专题08 圆的方程（八大题型精练）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题8 圆的方程 题型1 求圆的标准方程 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高三下·全国·开学考试）（多选题）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·海南·周测）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 7．（24-25高二下·上海·周测）圆心是且过点的圆的方程为 . 题型2 求圆的一般方程 8．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·山西·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·广东佛山·期中）若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（   ） A． B．1 C． D． 12．（24-25高二下·云南红河·期末）已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 题型3 一般方程与标准方程相互转化 13．（24-25高二上·全国·月考）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 14．（多选题）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示圆的圆心到轴距离等于半径 15．（24-25高二下·上海·期末）已知圆，则圆的圆心坐标为 . 16．（24-25高二下·上海普陀·期中）设，若圆的半径为2，则的值为 ； 题型4 圆过定点问题 17．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 18．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 19．（23-24高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 20．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 题型5 点与圆的位置关系 21．（2025·陕西咸阳·二模）（多选题）已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．圆C的半径为2 B．满足的点M有1个 C．的最大值为 D．若点P在x轴上，则满足的点P有两个 22．（24-25高二下·江苏南京·周测）设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 23．（24-25高二上·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 24．点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 25．点是圆内异于圆心的点，则直线与该圆的位置关系是 . 26．若直线与圆有两个不同的交点， 则点与圆的位置关系是 题型6 与圆有关的轨迹问题 27．（24-25高三上·河南周口·期末）已知圆与直线相交于不同的两点，，点满足，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 28．（2024·广西·模拟预测）已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（   ）. A． B． C． D． 29．已知方程表示圆，其圆心为. (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围； (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 30．（24-25高二下·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 31．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 32．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 33．（24-25高二上·贵州黔西·期中）已知圆经过点，且恒被直线平分. (1)求圆的标准方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程. 题型7 与圆有关的对称问题 34．（24-25高三下·湖南邵阳·周测）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高二上·云南曲靖·月考）若直线是圆的一条对称轴，则圆心到直线的距离为（    ） A．2 B．1.2 C．2.4 D．1 36．（24-25高二上·北京海淀·月考）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）． A． B．0 C． D．1 39．（24-25高二上·山东青岛·周测）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4B．C． D． 40．（24-25高二上·重庆·月考）圆关于点对称的圆的方程为 . 41．（24-25高二上·天津滨海新·周测）圆关于直线对称的圆的方程是 . 42．（23-24高二上·重庆·期中）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 43．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 题型8 圆的综合应用 44．（23-24高三上·山西·月考）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 45．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 46．（24-25高二上·山东青岛·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点．动点满足．设点的轨迹构成曲线C． (1)求曲线的方程及轨迹； (2)设点是曲线上的任意一点，求的取值范围． 47．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 48．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）已知圆C经过两点，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)求的取值范围. 49．已知直线l：. (1)求直线m：关于直线l对称的直线方程； (2)求圆C：关于直线l对称的圆的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 圆的方程 题型1 求圆的标准方程 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 2．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程. 【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D 3．（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 4．（24-25高三下·全国·开学考试）（多选题）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】设圆心为，由题意列出相应方程，求出圆心坐标和半径，即得答案. 【详解】设圆心为，由题意可得，且， 解得或 则，即圆方程为或, 故选：BC 5．（24-25高三下·海南·周测）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据直线交点得出圆心，再结合圆心及切线得出半径，最后应用圆的标准方程即可求解. 【详解】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3， 故圆标准方程为. 故答案为：. 6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】设圆的标准方程为，根据点在圆上、圆心在直线上列方程求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海·周测）圆心是且过点的圆的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】解析：由题可得圆的半径为， 又圆心为所以圆的方程为. 故答案为：. 题型2 求圆的一般方程 8．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 9．（24-25高三下·山西·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程化为标准方程后可得所求． 【详解】将圆方程化为标准方程得， 所以圆心坐标为． 故选：D 10．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 11．（24-25高二上·广东佛山·期中）若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求出圆的圆心，再结合题意即可得解. 【详解】圆化为标准方程为， 则圆心为，半径， 由题意得，解得. 故选：C. 12．（24-25高二下·云南红河·期末）已知圆的圆心坐标为，则的半径为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可. 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为. 故答案为： 题型3 一般方程与标准方程相互转化 13．（24-25高二上·全国·月考）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 14．（多选题）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示圆的圆心到轴距离等于半径 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将方程配方，即得，根据a的取值，逐项判断每个选项，即可得答案. 【详解】方程即， 当时，即，表示点，A错误； 当时，，表示圆心为的圆，B正确； 当时，表示的圆的半径为，C正确； 当时，表示圆，半径为2，圆心到轴距离等于半径，D正确， 故选：. 15．（24-25高二下·上海·期末）已知圆，则圆的圆心坐标为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】应用圆的一般方程圆心坐标公式计算求解. 【详解】由圆，则圆的圆心坐标为. 故答案为：. 16．（24-25高二下·上海普陀·期中）设，若圆的半径为2，则的值为 ； 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据给定条件，求出圆的半径列式求解. 【详解】圆的半径， 依题意，解得，经验证，符合题意， 所以的值为. 故答案为： 题型4 圆过定点问题 17．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆过定点问题 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 18．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆过定点问题 【分析】把方程化为，解方程组，即得定点的坐标.把点的坐标代入直线的方程，即得答案. 【详解】方程可化为. 曲线恒过定点，，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得. 故选：. 【点睛】本题主要考查曲线过定点，属于中档题. 19．（23-24高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】圆过定点问题 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 20．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【难度】0.85 【知识点】圆过定点问题 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 题型5 点与圆的位置关系 21．（2025·陕西咸阳·二模）（多选题）已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．圆C的半径为2 B．满足的点M有1个 C．的最大值为 D．若点P在x轴上，则满足的点P有两个 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】将圆的方程化为标准方程确定圆心坐标与半径，可判断选项A；由圆上任意点到原点距离的最值可判断选项B；令，然后根据点在圆上，借助一元二次方程有解求解的最值，即可判断选项C；设出点的坐标，利用待定系数法可判断选项D． 【详解】选项A：圆的方程可化为，所以圆心，半径等于2，故A正确； 选项B：由于，所以圆上任意一点到原点的最大距离是， 最小距离是，因此满足的点有两个，故B错误； 选项C：令，则，所以， 将点的坐标代入圆的方程并整理，得， 依题意有，即， 解得，因此的最大值为，故C正确． 选项D：不妨设，由于，所以， 整理得． 因为点在圆上，所以，则， 因为为点的横坐标，且点为圆上任意一点， 所以，得， 所以符合要求的点是唯一的，故D错误． 故选：AC. 22．（24-25高二下·江苏南京·周测）设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用直线与圆相切可得出，再利用点与圆的位置关系可得出结论. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 因为直线与圆相切，则，即， 即，因此，点在圆内. 故选：C. 23．（24-25高二上·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】利用点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】因为，所以点在圆外. 故选：C. 24．点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】先求点到圆心的距离，再根据这个距离与圆的半径的关系确定点与圆的位置关系. 【详解】因为圆的圆心为：，半径为：1. 由点与圆心的距离为：， 又. 所以点在圆外. 故选：A 25．点是圆内异于圆心的点，则直线与该圆的位置关系是 . 【答案】相离 【知识点】判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系 【分析】由点与圆的位置关系可得：， 由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，则有，即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】解：因为是圆内异于圆心的点， 所以，即 ，① 又圆心到直线的距离，② 联立①②可得的， 即直线与该圆的位置关系是相离， 故答案为相离. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及点到直线的距离公式，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题. 26．若直线与圆有两个不同的交点， 则点与圆的位置关系是 【答案】在圆外 【知识点】判断点与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由直线与圆相交可得关系，从而可判断点P与圆心C的距离和半径的大小关系． 【详解】由题意，即， ∴， ∴点P在圆C外． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查点与圆的位置关系，属于基础题． 题型6 与圆有关的轨迹问题 27．（24-25高三上·河南周口·期末）已知圆与直线相交于不同的两点，，点满足，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】由题可得直线过定点，注意到在圆上，结合满足，可得为中点，如图取CM中点为F，连接PF，由中位线定理可得轨迹方程. 【详解】，则. ，则直线过定点， 注意到在圆上，设为点M，则，因， 则为中点，如图取CM中点为F，连接PF，由中位线定理可得： ，，则点的轨迹方程为以为圆心， 半径为1的圆去掉点M，即. 故选：B 28．（2024·广西·模拟预测）已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设出点坐标，根据中点坐标公式得到、两点的坐标，结合已知条件利用垂直关系，分直线斜率不存在，和直线斜率存在两种情况求解即可. 【详解】设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 由圆的性质可知， 当时，直线斜率不存在， 此时直线斜率为，所以，，， 当时，有，即， 整理得：， 经检验在直线上， 所以的轨迹方程为：. 故选：B. 29．已知方程表示圆，其圆心为. (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围； (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】 （1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案； （2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案. 【详解】（1）方程可变为：由方程表示圆， 所以，即得， .圆心坐标为. （2）当时，圆方程为：， 设，又为线段的中点，的坐标为则， 由端点在圆上运动， 即 线段中点的轨迹方程为. 30．（24-25高二下·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【答案】 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设，则，又，代入即可求解. 【详解】设，由中点坐标公式可得， 所以， 又点在圆：上， 所以， 将代入得，即， 所以的轨迹方程为. 31．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、轨迹问题——圆 【分析】（1）设，由，整理可得； （2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为. 【详解】（1） 设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2） 由（1）可知：，半径是2，圆心． 因，故在圆外， 故的最小值是，最大值是. 32．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求平面轨迹方程 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以， 所以直线的方程为． 由，得， 所以圆心， 半径， 所以圆的方程为． （2）设点． 因为点的坐标为，所以即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为． 33．（24-25高二上·贵州黔西·期中）已知圆经过点，且恒被直线平分. (1)求圆的标准方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案； （2）设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案. 【详解】（1）直线恒过点. 因为圆恒被直线平分， 所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为 （2）设.因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 即，所以的轨迹方程为. 题型7 与圆有关的对称问题 34．（24-25高三下·湖南邵阳·周测）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】由对称性，确定，时的面积即可求解. 【详解】解：当，时，可得， ，表示的图形占整个图形的， 而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆， ∴ 故围成的图形的面积为： 故选：A 35．（24-25高二上·云南曲靖·月考）若直线是圆的一条对称轴，则圆心到直线的距离为（    ） A．2 B．1.2 C．2.4 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式计算得解. 【详解】依题意，直线过圆的圆心，则，解得， 所以圆心到直线的距离为. 故选：A 36．（24-25高二上·北京海淀·月考）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点 【分析】求出圆心的对称点坐后可得圆方程． 【详解】圆的圆心坐标为，它关于直线对称点为， 因此对称圆方程为， 故选：B． 37．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点 【分析】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心为， 设关于直线对称点为， 所以，解得， 因此对称后圆的圆心为，半径为， 即可得方程为. 故选：A 38．（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】圆的对称性的应用 【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：C． 39．（24-25高二上·山东青岛·周测）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4B．C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径 【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 设关于直线：的对称点为， 则，解得． 所以，则圆关于直线对称的圆的方程为． 故选：C． 40．（24-25高二上·重庆·月考）圆关于点对称的圆的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求出圆心关于的对称点后可求对称圆的方程. 【详解】由题设可得，故关于的对称点的坐标为， 故圆心关于的对称圆的方程为：， 故答案为：. 41．（24-25高二上·天津滨海新·周测）圆关于直线对称的圆的方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先根据点关于直线对称得出圆心，再根据圆的半径不变写出圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心为,半径为1， 设关于直线的对称点为, 所以，解得, 圆关于直线对称的圆的半径是1， 所以圆的方程为. 故答案为：. 42．（23-24高二上·重庆·期中）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)圆，圆． (2)是定值． 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）由圆的标准方程可得圆心，根据点关于直线对称，建立方程组可求出圆心，可得答案； （2）根据对称写出点的坐标，利用直线的点斜式方程，分别求得截距，结合圆的方程计算，可得答案. 【详解】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 由得：，，， 圆，圆． （2），，，， 直线的方程为：， 令，则，同理可得：， 由，，， 则， 是定值． 43．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程. 【详解】易知圆的圆心为， 设圆心关于直线对称的点坐标为， 可得，解得， 即圆的圆心坐标为，对称后半径不变， 所以圆的方程为. 题型8 圆的综合应用 44．（23-24高三上·山西·月考）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】令为中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得轨迹为圆，求定点到所得圆上点距离的最大值，结合即可求结果. 【详解】由，要使最大只需到中点距离最大， 又且， 令，则，整理得， 所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内， 故，而，故. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用圆、直角三角形的性质求中点的轨迹，再求定点到圆上点距离最值即可. 45．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为，即，可得，取，则，结合，可得，进而求解. 【详解】由已知过定点， 过定点， 因为，，所以，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3， 则的轨迹方程为，即，易知O、Q在该圆内， 又， 即， 取，则，又， 所以， 所以的最小值为. 故选：A. 46．（24-25高二上·山东青岛·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点．动点满足．设点的轨迹构成曲线C． (1)求曲线的方程及轨迹； (2)设点是曲线上的任意一点，求的取值范围． 【答案】(1)曲线方程为，轨迹为以为圆心，半径为的圆. (2) 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、轨迹问题——圆 【分析】（1）设，根据化简可得曲线的方程及轨迹； （2）设，再代入结合三角函数辅助角公式求解取值范围即可. 【详解】（1）设，由与可得， 即，化简可得， 即，曲线的轨迹为以为圆心，半径为的圆. （2）设，则，其中. 故当时取最大值，当时取最小值，即的取值范围为. 47．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，最大距离 (2) 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离、直线过定点问题 【分析】（1）将化为，令即可求出定点，当直线与定点和原点构成直线垂直时，原点到直线的距离最大，得到答案； （2）根据的几何意义为点到的距离，结合与圆的位置关系，结合半径和圆心到得到答案. 【详解】（1）由直线：， 得， 联立，解得， 所以恒过定点， 设直线恒过定点为, 则当时，原点到直线的距离最大，最大距离为. （2）点在圆C上，的几何意义为点到的距离， 因为圆C：，即，圆心， 又因为，所以在圆内， 所以到的距离的最大值为， 到的距离的最大值为 所以， 所以的取值范围为. 48．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）已知圆C经过两点，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）设出圆的圆心坐标，利用圆心到圆上点的距离都等于半径，列出方程求解即可． （2）表示点到坐标原点距离的平方，数形结合可得解. 【详解】（1）圆心在直线上， 设圆心，由点和在圆上，可得 ，解得， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为. （2）因为表示点到坐标原点距离，又点在圆上， 所以，又， ，即， 所以. 所以的取值范围是. 49．已知直线l：. (1)求直线m：关于直线l对称的直线方程； (2)求圆C：关于直线l对称的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）利用相关点法即可求得直线m关于直线l对称的直线方程； （2）先求得圆C关于直线l对称圆的圆心坐标，进而求得该圆方程. 【详解】（1）设为所求直线上的任一点，P关于直线l的对称点为 则，解得 ∵Q在直线m上，∴，即 故直线m关于l的对称直线的方程为. （2）设圆心关于直线l的对称点为，则M为所求圆的圆心 由，解得，∴ 所以所求圆的方程为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$