精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每题3分、共30分） 1. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ， ， C. ， ， D. ，， 4. 下列选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，根据尺规作图痕迹，点在数轴上表示的数是（ ） A. B. C. D. 5 6. 社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（ ） A. 小王实际骑行时间为 B. 内，小王派送快递的平均速度是 C. 小王骑行的平均速度比慢 D. 点表示小王出发，共骑行 7. 下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，将一个边长为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（ 　　） A. B. C. D. 9. 如图，圆柱的高，底面直径，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱侧面爬到对角C 处捕食．若π取3，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 如图，在边长为1的正方形中，E为边上一点，连接，将沿对折，A点恰好落在对角线上的点F处．延长，与边交于点G，延长，与的延长线交于点H，则下列说法：①为等腰直角三角形；②≌；③；④；⑤．其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分、共21分） 11. 在中，的取值范围为______． 12. 已知x，y是直角三角形的两边长，且满足，则此直角三角形的第三边长为__________． 13. 化简：的结果是_____________． 14. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则________．（填“>”“<”或“=”） 15. 若一次函数不经过第二象限，则m的取值范围为 ________． 16. 正方形的边长为，为边中点，连接，为正方形边上一点，是为底边的等腰三角形，则的面积是______． 17. 在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点的坐标为，第1次将菱形OABC绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即）第2次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），第3次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即）……依次类推，则点的坐标为______． 三、解答题（共69分） 18. 计算题 （1） （2） 19. 习近平指出：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了解学生的阅读情况，佳佳从七、八年级分别随机抽查了40名学生（已知两个年级学生人数相同），调查了他们在校期间的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表： 年级 参加阅读人数 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 七年级 25 30 a 40 30 八年级 20 26 24 30 40 合计 45 56 59 70 70 （1）a＝_____； （2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间的中位数为______； （3）七年级学生参加阅读人数的众数为______； （4）估计该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数． 20. 项目化学习 项目背景：小明家最近购入一辆电动汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及电动汽车充满电的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了以下两组实验． 实验一：探究电池充电时电动汽车仪表盘显示的电量与充电时间之间的关系，数据记录如下表： 充电时间 0 30 60 90 … 显示的电量 0 25 50 75 … 实验二：探究电动汽车充满电后行驶过程中仪表盘显示的电量与行驶里程之间的关系，数据记录如图： 建立模型：观察可知表中数据是正比例函数模型，图中数据是一次函数模型． 解决问题： （1）直接写出关于的函数解析式； （2）求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； 21. 阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； （2）若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 22. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，，则菱形的面积为___________． 23. 在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，甲车从地出发匀速驶向地，到达地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向地，甲车从地出发后，乙车从地出发匀速驶向地，两车同时到达目的地．两车距地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是______，乙车行驶的速度是______． （2）求图中线段所表示的与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车距A地的距离的差是？请直接写出答案． 24. 在综合实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在 上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点 G处，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图①中的度数为 ； 【拓展应用】 （2）小华在以上操作的基础上，继续探究，如图②，延长交于点M，连接交于点N，试判断的形状，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图③，已知正方形的边长为3，当点 H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，求线段的长． 25. 综合与探究 如图，将矩形放置在直角坐标系中，线段，的长满足，将矩形沿对角线翻折，使点落在点处，交于点，点是中点，连接． （1）点的坐标为______； （2）求所在直线的解析式； （3）在平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； （4）点是上一动点，则的最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每题3分、共30分） 1. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确 ，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．=，故不是最简二次根式； B．=，故不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．=，故不是最简二次根式； 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式． 3. 下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ， ， C. ， ， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么y是x的函数”判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，B、C、D中y是x的函数， ∴A符合题意，B、C、D不符合题意． 故选：A． 5. 如图，根据尺规作图痕迹，点在数轴上表示的数是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、数轴上两点之间的距离、勾股定理、数轴与实数等知识，理解并掌握勾股定理的应用是解题关键．根据题意，可知，，，，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 根据题意，可知，，， ∴， ∴，即点在数轴上表示的数是． 故选：B． 6. 社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（ ） A. 小王实际骑行时间为 B. 内，小王派送快递的平均速度是 C. 小王骑行的平均速度比慢 D. 点表示小王出发，共骑行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象的实际应用．观察所给图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【详解】解：观察图象得：期间，时间增加，但路程没有增加，此时小王处于停止状态， 因此实际骑行时间为，故A选项错误，不符合题意； 内，小王派送快递的平均速度是，故B选项错误，不符合题意； 小王派送快递的平均速度是， 小王派送快递的平均速度是， 因为， 所以小王骑行的平均速度比快，故C选项错误，不符合题意； 点表示小王出发，共骑行，故D选项正确，符合题意； 故选D． 7. 下列说法：①顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，掌握平行四边形、矩形、菱形的性质和判断方法是正确判断的前提．根据菱形的判定方法，矩形、菱形的性质以及平行四边形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，故①正确； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故②不正确； 经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形的面积等分，故③正确； 对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故④不正确； 则正确的有①③，共2个， 故选：B． 8. 如图，将一个边长为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】：根据折叠的性质知，四边形AFEB与四边形FDCE全等， 所以EC=AF=AE， 由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，即42+（8﹣AE）2=AE2， 解得，AE=AF=5， 所以BE=3， 作EG⊥AF于点G，则四边形AGEB是矩形， 所以AG=3，GF=2，GE=AB=4， 由勾股定理得EF=． 故选：D． 9. 如图，圆柱的高，底面直径，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱侧面爬到对角C 处捕食．若π取3，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查最短路径，勾股定理，要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A． C的最短距离为线段的长． ，， 在中 ，， ， 故选：C． 10. 如图，在边长为1的正方形中，E为边上一点，连接，将沿对折，A点恰好落在对角线上的点F处．延长，与边交于点G，延长，与的延长线交于点H，则下列说法：①为等腰直角三角形；②≌；③；④；⑤．其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据对称及正方形的性质即可判断；②可证，为公共边，根据可证明三角形全等；③可证，可判断③错误；④可证，有，可求出，进而求出的长，即可判断；⑤过作于，另交于点，可证≌，而，，则可判断． 【详解】解：①∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∵翻折之后为， ∴≌， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， 故①正确； ②∵为等腰直角三角形，为正方形的对角线， ∴， ∵、关于对称， ∴ 在和中， ∴≌ 故②正确； ③∵、关于对称， ∴， 又∵， ∴， 故③错误； ④∵，与对称， ∴，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 有， ∴， ∴， 故④正确； ⑤过作于，设交于点， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ， 在和中， ∴≌， ∴， 而，， ∴． 故⑤正确． 正确的说法有①②④⑤， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，找到相应线段和角度的相等，并证明相应三角形全等是求解的关键． 二、填空题（每题3分、共21分） 11. 在中，的取值范围为______． 【答案】x>-3 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：2x+6>0， 解得：x>-3， 故答案为：x>-3． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 12. 已知x，y是直角三角形的两边长，且满足，则此直角三角形的第三边长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理．首先利用非负数的性质求得，然后对分类讨论：分是直角边和是斜边两种情况，进行计算即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形的两边，且满足， ， ， 当是直角边时，第三边为：， 当是斜边时，第三边为：， 综上所述，此直角三角形的第三边长为：或， 故答案为：或． 13. 化简：的结果是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键，这里需注意是负数．根据二次根式的性质计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】分别求出平均数，再利用方差的计算公式计算甲、乙的方差，进行比较即可． 【详解】根据折线统计图中数据， ，， ∴， ， ∴， 故答案为：>． 【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解答本题的关键． 15. 若一次函数不经过第二象限，则m的取值范围为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．根据题意得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 16. 正方形的边长为，为边中点，连接，为正方形边上一点，是为底边的等腰三角形，则的面积是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形，勾股定理等知识，根据题意，分两种情况：当点在上时，当点在上时，利用勾股定理即可求解．理解题意，作出图形，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∵为边中点， ∴， 当点在上时， ∵是为底边的等腰三角形， ∴，则， 在中，，即， 解得：， ∴的面积； 当点在上时， ∵是为底边的等腰三角形， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得： ∴的面积； 综上，的面积为或． 17. 在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点的坐标为，第1次将菱形OABC绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即）第2次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），第3次将菱形绕着点顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即）……依次类推，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的旋转、图形的位似变换以及规律探究，熟练掌握旋转对坐标象限（符号）的影响和位似对坐标数值的变化规律，以及循环规律的运用是解题的关键． 先确定点初始坐标，分析每次旋转和扩大操作后点的坐标变化规律，包括旋转导致的象限（坐标符号）变化以及扩大导致的坐标数值变化，利用循环规律确定的坐标． 【详解】解：∵，原点， ∴． 点在第二象限，横负纵正． 第次变换：旋转顺时针，在第一象限，，坐标为（因为旋转后横纵变为正，且长度扩大倍 ）． 第次变换：再旋转顺时针，在第四象限，，坐标为（旋转后横正纵负，长度再扩大倍 ）． 第次变换：又旋转顺时针，在第三象限，，坐标为（旋转后横负纵负，长度继续扩大倍 ）． 第次变换：再旋转顺时针，在第二象限，，坐标为（旋转后横负纵正，回到类似初始的象限，长度又扩大倍 ）． 由此可得规律：每次旋转为一个循环，回到初始象限类型；且，坐标数值上，横、纵坐标绝对值为 ． 确定的位置和坐标 计算，即经过个完整循环后，第次变换相当于新循环的第次变换． ∴在第一象限，横、纵坐标均为正，且，到原点的距离为，即 ． 故答案为： ． 三、解答题（共69分） 18. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用乘方、负整数指数幂、二次根式的乘法和零指数幂计算即可； （2）利用二次根式的性质化简后再进行加减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 19. 习近平指出：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了解学生的阅读情况，佳佳从七、八年级分别随机抽查了40名学生（已知两个年级学生人数相同），调查了他们在校期间的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表： 年级 参加阅读人数 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 七年级 25 30 a 40 30 八年级 20 26 24 30 40 合计 45 56 59 70 70 （1）a＝_____； （2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间的中位数为______； （3）七年级学生参加阅读人数的众数为______； （4）估计该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数． 【答案】（1）35 （2）24 （3）30 （4） 【解析】 【分析】（1）根据统计表中数据，利用59-24即可求解； （2）根据折线统计图中数据，将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可求解； （3）根据统计表中数据，结合众数的定义即可求解； （4）用1120乘以七、八年级阅读人数的占比即可求解． 【小问1详解】 故答案为：35 【小问2详解】 八年级参加阅读学生的平均阅读时间从小到大排列为： 则中位数为 故答案为： 【小问3详解】 七年级的阅读人数分别为 众数为30 故答案为：30 【小问4详解】 该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数为 【点睛】本题考查了统计表，折线统计图，中位数，众数，平均数，样本估计总体，掌握基本统计知识是解题的关键． 20. 项目化学习 项目背景：小明家最近购入一辆电动汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及电动汽车充满电的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了以下两组实验． 实验一：探究电池充电时电动汽车仪表盘显示的电量与充电时间之间的关系，数据记录如下表： 充电时间 0 30 60 90 … 显示的电量 0 25 50 75 … 实验二：探究电动汽车充满电后行驶过程中仪表盘显示的电量与行驶里程之间的关系，数据记录如图： 建立模型：观察可知表中数据是正比例函数模型，图中数据是一次函数模型． 解决问题： （1）直接写出关于的函数解析式； （2）求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； 【答案】（1）； （2）关于的函数解析式为． 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数与一次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）因为已知是正比例函数模型，所以设（为常数），利用表格中一组非零数据代入可求出，进而得到函数解析式． （2）由于是一次函数模型，设（、为常数），选取图像上两个点的坐标代入，解方程组求出和，得到函数解析式． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 把，代入，得， 解得， 所以关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：设关于的函数解析式为． 将代入， 得． 解得 关于的函数解析式为． 21. 阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； （2）若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 【答案】（1），； （2）13或7 ． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键． （1）仿照例题计算即可得； （2）仿照例题计算，得出，，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入即可求解； 【小问1详解】 解：， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 综上可知，a的值为13或7； 22. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，，则菱形的面积为___________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由菱形的性质得出，，结合题意得出，从而推出四边形为平行四边形，结合，即可得证； （2）由菱形的性质得出，，由矩形的性质得出，，由勾股定理得出，最后再由菱形的面积公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为． 23. 在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，甲车从地出发匀速驶向地，到达地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向地，甲车从地出发后，乙车从地出发匀速驶向地，两车同时到达目的地．两车距地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是______，乙车行驶的速度是______． （2）求图中线段所表示的与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车距A地的距离的差是？请直接写出答案． 【答案】（1）120，80； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度即可； （2）设与之间的函数解析式为，把，代入，解方程组求出、的值即可得答案； （3）先求出乙车出发时，两车的距离，然后分情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，即甲出发3时后与地相距， ∴甲车行驶速度为； 由题意可得，过，， ∴乙车出发，行驶， ∴乙车行驶速度为， 故答案为：， 【小问2详解】 解：设与之间的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∵，， ∴， ∴与之间的函数解析式为， 【小问3详解】 解：设乙车出发时，两车之间的距离是， ∵， ∴乙车出发时，两车相距， 当两车相遇前相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距， 当两车相遇后相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距，此时甲车还没到达地， 当甲车从地出发时，乙车出发， ∴两车相距， 当两车相距时，， 解得：，此时，故不符合题意，舍去， 综上所述：乙车出发或时，两车相距． 24. 在综合实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在 上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点 G处，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图①中的度数为 ； 【拓展应用】 （2）小华在以上操作的基础上，继续探究，如图②，延长交于点M，连接交于点N，试判断的形状，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图③，已知正方形的边长为3，当点 H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，求线段的长． 【答案】 （1） （2）为等边三角形．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； 故答案为：等边三角形； （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，从而可得； （2）由折叠可得，，证明，可得，然后求出，进而可得，因此为等边三角形； （3）由点H是边的三等分点得到或，分两种情况讨论：①当时，，，易证，从而设，则，，在中，根据勾股定理有，求解即可；②当时，同①思路即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠的性质可得，，，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）连接； ∵点H是边的三等分点， ∴或， ①当时，，， ∵，，， ∴， ∴， 设， 则，， ∵在正方形中，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，，， ∵，，， ∴， ∴， 设， 则，， ∵在正方形中，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握各个知识，运用分类讨论思想，方程思想是解题的关键． 25. 综合与探究 如图，将矩形放置在直角坐标系中，线段，的长满足，将矩形沿对角线翻折，使点落在点处，交于点，点是中点，连接． （1）点的坐标为______； （2）求所在直线的解析式； （3）在平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； （4）点是上一动点，则的最小值是______． 【答案】（1）； （2）； （3）或或； （4）． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质（算术平方根和绝对值均为非负数，若和为则各自为 ）求出、的长度，确定矩形顶点坐标，再根据中点坐标公式（若有两点、，则其中点坐标为 ）计算点坐标． （2）先由矩形翻折的性质得到全等关系，结合平行线的性质推出，设未知数利用勾股定理（直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 ）求出点坐标，再用待定系数法（设直线解析式为，代入两点坐标求解、 ）求所在直线的解析式． （3）分三种情况，依据平行四边形对边平行且相等的性质，通过坐标平移或中点坐标公式来确定点的坐标． （4）利用轴对称的性质（与关于对称 ），将转化为，根据两点之间线段最短，结合勾股定理求出最小值． 【小问1详解】 解：，且， ， ， 矩形中，，， 是中点，根据中点坐标公式可得点坐标为，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：矩形沿翻折， ，，， 又， ， ， 设，则， 在中，，由勾股定理得，即 设所在直线解析式为，把，代入 两式相减得：， 把代入，得， 所在直线解析式为 【小问3详解】 解：已知，， 情况一：当以为平行四边形的对角线时，的坐标为即； 情况二：当为平行四边形的对角线时，的坐标为即 情况三：当为平行四边形的对角线时，的坐标为即 综上，点坐标为或或 【小问4详解】 连接，，，， 将矩形沿对角线翻折，使点落在点处， ，根据两点之间线段最短，当、、共线时，取得最小值，即的长 的最小值是 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换、一次函数解析式的求解、平行四边形的存在性以及利用轴对称求最短路径等知识，熟练掌握矩形的性质、翻折的性质、函数解析式的求法和平行四边形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $