专题06 直线的方程（十大题型精练）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题06 直线的方程 题型1 直线的点斜式方程及应用 1．（24-25高二下·安徽·周测）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即， 故选：A． 2．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据倾斜角求出直线斜率得解. 【详解】因为y轴的倾斜角为， 所以直线l的倾斜角为，直线斜率， 所以直线l的方程为， 故选：D 3．（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D 4．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【详解】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 5．（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线方程的点斜式可直接求解 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 6．（24-25高二上·云南红河·周测）过点且倾斜角为的直线方程为 . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线的倾斜角及其所过点的坐标求出直线的方程. 【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为. 故答案为：. 题型2 直线的斜截式方程及应用 1．直线的斜率与在y轴上的截距分别是（    ） A．， B．，－3 C．，3 D．－，－3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的方程的概念、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线方程，结合斜率和截距的概念，即可求解. 【详解】由题意，直线，即， 可得直线的斜率为， 令，解得，即直线在轴上的截距为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，其中解答中熟记直线的斜率和截距的概念是解答的关键，属于容易题. 2．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】直接令计算即可求解. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为. 故选：A 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线截距式方程及辨析 【分析】利用两点式直线方程，令，来求直线在轴上的截距． 【详解】由两点式直线方程得：， 整理得：，再令，解得， 故选：A． 4．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】倾斜角求出斜率，进而由点斜式写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 5．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【分析】（1）利用斜截式方程直接写出方程即可. （2）利用直线的点斜式写出方程，再化成斜截式. （3）化方程为斜截式，再求出斜率、纵截距及与y轴交点的坐标. 【详解】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 题型3 直线的两点式方程及应用 1．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 2．过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】根据两点式方程直接求解即可. 【详解】解：∵直线过两点和， ∴直线的两点式方程为＝，整理得. 故选：C. 3．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据截距式方程判断即可. 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 4．（24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】确定、两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程. 【详解】如图： 因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为， 点为直线与轴交点，所以， 又点在轴上，且， 则点是的中点，所以， 所以直线PB的方程为，即. 故选：C. 5．已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 6．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 7．已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析、已知两点求斜率 【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案. 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 8．经过两点的直线交轴于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】由两点式得直线方程，化为一般式方程即可求得直线与轴交点的坐标. 【详解】由直线的两点式方程，得所在直线的方程为，即 令，得，故点坐标为. 故答案为： 9．在中,,则边上的中线所在的直线的一般方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】边上的中线过的中点及点,根据两点坐标,求出中点坐标,再结合点坐标,用两点式即可求出方程. 【详解】解:由题知,, 故的中点坐标为:, 因为, 所以边上的中线所在的直线为: , 即:. 故答案为: 题型4 直线的截距式方程及应用 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·周测）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】直接化简求解即可． 【详解】直线的截距式方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·四川绵阳·周测）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a，逐项根据截距的正负判断即可. 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a， 选项A，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，可得直线的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误. 故选：A. 3．过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】设直线的方程为，将点代入直线的方程，然后由判别式判断即可. 【详解】设直线的方程为， 将点代入，可得， 即， 由于， 所以方程有两个根， 故满足题意的直线的条数为2． 故选：B. 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可. 【详解】设直线在轴上的截距为， 当时，所求直线的方程可设为， 因为直线过点， 所以，故，即直线方程为， 当时，可设直线方程为， 由直线过点可得，， 所以，故直线方程为. 所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数 的直线方程是或. 故选：C. 5．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、已知两点求斜率 【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为； 当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为. 故答案为：或. 6．（24-25高二上·辽宁大连·周测）已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】根据题意，结合斜率公式和两直线的位置关系，求得，再由中点公式，求得的中点坐标，代入直线方程，求得的值，进而得到答案. 【详解】因为点关于直线对称的点是， 可得，所以，可得，即， 设的中点为，可得，即， 将点代入，可得，即， 令，可得，所以直线在轴上的截距是. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海·月考）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 8．（2024高二上·全国·周测）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【详解】因为直线经过点，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 题型5 直线的一般式方程与其它方程相互转化 1．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析、求直线的方向向量 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【详解】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选题）下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据特殊值法判断A，C，应用一般式求斜率判断B，结合直线的两点式判断D. 【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误； B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确. C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错. D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确. 故选：AC 3．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）（多选题）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确； 由，所以直线过定点， 因此选项B正确； 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为， 所以选项C不正确； 过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 所以选项D正确， 故选：BD 4．（24-25高二上·广东潮州·周测）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】解：由题意可知 ，故直线的方程可化为 ， 由 ， 可得 ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 5．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知点、，则直线的方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、已知两点求斜率 【分析】先根据两点求直线的斜率，再由点斜式方程即可求解. 【详解】设直线的斜率为，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）根据向量知识推出重心的坐标公式，求出顶点C坐标，再写出边所在直线的方程. （2）通过讨论截距为0和不为0两种情况即可求解. 【详解】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 题型6 直线的方向向量 1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据直线方程，可得，利用向量共线的坐标表示可求. 【详解】取，由可得，解得． 故选：A. 2．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系内，点，直线上的单位向量为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、直线方向向量的概念及辨析 【分析】先利用单位向量模长为1，得出，再利用垂直得数量积为0即可求出. 【详解】因，则， 因直线上的单位向量为，则，得， 又因为，且直线上的单位向量为， 则，即， 当时，；当时，； 则或. 故选：C. 3．（24-25高三下·山西·开学考试）若直线，，则下列向量可以作为直线的方向向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、直线的一般式方程及辨析、求直线的方向向量 【分析】取作为的一个方向向量，设为的方向向量，可得，由此可得正确答案. 【详解】取上两点，，则可以作为的一个方向向量． 设为的方向向量， ∵，∴，故，即，B选项正确． 故选：B. 4．（24-25高二上·重庆北碚·期末）直线的一个方向向量为 ． 【答案】答案不唯一 【难度】0.85 【知识点】求直线的方向向量 【分析】根据直线的斜率写方向向量即可. 【详解】斜率，所以直线的方向向量可以为. 故答案为：答案不唯一. 题型7 直线与坐标轴围成的面积 1．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线围成图形的面积问题、直线的斜截式方程及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 2．（24-25高二下·湖南·周测）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 3．（23-24高二上·江苏南通·周测）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、直线过定点问题 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 4．（24-25高二下·青海西宁·月考）在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为 时，的面积最小，最小面积是 . 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析 【分析】设，，则，将代入得，利用基本不等式可求出，从而求得的最小面积及此时直线的斜率. 【详解】设，， 则，将代入得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ∴， ， 所以直线的斜率为，的面积最小值为. 故答案为：①；②. 5．（24-25高二上·安徽·期中）过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是 ，此时直线的方程是 . 【答案】 48 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，直线在两坐标轴的截距均不为0，所以假设直线的截距式方程，代入点，再利用基本不等式即可得到，由此可知的面积，并求出此时的直线方程. 【详解】设，，其中，，则直线的方程为. 在直线上，. 又，即，. 所以， 当且仅当时取等号，再结合解得，，， 所以面积的最小值为48， 此时直线的方程为， 即. 故答案为：. 题型8 直线过定点问题 1．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 2．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线化为，据此可得定点坐标. 【详解】， 令，解得，则所过定点为. 故选：C 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·周测）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【详解】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C 4．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】根据已知直线方程化简列方程组计算求解即可. 【详解】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 5．（2022·浙江温州·二模）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线过定点问题 【分析】将直线化为，解方程组可得第一空答案；根据直线斜率的取值范围可得第二空答案. 【详解】直线可以化为， 则令，解得， 即直线过定点， 又直线可化为，， 则倾斜角的最小值是. 故答案为：； 6．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 题型9 两条直线的平行 1．（24-25高三下·陕西咸阳·月考）已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】由直线一般式平行表示可得答案. 【详解】因，则. 当，， ，两直线互相平行. 则则“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（23-24高二上·江苏扬州·周测）两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据直线方程及直线平行的判定判断两直线的位置关系. 【详解】当时，直线与重合； 当时，直线与平行； 所以，题设两直线重合或平行. 故选：D 3．（24-25高二下·全国·开学考试）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】先应用直线平行设直线为，再应用点在线上计算求参即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为． 因为直线过点，所以， 解得，所以直线的方程为． 故选:C． 4．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为： 5．（24-25高二上·北京平谷·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】利用所求直线与直线平行，可设其方程，代入点，计算即得. 【详解】因所求直线与直线平行，故可设为， 代入点，解得， 故所求的直线方程为：. 故答案为：. 6．（24-25高二上·四川成都·期中）过定点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】设直线方程，再结合定点坐标即可求解. 【详解】设直线方程为， 由在直线上，可得：， 得：， 所以直线方程为， 故答案为： 题型10 两条直线的垂直 1．（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 2．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、已知直线垂直求参数 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式可求得的值. 【详解】∵直线和相互垂直， ∴，解得. 故选：C. 3．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 4．（24-25高二下·安徽铜陵·周测）经过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用两直线的垂直的斜率关系结合点斜式计算即可. 【详解】由题意可知的斜率为，所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为，故B正确. 故选：B 5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为： 6．（24-25高二上·天津滨海新·月考）过点与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据垂直直线系方程，代入坐标即可求解. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将代入即可得， 故直线方程为， 故答案为： 7．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知直线，若，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据直线垂直，代入公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 8．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线方程的实际应用、求直线交点坐标 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 直线的方程 题型1 直线的点斜式方程及应用 1．（24-25高二下·安徽·周测）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 6．（24-25高二上·云南红河·周测）过点且倾斜角为的直线方程为 . 题型2 直线的斜截式方程及应用 1．直线的斜率与在y轴上的截距分别是（    ） A．， B．，－3 C．，3 D．－，－3 2．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 4．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)、斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)、倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)、倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 5．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)、写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)、求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)、已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 题型3 直线的两点式方程及应用 1．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 2．过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 4．（24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 8．经过两点的直线交轴于点，则点的坐标是 ． 9．在中,,则边上的中线所在的直线的一般方程为 . 题型4 直线的截距式方程及应用 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·周测）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川绵阳·周测）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 3．过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 5．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 6．（24-25高二上·辽宁大连·周测）已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是 . 7．（24-25高二下·上海·月考）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 8．（2024高二上·全国·周测）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 9．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 题型5 直线的一般式方程与其它方程相互转化 1．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选题）下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 3．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）（多选题）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 4．（24-25高二上·广东潮州·周测）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知点、，则直线的方程是 . 6．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 题型6 直线的方向向量 1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．8 2．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系内，点，直线上的单位向量为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 3．（24-25高三下·山西·开学考试）若直线，，则下列向量可以作为直线的方向向量的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆北碚·期末）直线的一个方向向量为 ． 题型7 直线与坐标轴围成的面积 1．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25高二下·湖南·周测）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南通·周测）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．（24-25高二下·青海西宁·月考）在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为 时，的面积最小，最小面积是 . 5．（24-25高二上·安徽·期中）过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是 ，此时直线的方程是 . 题型8 直线过定点问题 1．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·周测）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 5．（2022·浙江温州·二模）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 6．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 题型9 两条直线的平行 1．（24-25高三下·陕西咸阳·月考）已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·江苏扬州·周测）两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 3．（24-25高二下·全国·开学考试）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 5．（24-25高二上·北京平谷·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是 . 6．（24-25高二上·四川成都·期中）过定点且与直线平行的直线方程为 . 题型10 两条直线的垂直 1．（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 2．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽铜陵·周测）经过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 6．（24-25高二上·天津滨海新·月考）过点与直线垂直的直线方程为 . 7．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知直线，若，则 . 8．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$