精品解析：广东省汕头市2024-2025学年高二下学期教学质量监测数学试题

汕头市2024～2025学年度普通高中教学质量监测 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，与的夹角为60°，则（ ） A. B. C. D. 3. 学校开运动会，设是参加100m跑的同学，是参加200m跑的同学，是参加400m跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，则下列集合的运算能说明这项规定的是（ ） A. B. C. D. 4. 以正方体顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ） A. 70 B. 66 C. 62 D. 58 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（ ） A. （单位：） B. 学生早读期间读书的声强范围为（单位：） C. 如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D. 如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 7. 已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ） A B. C D. 8. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中的系数为15，则（ ） A. B. 展开式中，中间项的系数为 C. 展开式中，奇数项的系数和为32 D. 当时，的末两位数字是61 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上有且只有一个极小值点 C. 在上递增 D. 方程在上所有根的和为 11. 已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，是抛物线 B. 当时，是离心率为的椭圆 C. 当时，是离心率为的双曲线 D. 若与圆O有公共点，则m的取值范围为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 13. 长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为___________． 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，则的面积为，求的周长． 17. 如图，四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. （1）证明：平面PAB； （2）求直线CE与平面PAB间的距离. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 19. 如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. （I）求直线AP斜率的取值范围； （II）求最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕头市2024～2025学年度普通高中教学质量监测 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算即可. 【详解】. 故选：D. 2. 已知，，与的夹角为60°，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律及已知求解. 【详解】由. 故选：C 3. 学校开运动会，设是参加100m跑的同学，是参加200m跑的同学，是参加400m跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，则下列集合的运算能说明这项规定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意参加其中任意两项的同学，不可能参加第三项比赛，结合各项集合运算即可得. 【详解】由题意，参加其中任意两项的同学，不可能参加第三项比赛，故，而其它各项集合运算不能说明该规定. 故选：C 4. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ） A. 70 B. 66 C. 62 D. 58 【答案】D 【解析】 【分析】应用组合数求从8个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，即可得. 【详解】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面）， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个. 故选：D 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用二倍角正弦公式、平方关系及齐次法求函数值. 【详解】由. 故选：B 6. 音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（ ） A. （单位：） B. 学生早读期间读书的声强范围为（单位：） C. 如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D. 如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求得，即，再应用指对数关系及对数运算性质依次判断各项的正误. 【详解】由题设，可得，A对； 所以， 若，则，所以，B对； 若，则，C错； 若，则，可得，D对. 故选：C 7. 已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例即可判断ABC，再分类讨论时和时，结合等比数列求和公式即可判断． 【详解】令，，，，，A错； ，B错； ，C错； 一般情况，时，，，， ，此时； 时，， 左边， 右边左边，D对； 故选：D． 8. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中的系数为15，则（ ） A. B. 展开式中，中间项的系数为 C. 展开式中，奇数项的系数和为32 D. 当时，的末两位数字是61 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对应项系数得，根据二项式系数的性质及展开式的应用依次判断各项的正误. 【详解】由题设，展开式通项为，，又，可得，A对； 所以展开式通项为，，共有7项，则时为中间项，系数为，B错； 由上，奇数项的系数和为，C对；时，，故末两位数字为，D对. 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上有且只有一个极小值点 C. 在上递增 D. 方程在上所有根的和为 【答案】AB 【解析】 【分析】应用三角恒等变换得，再由余弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由， 所以最小正周期为，A对； 由，则， 结合余弦函数图象及极小值点定义知，区间内有且仅有一个极小值点，B对； 由，则，由余弦函数的性质知在该区间内单调递减，C错； 由题设或，则或，， 所以，故所有根的和为，D错. 故选：AB 11. 已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，是抛物线 B. 当时，是离心率为的椭圆 C. 当时，是离心率为的双曲线 D. 若与圆O有公共点，则m的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知，结合圆的性质、椭圆和双曲线的定义判断点M的轨迹的对应曲线，数形结合依次判断各项的正误. 【详解】A：如下图，当，则为圆与正半轴的交点，则是圆的一条弦， 所以必与原点重合，即是一个点，不是抛物线，错； B：如下图，当，则在线段上，故， 所以的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆， 即，故离心率为，对； C：如下图，当，则在线段两侧的延长线上，且， 所以的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线， 即，故离心率为，对； D：由上分析，时定点（原点），不满足； 时，是以为焦点，长轴长为2的椭圆，且，显然不可能与圆O有公共点，不满足； 时，是以为焦点，实轴长为2的双曲线， 若时，，即双曲线左支与圆O有公共点， 若时，，即双曲线不可能与圆O有公共点， 所以，对. 故选：BCD 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为，所以， 所以当时，，即切线的斜率为2， 所以由点斜式得即， 联立整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，，即，解得， 综上或， 故答案为: 或. 13. 长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为___________． 【答案】0.375 【解析】 【分析】设出总体容量即学校的人数，根据概率计算出样本容量，然后再计算出所求概率. 【详解】设该学校人数为，依题意得，近视的人数为，玩手机超过1小时的人有，近视人数为，于是玩手机小于1小时但又近视的人数为，玩手机小于1小时的总人数为，这类人的近视率约为. 故答案为： 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可. 【详解】由题可得，， ， 所以 ， ， ， 所以， 故答案为: . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. 【小问2详解】 因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，则的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）由三角形面积公式求出，由余弦定理得到，从而得到，得到周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 故， 由余弦定理得， 解得， 故，解得， 故，周长为6. 17. 如图，四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. （1）证明：平面PAB； （2）求直线CE与平面PAB间的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取为的中点，连接，可证四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理可证； （2）转化为求点E与平面PAB间的距离，取的中点，连接，可证平面平面，建立合适空间直角坐标系，根据点面距的向量公式可求出结果. 【小问1详解】 若为的中点，连接，E为PD的中点，则且， 由，，则且，故为平行四边形， 所以，平面，平面，故平面； 【小问2详解】 由（1）知直线CE与平面PAB间的距离，即为点E与平面PAB间的距离， 由，，，取的中点，连接， 所以四边形为矩形，， 由是以AD为斜边的等腰直角三角形，，， 由，且都在平面内，则平面， 由，则平面，平面，则平面平面， 以为原点构建空间直角坐标系，则， 由平面，平面，则， 在中，则， 由，所以，可得， 所以，，则，，， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 所以， 所以直线CE与平面PAB间的距离为. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 19. 如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. （I）求直线AP斜率的取值范围； （II）求的最大值 【答案】（I）（-1，1）；（II）. 【解析】 【详解】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k， ， 因为，所以直线AP斜率的取值范围是． （Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是． 因为|PA|==， |PQ|= ， 所以． 令， 因为， 所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减， 因此当k=时，取得最大值． 【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $