1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程. 51．（24-25高二上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点，    (1)若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； (2)证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 52．（24-25高二上·甘肃·期末）已知圆，圆． (1)若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； (2)若圆与直线相交于两点，且，求的值． 53．（24-25高二上·广西河池·月考）已知圆，圆． (1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长； (2)已知过点的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 圆与圆的位置关系 题型1 判断圆与圆的位置共线 1．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 2．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离. 故选：B 3．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数、圆的公切线长 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 4．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可. 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 5．（24-25高二下·上海·周测）已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 6．（2025高三·全国·周测）两圆与的位置关系是 ． 【答案】内切 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】由圆心距与半径和差关系即可判断； 【详解】由方程可知：两圆的圆心分别为，，半径分别为1，2， ，，两圆内切． 故答案为：内切 题型2 根据圆与圆的位置关系求参数 7．（24-25高二上·贵州黔南·月考已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 8．（24-25高二上·吉林四平·期中）若圆和圆相切，则等于（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆的位置关系列式计算即可. 【详解】由题意圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 则，所以当两圆外切时，，解得； 当两圆内切时，，解得，不合题意； 所以. 故选：B 9．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 10．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆位置关系构造方程求解即可. 【详解】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：或 11．（24-25高二下·河南信阳·周测）已知圆和圆相切，则 【答案】或或 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆相内切和外切时，圆心距与两圆半径的关系列出等式计算即可. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由圆可知圆心，半径， 所以当两圆相内切时，圆心距，解得； 当两圆相外切时，圆心距，解得或， 所以的值为或或. 故答案为：或或 题型3 两圆的公切线长 12．（24-25高二上·湖南·周测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线长 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 13．（24-25高二下·浙江·开学考试）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，再根据垂径定理和点到直线的距离公式可得. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 联立与得公共弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， 故选：C 14．（24-25高二上·广东肇庆·月考）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】两圆方程相减求得直线方程，然后求得一个圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【详解】由已知，两圆方程相减得，这是两圆公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 故选：B． 15．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】先由两圆相减得到公共弦方程，再由几何法求出弦长即可； 【详解】圆即， 两圆方程相减可得公共弦方程为， 圆心到公共弦的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B. 16．（24-25高二上·河南郑州·期中）（多选题）已知圆与圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相切 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．两圆的公切线有两条 D．两圆的公共弦长为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、圆的公切线条数 【分析】根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系，进而判断两圆相切是否正确；通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程；根据两圆位置关系判断公切线的条数；再利用弦长公式计算公共弦长. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，圆心距. ，，而，所以两圆相交，故A选项错误. 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即，化简得，故B选项正确. 因为两圆相交，所以公切线有两条，故C选项正确. 先求圆心到公共弦的距离， . 根据弦长公式，则弦长，故D选项错误. 故选：BC. 17．（2025高三·全国·周测）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线长 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 18．（2023·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线长 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    题型4 求两圆的公切线方程 19．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线方程 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 20．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 21．（23-24高二下·江苏盐城·周测）（多选题）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数、圆的公切线方程 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 22．（24-25高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线方程 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 23．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 题型5 两圆的公切线条数问题 24．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 25．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D 26．（24-25高三下·江苏常州·月考）圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据有3条公切线，得两圆外切，从而，解出的值即可. 【详解】因为是圆，所以， 因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切， 因为，所以，解得， 故选：C. 27．（23-24高三上·湖南·月考）（多选题）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断点与圆的位置关系、判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程 【分析】A项，由圆心在圆内可知两圆内切；B项，由两圆内切条件建立关于的方程求解即可；CD项，法一由两圆心连线斜率求出切线斜率，再求出切点可得方程，法二由两圆方程作差化简即得公切线方程. 【详解】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切. 圆：的圆心为，半径为， 圆：（）， 即，圆心，半径为. A项，将代入方程左边得， 则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确； B项，圆， 由圆与内切，所以， 由，即，解得，故B正确； CD项， ，得，则公切线斜率为， 法一：联立方程和，解得， 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 法二： ①；②， 两圆方程作差得，即． 设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程， 又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直， 故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线. 故C错误，D正确． 故选：ABD．    28．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）（多选题）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、圆的公切线条数 【分析】求出圆心距后可判断A的正误，两圆方程相减后可得公共弦方程，故可判断B的正误，利用弦长公式求出可判断C的正误，利用面积公式求出四边形的面积后可判断D的正误. 【详解】由题设可圆，故， 而，故. 对于A，, 而，故两圆相交，故两圆有2条公切线，故A正确； 对于B，两圆方程相减后可得公共弦方程为即，故B正确； 对于C，到直线的距离为， 故，故C错误； 对于D，因为， 故四边形的面积为，故D正确， 故选：ABD. 29．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有 条. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可． 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，则两圆的公切线的条数是2条. 故答案为：2 30．（24-25高二上·吉林·期末）圆和圆的公切线条数为 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数 【分析】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此得到公切线条数. 【详解】∵圆，圆， ∴ ∴圆心距， 而两圆半径之和， ∴两个圆相离，则这两个圆的公切线有4条. 故答案为：4. 31．（24-25高二上·山东·阶段练习）与圆，都相切的直线有 条． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线条数 【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为，因为， 所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条． 故答案为：3 题型6 相交圆的公共弦方程 32．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 33．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】由两圆方程相减即可求解； 【详解】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 34．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C 35．（24-25高二上·河北唐山·期中）（多选题）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程. 【详解】由，则圆心，半径， 由，则圆心，半径， 所以，即，故两圆相交， 所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对. 故选：ABD 36．若两圆，的公共弦长为，则公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程 【分析】先将两圆方程作差求得公共弦所在直线方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值，再代入即可. 【详解】将，两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，解得， 此时为，即，圆心为，半径为， 易得两圆心距离为，且，所以两圆相交，满足题意， 所以公共弦所在直线的方程为. 故答案为： 37．（24-25高二下·海南海口·周测）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 题型7 两圆的公共弦长问题 38．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 39．（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】将两圆方程做差可得公共弦方程，再求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离，利用公共弦长为求解即可． 【详解】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故选：C. 40．（24-25高二上·江苏镇江·期中）（多选题）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、圆的公切线长 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 41．（24-25高二上·四川乐山·期末）（多选题）已知和，则下列说法正确的是（   ） A．两圆相交，有两个公共点 B．两圆的公共弦所在直线方程为 C．两圆公共弦长度为 D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】确定两圆的圆心和半径，确定两圆的位置关系，可确定两圆的位置关系，判断A的真假；求两圆公共弦所在直线方程，确定B的真假；求公共弦长判断C的真假；求满足条件的圆的标准方程，判断D的真假. 【详解】因为：，所以，. ：，所以，. 所以. 对A选项：因为，即，所以两圆相交，有两个公共点，故A正确； 对B选项：由， 所以两圆的公共弦所在直线方程为即，故B正确； 对C选项：到直线的距离为：，所以两圆的公共弦长度为：，故C错误； 对D选项：设所求圆的方程为：（） 整理得：. 因为圆心在直线上，所以. 所以所求圆的方程为：即， 配方得：.故D正确. 故选：ABD 42．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】    如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 43．（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、两圆的公共弦长 【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到直线的的距离，则公共弦长为，即可得出答案. 【详解】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为， 又知，，则到直线的的距离为： ，所以公共弦长为， 故答案为：. 题型8 圆系方程及其应用 44．（多选题）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，） B．直线的方程为 C．线段的长为 D．两圆有两条公切线与 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】根据圆系方程的条件，可判定A错误；利用两圆相减，求得公共弦的方程，可判定B错误；利用圆的弦长公式，求得弦长，可判定C正确；根据得到为两圆的公切线，得到关于两圆圆心所在直线对称的直线得到另一条公切线，求得公切线的方程，可判定D正确. 【详解】对于A中，圆系方程（其中，）此时不含圆M，所以A错误． 对于B选项，联立方程组， 两式相减得到直线AB的方程为，所以B错误． 对于C中，原点O到直线AB的距离为， 根据勾股定理得，所以C正确． 对于D中，由圆，可得， 可得圆的圆心坐标为，半径为， 又由圆，可得圆心，半径为， 可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线， 则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线， 由和，可得两圆心所在直线为，即， 联立方程组，解得，即交点坐标为， 在直线上任取一点， 设点关于直线对称点为，可得， 解得，即对称点的坐标为， 所求的另一条切线过点，，可得其方程为， 故所求切线方程为或，所以D正确. 故选：CD.    45．（多选题）已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．所有过点、的圆系的方程可以记为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、圆过定点问题 【分析】A. 根据圆与圆的位置关系判断； B. 圆：和圆：的方程相减判断；C. 先求得圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解判断；D.根据 判断方程是否过AB两点，再判断方程是否表示过A、B的所有圆. 【详解】A. 因为圆：和圆：相交于、两点，所以两圆有两条公切线，故正确； B. 圆：和圆：的方程相减得：，所以直线的方程为，故错误； C. 圆心到直线的距离为：，所以线段的长为，故正确； D. 因为，所以恒成立，即过AB两点，方程可化为， 而恒成立， 所以方程表示圆， 但此圆系不包括圆M，故不正确. 故答案为：AC 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 46．（24-25高二上·江苏扬州·期末）（多选题）已知圆与圆，下列选项正确的有（   ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，求得公共弦长判断D. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由圆，可得圆心为， 若，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A正确； 若，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B正确； 若，则，又， 两圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； ，由选项C可知两圆的公共弦所在直线方程为， 所以到直线的距离为， 所以弦长为，故D正确. 故选：ABD. 47．（24-25高二上·四川成都·月考）（多选题）已知圆和圆相交于A、B两点，下列说法正确的是（   ） A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】圆过定点问题、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、圆的公切线条数 【分析】由圆与圆的位置关系判断A； 求出公共弦所在直线方程判断B；利用圆的弦长公式求出弦长判断C；判断方程是否过A、B两点，再判断方程是否表示过A、B的所有圆判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆圆心，半径， 对于A，，圆与圆相交，有两条公切线，A正确； 对于B，圆与圆的方程相减得直线AB的方程：，B错误； 对于C，圆心O到直线AB的距离，则，C正确： 对于D，当时，恒成立， 即该方程恒过A、B两点，方程化为， 而恒成立， 因此方程表示圆， 但此圆系不包括圆M，D错误. 故选：AC 48．若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】由题意可设经过点，的圆的方程，化简整理可得圆心为，圆和圆方程相减，求出直线的方程，再把圆心代入直线的方程求出的值即可． 【详解】由题意可设经过点的圆的方程为， 整理得，则圆心为． 圆①，圆②， 由①-②得，，即直线的方程为． 因为为直径，圆心在直线上，所以，解得， 故以为直径的圆的方程为． 故答案为：． 49．已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、求平行线间的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的公切线方程 【分析】先求圆心的轨迹,再设切线方程计算即可求出公切线. 【详解】圆心坐标为，所以圆心在直线上， 设圆的切线为，即， 所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为. 故答案为: . 50．（24-25高一下·浙江·期中）已知直线，圆，圆：. (1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程. 【答案】(1)相交，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求过已知三点的圆的标准方程、判断直线与圆的位置关系 【分析】（1）先求解定点，再把点代入圆内计算判断即可； （2）法一：设圆的方程代入计算求解即可；法二：根据交点设圆的方程计算求参即可. 【详解】（1）由于，则直线过定点，，故定点在圆内，直线与圆相交. （2）法一：联立两圆方程，解得， 令所求圆方程为， 代入三点，， 得所求圆方程为. 法二：令所求圆方程为， 代入，， 解得，故所求圆方程为. 51．（24-25高二上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点，    (1)若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； (2)证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）首先确定圆的半径的范围，再利用圆与圆恒有公共点，得，列不等式求解的取值范围； （2）利用圆与圆的相交，求相交直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可证明. 【详解】（1）解：因为，，所以圆的半径， 又圆与圆恒有公共点，且圆心之间的距离为， 所以对任意恒成立， 所以，所以的取值范围为； （2）证明：设，圆的半径， 则圆方程为， 整理得，又圆， 两圆方程相减，整理得相交直线的方程为， 所以到直线的距离, 因为在圆O上，所以，所以到直线的距离， 即点到直线的距离为定值． 52．（24-25高二上·甘肃·期末）已知圆，圆． (1)若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； (2)若圆与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由直线与圆的位置关系求参数、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）先根据圆所满足的条件得到不等式，得到，两圆相减得，根据公共弦方程，得到，求出答案； （2）由求出圆心到直线的距离，进而由点到直线距离公式得到方程，求出. 【详解】（1）由题意，得，解得． ，， 两式相减得． 又两圆公共弦所在直线的方程为，即， 所以，即，满足，故； （2）圆化为标准方程：．设圆的半径为． 在中，取的中点，连接，如图． 因为，所以． 又因为为圆心到直线的距离，所以， 所以，解得． 53．（24-25高二上·广西河池·月考）已知圆，圆． (1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长； (2)已知过点的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率． 【答案】(1)证明见解析， (2)或． 【难度】0.65 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】（1）确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和差的关系确定两圆的位置关系；两圆方程相减，可得公共弦所在的直线方程，根据“几何法”可求两圆的公共弦长. （2）先讨论直线斜率不存在的情况，再研究直线斜率存在时，可设直线，代入圆的方程，根据韦达定理得到，，进而表示出，由就是可求的值. 【详解】（1）如图： 圆化成标准方程为，圆心，半径， 圆化成标准方程为，圆心，半径， 由，所以两圆相交， 两圆方程作差得． 即公共弦所在直线的方程为． 圆的圆心到公共弦所在直线的距离为：， 所以公共弦长为：. （2）由题可知，设，， ①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足题意. ②当直线斜率存在时，设直线l方程为：， 将代入，得， 整理得，，， 由一元二次方程根与系数的关系得，， ． 由可得， 化简得，即，解得或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$