21.5 反比例函数 第1课时 课件 2025—2026学年沪科版数学九年级上册

21.5 反比例函数 第二十一章 二次函数与反比例函数 第1课时 反比例函数 1.什么叫函数？ 一般地，在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y总有唯一确定的值与它对应.这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系. 对于上述变量x、y，x叫自变量,y叫因变量,我们把y叫做x的函数. 2.什么是正比例函数？ 一般地，形如y=kx（k≠0）的函数称做y是x的正比例函数（也即y与x成正比） 复习导入 问题① 某村有耕地200 hm2，人口数量x逐年发生变化，该村人均耕地面积y hm2与人口数量x之间有怎样的函数关系？ 问题② 某市距省城248km，汽车行驶全程所需的时间t h与平均速度v km/h之间有怎样的函数关系？ 问题③ 在一个电路中，当电压U一定时，通过电路 I 的大小与该电路的电阻R 的大小之间有怎样的函数关系？ 200 x y= 248 v t= 由电学可知，变量 I 与 R 之间的函数关系可以表示为 U R I = 探究新知 的函数叫做 就是小学学过的 上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征? 200 x y= 248 v t= U R I = ① ② ③ 上面的函数表达式都具有 的形式， 两个变量之间的关系， k x y= 一般地，表达式形如 反比例函数. (k为常数，且k≠0) k x y= 其中， x是自变量， y是函数. 反比例关系. 定义： 2.反比例函数表达形式： y=kx-1 xy=k y是x的反比例函数 记住这三种形式!!! (k为常数，k≠0) 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数(即x≠0)； k叫做比例系数，k≠0； 函数y的值也不等于0. 1.反比例函数 (k是常数，k≠0) 自变量x的取值范围是？ 归纳新知 例1、若函数 y= 是反比例函数，则常数m必须满足的条件是( ) m(m-1) x A .m≠1 B.m≠0或m≠1 C.m≠0 D.m≠0且m≠1 D 例2、如果变量 z 与 y 成正比例，y 与 x 成反比例，那么 z 与 x 成正比例还是反比例？为什么？ 解： ∵ 变量 z 与 y 成正比例，y 与 x 成反比例 ∴ 设 z=k1y， k2 x y= (k1,k2均不为0) ∴ z=k1· k2 x = k1k2 x (k1,k2均不为0) ∴ z 与 x 成反比例 典例精析 例3、 在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa 是它的受力面积 S m2 的反比例函数. (1) 求 p 与 S 之间的函数表达式； (2) 当 S=0.5 时，求物体承受的压强 p 的值. 解：(1) 根据题意，设 k S P = ∵ 函数图像经过 点(0.1，1000) ∴ k 0.1 1000 = 解得 k=100 ∴ p 与 S 之间的函数表达式为 100 S P = (P >0，S>0) (2) 当 S=0.5 时， 100 0.5 P = =200 答：当 S=0.5 时，物体承受的压强 p 的值为 200. 的函数叫做 一般地，表达式形如 反比例函数. (k为常数，且k≠0) k x y= 其中， x是自变量， y是函数. (k为常数，且k≠0) 注意： 1、反比例函数的比例系数 k≠0， 2、反比例函数有三种表示形式： k x y= 或 y=kx-1 或 xy=k 3、在实际问题中， 自变量 x≠0， 函数值 y≠0 . 自变量x的取值范围要保证函数有实际意义. 先看它是否能写成反比例函数的三种表现形式： 再看k是否为常数且k≠0. 判断一个函数是不是反比例函数的方法， k x y= 或 y=kx-1 或 xy=k， 课堂小结 知识点1　反比例函数的概念 1.下列y关于x的函数中，是反比例函数的是(　　) A.y＝－ B.y＝ C.y＝－ D.y＝ B 随堂练习 2.在反比例函数y＝－中，常数k＝____，自变量x的取值范围是______. － x≠0 3.已知函数y＝是关于x的反比例函数，则m的取值范围是_____. [变式] 已知函数y＝(m－1)是关于x的反比例函数，则m的值为____. m≠ －1 知识点2　建立反比例函数模型及求反比例函数表达式 4.(教材P44练习T1变式)一个矩形的面积为12，那么它的一边长y关于其邻边长x的函数表达式为(　　) A.y＝12x B.y＝ C.y＝12＋x D.y＝12－x B [变式] (2024·芜湖天长月考)面积为30的一个三角形，它的底边y随着这条边上的高x的变化而变化，则y与x之间的函数表达式为________. y＝ 5.(教材P43问题②变式)一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用了6 h到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车行驶的平均速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系为(　　) A.v＝ B.v＋t＝480 C.v＝ D.v＝ A 6.(2024·河北)节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500 kW·h电，若平均每天用电x kW·h，则能使用y天.下列说法错误的是(　　) A.若x＝5，则y＝100 B.若y＝125，则x＝4 C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍 C 7.(2024·湖南)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f＝(k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为_____. 180 8.【新情境·跨学科】如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰的高度)不变时，火焰的像高y(cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(cm)的反比例函数，当x＝6 cm时，y＝2 cm.　 (1)y关于x的函数表达式为____________； (2)当x＝4 cm时，y＝____cm. 3 y＝(x＞0) 9.在对某物体做功一定的条件下，力F(N)与物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例关系，且当s＝10 m时，F＝3 N. (1)试确定F(N)与s(m)之间的函数表达式； 解：∵力F(N)与物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例关系， ∴可设F＝. 又当s＝10 m时，F＝3 N， ∴3＝，∴k＝30，∴F(N)与s(m)之间的函数表达式为F＝(s＞0). 9.在对某物体做功一定的条件下，力F(N)与物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例关系，且当s＝10 m时，F＝3 N. (2)当F＝15 N时，求物体在力的方向上移动的距离s. 解：当F＝15 N时，15＝，得s＝2 m，即物体在力的方向上移动的距离为2 m. 10.当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的函数.下表记录了几组实验数据，则p与V的函数表达式可能是(　　) V/m3 … 1 1.5 2 2.5 3 … p/kPa … 96 64 48 38.4 32 … A.p＝96 V B.p＝－16 V＋112 C.p＝16 V 2－96 V＋176 D.p＝ D 11.已知y是 x的反比例函数，下表给出了y与x的一些对应值，则“☆”和“ ”所表示的数分别为_________. x ☆ －1 y 2 －6，－4 12.【规律探究】将x＝ 代入反比例函数y＝ 中，所得函数值记为y1；将x＝y1＋1代入原反比例函数中，所得函数值记为y2；将x＝y2＋1代入原反比例函数中，所得函数值记为y3……如此继续下去，则y1＝____，y2＝____， y3＝____，y2 025＝____. － 2 － － － 13.(2024·六安舒城期末)已知y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x＋3成反比例.当x＝0时，y＝－2；当x＝3时，y＝2.求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围. 解：根据题意，设y1＝kx，y2＝， 即y＝y1－y2＝kx－.将x＝0，y＝－2与x＝3，y＝2分别代入， 得解得则y＝x－(x≠－3). 14.【新情境·生活情境】某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服数量和添加的洗衣粉质量不变.实验发现，每次漂洗用水量m(升)一定时，衣服中残留的洗衣粉质量y(克)与漂洗次数x满足y＝ (k为常数).已知使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留的洗衣粉质量为2克，请回答下列问题： (1)求k的值. 解：当m＝5，x＝1，y＝2时，2＝，解得k＝－0.1. 14.【新情境·生活情境】某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服数量和添加的洗衣粉质量不变.实验发现，每次漂洗用水量m(升)一定时，衣服中残留的洗衣粉质量y(克)与漂洗次数x满足y＝(k为常数).已知使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留的洗衣粉质量为2克，请回答下列问题： (2)如果每次用水5升，要求漂洗后衣服中残留的洗衣粉质量小于0.8克，那么至少要漂洗多少次？ 解：根据题意，得＜0.8，即0.8x＞2，解得x＞. 又∵x为正整数，∴x的最小值为3. 答：至少要漂洗3次. 14.【新情境·生活情境】某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服数量和添加的洗衣粉质量不变.实验发现，每次漂洗用水量m(升)一定时，衣服中残留的洗衣粉质量y(克)与漂洗次数x满足y＝(k为常数).已知使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留的洗衣粉质量为2克，请回答下列问题： (3)现将20升水等分成x次(x＞1)漂洗，要使衣服中残留的洗衣粉质量降到0.5克，则每次漂洗用水多少升？ 解：由(1)，得y＝，∴xy＝－0.1m＋2.5. 由题意，得m＝，y＝0.5， ∴0.5x＝－0.1×＋2.5，即x2－5x＋4＝0， 解得x1＝4，x2＝1(舍去)，∴m＝＝＝5. 答：每次漂洗用水5升. $$