专题07 两条直线的位置关系（十一大题型精练）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题07 两条直线的位置关系 题型1 求直线的交点坐标 1．直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 4．直线与的交点坐标为，则 ， ． 5．（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 6．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 7．过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 题型2 由交点求直线方程或参数 1．（22-23高二上·河北邯郸·周测）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东东莞·月考）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若直线与直线的交点在直线上，则k的值为 ． 5．（22-23高二上·北京·周测）已知两直线，．若直线与，不能构成三角形，求实数 ． 6．（22-23高二上·天津静海·月考）直线和交于一点，则m的值为 . 题型3 两点间的距离公式的应用 1．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 3．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 4．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 题型4 点到直线间的距离公式的应用 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 3．（23-24高二上·云南昭通·周测）（多选题）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．（23-24高二上·重庆·周测）点到直线的距离为 6．（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 7．（24-25高二下·上海松江·月考）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 题型5 两条平行直线间的距离公式的应用 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 题型6 与距离有关的最值问题 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 2．已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为 . 3．（24-25高二上·山西·期中）已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 4．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 5．（18-19高一下·天津和平·期末）已知点和点，点在轴上，若的值最小，则点的坐标为 . 题型7 点、直线关于点的对称问题 1．（2025高三·全国·周测）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·四川绵阳·月考）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 4．（24-25高二上·重庆·周测）直线关于点对称的直线方程为 . 5．直线关于点对称的直线的方程为 ． 题型8 点、直线关于直线的对称问题 1．（24-25高二上·贵州贵阳·周测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型9 光线反射问题 1．光线从点射出，与x轴交于点，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．一条经过点的入射光线的斜率为，若入射光线经轴反射后与轴交于点，为坐标原点，则的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．6 3．（23-24高一上·江西宜春·期末）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 5．（23-24高二上·江西南昌·周测）设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是 6．（2023·江苏南通·一模）如图，已知为等腰直角三角形，其中，且，光线从边上的中点出发，经，反射后又回到点（反射点分别为，），则光线经过的路径总长 ． 题型10 将军饮马问题 1．（24-25高二上·黑龙江大庆·周测）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 2．（23-24高二上·湖南益阳·月考）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 4．已知两点，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 5．（24-25高二下·上海·周测）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 6．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 7．（24-25高二上·贵州贵阳·周测）已知点和为直线上的动点，则的最小值为 . 题型11 直线的综合问题 1．（23-24高二上·重庆·周测）已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 2．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 3．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 4．（23-24高二上·江苏无锡·周测）已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 两条直线的位置关系 题型1 求直线的交点坐标 1．直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标 【分析】解二元一次方程组即得交点坐标. 【详解】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 2．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、求直线交点坐标 【分析】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 3．（2023·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】求出直线与直线的交点，再代入求解作答. 【详解】解方程组，得直线与直线的交点， 依题意，，解得， 所以实数. 故选：A 4．直线与的交点坐标为，则 ， ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】由题意知点既在上也在上，联立方程组求出即可. 【详解】由题意知点既在上也在上， 由解得. 故答案为：；. 5．（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立两条直线方程，即可求解. 【详解】联立，得， 所以交点坐标为. 故答案为： 6．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 7．过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、求直线交点坐标 【分析】联立两已知直线方程求得交点，按截距是否为分类，设出直线方程待定系数，代入交点坐标求解可得. 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，设直线方程为， 将点坐标代入，得， 则此时所求直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为，即， 将点坐标代入，得， 则此时所求直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或 题型2 由交点求直线方程或参数 1．（22-23高二上·河北邯郸·周测）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25高二上·广东东莞·月考）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 3．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围. 【详解】法一：联立两直线方程，得，解得， 所以两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，所以，解得， 设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以. 法二：由题意，直线l过定点， 设直线与x轴、y轴的交点分别为. 如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，    ∴的倾斜角为，的倾斜角为. ∴直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D 4．若直线与直线的交点在直线上，则k的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】用字母表示出交点坐标，再代入到第三条直线的方程中，列出关于的方程，然后求解． 【详解】因为直线与直线相交，则，则且， 由，解得， 即直线与直线的交点坐标为， 将点的坐标代入，得， 即，即，因为，解得. 故答案为：. 5．（22-23高二上·北京·周测）已知两直线，．若直线与，不能构成三角形，求实数 ． 【答案】或或 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由直线的交点坐标求参数 【分析】分别讨论或或过与的交点时，即可求解. 【详解】由题意可得，①当时，不能构成三角形，此时：，解得：； ②当时，不能构成三角形，此时：，解得：； ③当过与的交点时，不能构成三角形，此时： 联立与，得，解得， 所以与过点，将代入得：，解得； 综上：当或或时，不能构成三角形. 故答案为：或或. 6．（22-23高二上·天津静海·月考）直线和交于一点，则m的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】求出的交点坐标，再代入求解即可. 【详解】联立可得，故三条直线交于，故，解得. 故答案为： 题型3 两点间的距离公式的应用 1．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 3．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B 4．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率、求平面两点间的距离 【分析】根据斜率列方程，求得，进而求得. 【详解】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B 题型4 点到直线间的距离公式的应用 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【详解】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 2．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、已知点到直线距离求参数 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 3．（23-24高二上·云南昭通·周测）（多选题）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 4．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 5．（23-24高二上·重庆·周测）点到直线的距离为 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据点到直线距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 6．（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离 【分析】由点到线的距离公式求解即可； 【详解】由得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为： 7．（24-25高二下·上海松江·月考）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 题型5 两条平行直线间的距离公式的应用 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由条件可得，然后利用平行线间的距离公式可算出答案. 【详解】已知直线与直线平行，则，解得. 直线化为；直线为直线. 它们之间的距离为. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以且，解得， 所以直线方程为与， 故， 故选：C 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离. 【详解】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离. 故答案为：. 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 【答案】/0.8 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以两平行线间的距离， 故答案为： 题型6 与距离有关的最值问题 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】由点关于直线的对称点方法求出，再有三点共线求出最小值即可； 【详解】如图，设关于直线对称的点为，则 解得，则， 所以. 故选：D.    2．已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有， 点关于轴的对称点为，如图所示： 当四点共线时，的周长的最小， 最小值为. 故答案为： 3．（24-25高二上·山西·期中）已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可. 【详解】将直线l的方程变形为，由， 得，所以直线l过定点， 当时，点P到l的距离最大，故最大距离为. 故选：D. 4．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解． 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 且与平行， 故当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 5．（18-19高一下·天津和平·期末）已知点和点，点在轴上，若的值最小，则点的坐标为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线、将军饮马问题求最值 【分析】作出图形，作点关于轴的对称点，由对称性可知，结合图形可知，当、、三点共线时，取最小值，并求出直线的方程，与轴方程联立，即可求出点的坐标. 【详解】如下图所示，作点关于轴的对称点，由对称性可知， 则， 当且仅当、、三点共线时，的值最小， 直线的斜率为，直线的方程为，即， 联立，解得，因此，点的坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用折线段长的最小值求点的坐标，涉及两点关于直线对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 题型7 点、直线关于点的对称问题 1．（2025高三·全国·周测）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 2．（21-22高二上·四川绵阳·月考）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 3．（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线围成图形的面积问题、求点关于直线的对称点、求直线关于点的对称直线、直线关于直线对称问题 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 4．（24-25高二上·重庆·周测）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 5．直线关于点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 题型8 点、直线关于直线的对称问题 1．（24-25高二上·贵州贵阳·周测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 2．（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【详解】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 3．（20-21高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线上一点关于直线的对称点，代入直线中即可得到对称直线方程. 【详解】设直线上一点关于直线对称点的坐标为， 则，整理可得：，， 即直线关于对称的直线方程为：. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解. 求解点关于直线的对称点的基本方法如下： ①与连线与直线垂直，即； ②中点在直线上，即； ③与到直线的距离相等，即； 上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标. 4．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 题型9 光线反射问题 1．光线从点射出，与x轴交于点，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】利用入射光线与反射光线的对称性，设在反射光线则在入射光线上，结合入射光线方程求反射光线所在的直线方程. 【详解】由题设，反射光线所在的直线与直线关于对称， ∴若在反射光线上，则在入射光线上， 又入射光线的直线方程为， ∴将代入整理得：. 故选：C 2．一条经过点的入射光线的斜率为，若入射光线经轴反射后与轴交于点，为坐标原点，则的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】由已知求得直线l的方程，令，可求得直线与轴的交点，继而求得反射直线的方程，求得点B的坐标，由三角形的面积公式可得选项. 【详解】设直线与轴交于点，因为的方程为，令，得点的坐标为， 从而反射光线所在直线的方程为，令得， 所以的面积． 故选：B. 3．（23-24高一上·江西宜春·期末）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点坐标，关于轴对称性坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即得． 【详解】建立如图所求的直角坐标系，得，直线方程为，的重心为， 设，关于直线的对称为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线， ∴直线的方程为，即，又直线过， ∴，解得或（舍去），， ∴，， ． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值． 4．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点C，从而将题目问题转化为求解. 【详解】如图， 点关于直线的对称点为，则，即， 解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程为. 故答案为： 5．（23-24高二上·江西南昌·周测）设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】通过直线与的交点，以及直线上一点关于的对称点求得反射光线所在直线方程. 【详解】由解得， 所以直线与的交点为， 点在直线上， 点关于直线的对称点在反射光线上， 所以反射光线所在直线方程为， 整理得 故答案为：    6．（2023·江苏南通·一模）如图，已知为等腰直角三角形，其中，且，光线从边上的中点出发，经，反射后又回到点（反射点分别为，），则光线经过的路径总长 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】以A为坐标原点，AB、AC分别为x轴y轴建立平面直角坐标系，求P关于直线BC及y轴的对称点，两点间距离即为所求 【详解】以A为坐标原点，AB、AC分别为x轴y轴建立平面直角坐标系，因为为等腰直角三角形，其中，且，则，点，所以点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为，则且，解得，则 【点睛】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光线的反射原理的应用，要根据光线的反射原理，将折现问题转化为直线问题求解 题型10 将军饮马问题 1．（24-25高二上·黑龙江大庆·周测）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 2．（23-24高二上·湖南益阳·月考）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【详解】由关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：D 4．已知两点，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答. 【详解】依题意，若关于直线的对称点， ∴，解得， ∴，连接交直线于点，连接，如图， 在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段， 则有，当且仅当点与重合时取等号， ∴，故 的最小值为. 故选：C 5．（24-25高二下·上海·周测）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    6．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】先判断 A，B在直线的同侧，作B关于直线的对称点，当A，P，三点共线时，最小. 【详解】解：由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为， 则解得 即， 所以 故答案为： 7．（24-25高二上·贵州贵阳·周测）已知点和为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】根据题意，作出图形，数形结合，利用三角形两边之和大于第三边与两点距离公式即可得解. 【详解】因为点和，直线为， 而，所以点A与在直线的同侧， 易知点关于，即的对称点为， 所以， 当点为和直线交点时，即三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型11 直线的综合问题 1．（23-24高二上·重庆·周测）已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)； (2)存在点. 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求平行线间的距离 【分析】（1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解； （2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可. 【详解】（1）， 与间的距离为， 即 ， ， ； （2）假设存在，设点， 由条件知，点在与平行的直线上， 且， 或， 或， 由条件知，， ，即或， 因为点在第一象限，，舍， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③． 2．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）求出在轴和轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果； （2）由求出，再由两平行线的距离求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 3．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 4．（23-24高二上·江苏无锡·周测）已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求直线交点坐标 【分析】（1）由两直线互相垂直列方程即可求； （2）根据题意求出，分直线的截距均为0和均不为0两种情况讨论即可； （3）由直线求出，由边上的高方程求出，得到直线的方程，联立直线与求出点，设，求出，代入直线的方程，与直线联立得出，即可求直线的方程. 【详解】（1）因为，所以， 解得或. （2）因为点在直线上， 所以，解得， 因为直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线方程为， 所以，此时直线的方程为； 当两截距均不为0时，设直线的方程为， 将点代入得，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，所以直线的方程为：或. （3）由可得， 由得，所以， 因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线， 所以直线的方程为：即， 又因为所在直线的方程为， 由解得，所以， 设，则中点， 代入得，整理得， 由，解得，所以， 所以直线的方程为：即. 5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】（1）运用点到线的距离公式求解即可. （2）设点关于直线的对称点，求出坐标，结合求解即可. 【详解】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$