精品解析：湖南省长沙市望城区第六中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

高二期末数学试卷 一、单选题 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 方程在区间有5个不等实根 D. 在上单调递增 3. 已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（    ） A. B. C D. 5. 设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 7. 函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是 A. B. C. D. 8. 在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. D. 27 二、多选题 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件与互斥 D. 事件与相互独立 10. 已知数列的前n项和为，前n项积为，，且．（ ） A. 若数列等差数列，则 B. 若数列为等差数列，则 C. 若数列为等比数列，则 D. 若数列为等比数列，则 11. （多选）已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数的单调减区间是 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，，且，若则 三、填空题 12. 已知函数有唯一零点，则________ 13. 在中，，，，，记，，用，表示_______；若，则的最小值为_______． 14. 在锐角三角形中，已知，则角B的取值范围是_______，的取值范围是_____. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求的单调性； （2）证明： 16. 已知函数在区间上的最小值为－2． （1）求a； （2）（ⅰ）若过点存在2条直线与曲线相切，求m值； （ⅱ）问过点，，分别存几条直线与曲线相切?（只需写出结论） 17. 某企业生产某批产品按产品质量（单位：g）从高到低依比例划定A，B，C，D，E五个等级，A等级优于B等级，B等级优于C等级，C等级优于D等级，D等级优于E等级．其中A等级产品占该批产品的12%，B等级产品占该批产品的32%，C等级产品占该批产品的37%，D等级产品占该批产品的15%，E等级产品占该批产品的4%．现从该批产品中随机抽取100件产品对其质量进行分析，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求图中a，b的值； （2）根据频率分布直方图，估计企业生产的该批产品的质量的平均数（同一组的值用该组区间的中点值作为代表）； （3）用样本估计总体的方法，估计该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为多少g？ 18. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若关于的方程有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 19. 三棱柱中，侧面为菱形，，，，． （1）求证：面面； （2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末数学试卷 一、单选题 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 2. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 方程在区间有5个不等实根 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象对称轴间的距离得出周期，再代入点得出，代入验证对称轴判断A，根据平移后的解析式得出函数不关于原点对称判断B，解方程求出根判断C，应用周期得出单调区间长度为周期一半判断D. 【详解】由题意相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，当时，，故． 由可得，由函数最大值为2可得，因此． A选项，，非最值，故不是的对称轴，A错误． B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误． C选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，C正确． D选项，的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误． 故选：C． 3. 已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果. 【详解】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B. 4. 设，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法计算即可. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 5. 设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】设，求导分析的单调性，又，，，即可得出答案． 【详解】解：设， 则， 又因为， 所以， 所以在上单调递增， 又， ， ， 因为， 所以， 所以. 故选：C． 6. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可． 【详解】因为方程表示双曲线 ，所以即 故选：A． 7. 函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出图象上动点到原点的距离的范围，结合等比数列定义列方程即可求得公比的最值，然后可得答案. 【详解】函数等价为，表示为圆心在半径为3的上半圆， 圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列， 则最大的公比应有，即， 最小的公比应满足，所以， 所以公比的取值范围为，所以不可能成为该等比数列的公比． 故选：D 8. 在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形及外心的性质得到平分，利用正弦定理得到，从而得到，再利用余弦定理求出与，最后利用数量积的定义计算可得. 【详解】因为，所以在上， 又因为等腰外心为，，所以在的中垂线上， 又的中垂线和的角平分线重合， 所以平分，即， 因为，所以，所以， 在与中，由正弦定理可得①， ②， 因为，所以， 又， 两式相除可得，由，所以， 设，则， 在与中，由余弦定理可得， 即，解得（负值舍去）， 则， 在中， 所以. 故选：C 二、多选题 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件与互斥 D. 事件与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误. 【详解】对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件和事件同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况， ，，A正确，B正确； 事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C错误； 事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列的前n项和为，前n项积为，，且．（ ） A. 若数列为等差数列，则 B. 若数列为等差数列，则 C. 若数列为等比数列，则 D. 若数列为等比数列，则 【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性与单调性，结合等差数列、等比数列的定义，性质，求和公式计算一一判定选项即可. 【详解】令，易知在R上单调递减， 且， 所以为奇函数， 又，所以， 由题意可知， 对于A、B，若数列为等差数列，则， 且故A正确，B错误； 对于C、D，若数列为等比数列，设公比，易知 则同号， 所以，故C正确， 若，与前提矛盾，故D错误. 故选：AC 11. （多选）已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数的单调减区间是 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，，且，若则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求导数,再解不等式,即可判断A;先构造函数，再利用导数研究其单调性，最后结合零点存在定理判断B;先分离，再利用导数研究函数最值，即可判断C; 先构造函数，再利用导数研究其单调性，最后利用单调性证不等式，即可判断D. 【详解】A选项，因为，所以， 由得，；由得，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增；故A正确； B选项，令， 则显然恒成立； 所以函数在上单调递减； 又，， 所以函数有且仅有一个零点；故B正确； C选项，若，可得， 令，则， 令，则， 由得；由得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 因此；所以恒成立，即函数在上单调递减， 所以函数无最小值； 因此，不存正实数，使得成立；故C错； D选项，令，则，则； 令， 则， 所以在上单调递减，则，即， 令，由，得，则， 当时，显然成立， 所以对任意两个正实数，，且，若则.故D正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调区间、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式能成立问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题. 三、填空题 12. 已知函数有唯一零点，则________ 【答案】 【解析】 【分析】令，得到的解析式，判断出是偶函数，从而得到的图像关于成轴对称，根据函数有唯一零点，得到，从而得到的方程，解出的值. 【详解】 设，则 定义域， 所以为偶函数， 所以的图像关于成轴对称 要使有唯一零点， 则只能， 即 解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题. 13. 在中，，，，，记，，用，表示_______；若，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解． 【详解】因为为的中点， 则，可得， 两式相加，可得到， 即，所以； 因为，则，可得， 得到， 即，即． 于是． 记， 则， 在中，根据余弦定理：，即， 于是， 由和基本不等式可得， 故，当且仅当取得等号， 可得， 所以时，有最小值． 故答案为：． 14. 在锐角三角形中，已知，则角B的取值范围是_______，的取值范围是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由是锐角三角形可知三个内角均是锐角,进而求解即可；利用正弦定理可得,进而根据的范围求解即可 【详解】因为是锐角三角形,所以,即,解得, 由正弦定理可得,则, 因为,所以, 故答案为:； 【点睛】本题考查锐角三角形的几何性质,考查正弦定理的应用,考查余弦函数的范围 四、解答题 15. 已知函数. （1）求的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，求导，根据导数的符号即可求出函数的单调区间； （2）令，利用导数易求出函数的最小值，则有，再利用作差法证明即可. 【小问1详解】 解：定义域为， ， 当或时，，当 时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 证明：令， 当时，，当 时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以的最小值为， 故当时，， 即， 当时，， 因为， 所以， 所以， 所以. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，关键在于构造合适的函数. 16. 已知函数在区间上的最小值为－2． （1）求a； （2）（ⅰ）若过点存在2条直线与曲线相切，求m的值； （ⅱ）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切?（只需写出结论） 【答案】（1） （2）（ⅰ）或（ⅱ）1；1；3 【解析】 【分析】（1）首先利用导数判断单调性，再对和情况讨论单调性，进而利用最小值列方程即可求解. （2）（ⅰ）设切点，并求的切线方程，进而代入可得，令用导数讨论单调性，从而利用有两个零点可求m的值； （ⅱ）由（ⅰ）容易得出结果. 【小问1详解】 由题意，，令，解得， 在和上，则单调递增， 在上，则单调递减. 当时，在区间上单调递减，则， 解得，不满足题意； 当时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减， 则，即，或，即； 综上所述，. 【小问2详解】 设过点的直线与曲线相切于点，则 ，且切线斜率为，所以切线方程为， 因此，整理得：， 设，则“过点存在2条直线与曲线相切”等价于“有2个不同零点”， ， 与的情况如下： 0 2 + 0 0 + 递增 递减 递增 所以，是的极大值，是的极小值， 当或即或时，过点存在2条直线与曲线相切，故或. （ⅱ）过点存在1条直线与曲线相切； 过点存在1条直线与曲线相切； 过点存在3条直线与曲线相切. 【点睛】关键点睛：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键. 17. 某企业生产某批产品按产品质量（单位：g）从高到低依比例划定A，B，C，D，E五个等级，A等级优于B等级，B等级优于C等级，C等级优于D等级，D等级优于E等级．其中A等级产品占该批产品12%，B等级产品占该批产品的32%，C等级产品占该批产品的37%，D等级产品占该批产品的15%，E等级产品占该批产品的4%．现从该批产品中随机抽取100件产品对其质量进行分析，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求图中a，b的值； （2）根据频率分布直方图，估计企业生产的该批产品的质量的平均数（同一组的值用该组区间的中点值作为代表）； （3）用样本估计总体的方法，估计该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为多少g？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和等于列式可求出结果； （2）根据均值公式可求出结果； （3）设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为x g，判断出，再根据直方图列式可求出结果. 【小问1详解】 由题意，得， 解得，． 【小问2详解】 企业生产的该批产品的质量的平均数约为 g． 【小问3详解】 等级达到C及以上的占比为， 设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为x g，易得， 则， 解得，所以该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为59g． 18. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若关于的方程有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数性质建立方程求解即可； （2）解法一：把方程转化为，参变分离，转化为两函数有一个交点问题，数形结合求解即可； 解法二：把问题化为方程在上仅有一个实根，分类讨论，根据二次函数根的分布列不等式求解即可. 【小问1详解】 由函数是偶函数，所以， 即， 即,又恒成立，即恒成立， 所以，即得； 【小问2详解】 解法一(参变分离)：由(1)有， 又方程可化为， 可化为,即等价于， 令,方程可化为， ①当，即时，方程可化为，显然矛盾，故不是方程的根， ②当时，方程可化为，即， 令,方程可化为， 即化为在上仅有一个实根， 等价于函数在的图象与常值函数的图象仅有一个公共点， 由函数图象可得或,解得或， 综上所述,实数m的取值范围为. 解法二(根的分布)：由(1)有， 又方程可化为， 可化为，即等价于有且只有一解， 即只有一解，整理得， 令，可化为方程④在上仅有一个实根， ①当,即时，此时，显然不满足题意， ②当,即时，此时恒成立， 由此可设方程④的两个实根为,及二次方程根与系数的关系可得， 此时方程④必有一正根和一负根.故时，显然满足题意， ③当，即时，要使得方程④在上仅有一个实根， 若满足,故此时方程④必有两个同号的实根,故不可能在上仅有一个实根, 则只需要满足,解得，即. 综上所述，实数m的取值范围为：. 【点睛】方法点睛：复杂和综合的方程根的个数（函数零点个数）问题，一是参变分离，转化为求两函数图象交点问题，二是分类讨论函数零点分布，分离讨论时要注意分类的标准，及分类是否全面等. 19. 三棱柱中，侧面为菱形，，，，． （1）求证：面面； （2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）取BC的中点O，连结AO、，在三角形中分别证明和，再利用勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明结果. （2）建立空间直角坐标系，假设点M存在，设，求出M点坐标，然后求出平面的法向量，利用空间向量的方法根据二面角的平面角为可求出的值. 【详解】（1）取BC的中点O，连结AO,,， 为等腰直角三角形，所以，； 侧面为菱形，， 所以三角形为为等边三角形，所以， 又，所以，又，满足，所以； 因为，所以平面， 因为平面中，所以平面平面. （2）由（1）问知：两两垂直，以O为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间之间坐标系. 则，，，， 若存在点M，则点M在上，不妨设， 则有，则， 有，， 设平面的法向量为， 则解得： 平面的法向量为 则 解得：或（舍） 故存在点M，. 【点睛】本题考查立体几何探索是否存在的问题，属于中档题. 方法点睛：（1）判断是否存在的问题，一般先假设存在； （2）设出点坐标，作为已知条件，代入计算； （3）根据结果，判断是否存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$