21.4 二次函数的应用 第4课时 课件 2025—2026学年沪科版数学九年级上册

21.4 二次函数的应用 第二十一章 二次函数与反比例函数 第4课时 二次函数与商品利润 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。 如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？ 分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 元，要想获得6090元利润可列方程 。 6000 （20+x） （300-10x） (20+x)( 300-10x) (20+x)( 300-10x) =6090 探究新知 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？ 若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示 为 元，要想获得6090元利润可列方程 ________________ . （x-40） [300-10(x-60) ] (x-40)[300-10(x-60)] (x-40)[300-10(x-60)]=6090 问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？ 解：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 　件，实际卖出 　　　件,销额为 　　　元, 买进商品需付 　　 　　　元因此，所得利润为　___________________________.　　 10x (300-10x) (60+x)(300-10x) 40(300-10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 即 (0≤X≤30) 怎样确定x的取值范围？ 所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元。 （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。 归纳新知 例1 某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) (x≥30) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元 典例精析 例2 某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期要多卖出20件。已知商品进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250. 定价:60+5=65（元） (0≤x≤30) 怎样确定x的取值范围 知识点　销售利润最大问题 1.某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价金额x(元)之间满足函数表达式y＝－2(x－15)2＋1 250，则最多获利(　　) A.15元 B.400元 C.800元 D.1 250元 D 随堂练习 2.(2025·安庆月考)某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件.市场调查反映：若每件商品每涨价1元，则每星期要少卖出5件.每星期售出商品的利润y(单位：元)与每件涨价x(单位：元)之间的函数表达式为(　　) A.y＝(200－5x)(40－20＋x) B.y＝(200＋5x)(40－20－x) C.y＝200(40－20－x) D.y＝200－5x A 3.(2025·合肥新站区期末)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x(20≤x≤30，且x为整数)元出售，则可卖出(30－x)件.要使利润最大，每件的售价应为 ____元. 25 4.商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量 y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： (1)求y与x之间的函数表达式. 销售单价x/元 … 50 60 70 … 月销量y/台 … 90 80 70 … 解：设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0). 由表，知当x＝50时，y＝90；当x＝60时，y＝80. 把以上数值代入函数表达式中，得 ∴y与x之间的函数表达式为y＝－x＋140(40≤x≤80). 解得 4.商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量 y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x/元 … 50 60 70 … 月销量y/台 … 90 80 70 … (2)当护眼灯的销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月销售利润为多少元？ 解：设月销售利润为W元， 则W＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋140). 整理，得W＝－x2＋180x－5 600＝－(x－90)2＋2 500(40≤x≤80). ∵－1＜0，∴当x＜90时，W随x的增大而增大， ∴当x＝80时，W有最大值，且最大值为2 400. 答：当护眼灯的销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月销售利润为2 400元. 销售单价x/元 … 50 60 70 … 月销量y/台 … 90 80 70 … 5.(2025·合肥瑶海区期中)某公司购进了一种化工原料，进货价格为30元/kg.物价部门规定其销售价格不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg.市场调查发现：当销售价格为70元/kg时，日均销售60 kg；销售价格每千克降低1元，日均多销售2 kg.在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时，按一天计算). (1)如果日均获利1 950元，求销售价格. 解：设销售价格为 x元/kg. 由题意，得(x－30)[60＋2(70－x)]－500＝1 950， 解得x1＝x2＝65. 由题意可知30≤x≤70，∴x＝65符合题意， ∴当销售价格为65元/kg时，日均获利1 950元. 5.(2025·合肥瑶海区期中)某公司购进了一种化工原料，进货价格为30元/kg.物价部门规定其销售价格不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg.市场调查发现：当销售价格为70元/kg时，日均销售60 kg；销售价格每千克降低1元，日均多销售2 kg.在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时，按一天计算). (2)当销售价格为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少？ 解：设销售价格为x元/kg，利润为y元. 由题意，得y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500＝－2x2＋260x－6 500＝－2(x－65)2＋1 950(30≤x≤70). ∵－2＜0，且30≤x≤70， ∴当销售价格为65元/kg时，可获得最大利润，最大利润为 1 950元. 6.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y与月份n之间的函数表达式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是(　　) A.1月、2月、3月 B.2月、3月、4月 C.1月、2月、12月 D.1月、11月、12月 C 7.(教材P58 A组复习题T11变式)某公司开发出一种新技术产品，并上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量y(件)与第x个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本z(元)与当月销售量y(件)之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元. (1)求y与x之间的函数表达式和z与y之间的函数表达式.(不要求写出自变量的取值范围) 解：设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b. 将(1，40)和(2，50)代入，得解得 ∴y＝10x＋30. 将(60，1 300)代入z＝(y－h)2＋500，得h＝20或h＝100. ∵h＜40，∴h＝20， ∴z＝(y－20)2＋500＝y2－20y＋700. 7.(教材P58 A组复习题T11变式)某公司开发出一种新技术产品，并上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量y(件)与第x个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本z(元)与当月销售量y(件)之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元. (2)第几个月获得最大利润？最大利润是多少？ 解：设第x个月的利润为w元， 则w＝100y－z＝－y2＋120y－700＝－50x2＋900x＋2 450＝－50(x－9)2＋6 500. ∵－50＜0，∴当x＝9时，S最大＝6 500元. 答：第9个月获得最大利润，最大利润是6 500元. 8.(2024·合肥四十二中期末)蓝莓被世界卫生组织列为十大健康食品之一，被人们视为“超级水果”，每年6～7月份是大棚蓝莓成熟的季节.某大棚蓝莓种植户计划在开始销售的40天内将种植的蓝莓陆续向市场供应.已知销售价格y(元/kg)与销售天数x的函数关系如图所示，每天的销售量为(400－4x)kg. (1)求y关于x的函数表达式. 解：当0≤x≤20时，设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b. 把(0，20)和(20，25)代入，得解得 ∴y＝x＋20. 当20＜x≤40时，设y关于x的函数表达式为y＝mx＋n. 把(20，25)和(40，35)代入，得解得 ∴y＝x＋15. 综上所述，y关于x的函数表达式为 y＝ 8.(2024·合肥四十二中期末)蓝莓被世界卫生组织列为十大健康食品之一，被人们视为“超级水果”，每年6～7月份是大棚蓝莓成熟的季节.某大棚蓝莓种植户计划在开始销售的40天内将种植的蓝莓陆续向市场供应.已知销售价格y(元/kg)与销售天数x的函数关系如图所示，每天的销售量为(400－4x)kg. (2)求每天的销售额w(元)关于x的函数表达式. 解：当0≤x≤20时，w＝(400－4x)＝－x2＋20x＋8 000；当20＜x≤40时，w＝(400－4x)＝－2x2＋140x＋6 000. 综上所述，w关于x的函数表达式为 w＝ 8.(2024·合肥四十二中期末)蓝莓被世界卫生组织列为十大健康食品之一，被人们视为“超级水果”，每年6～7月份是大棚蓝莓成熟的季节.某大棚蓝莓种植户计划在开始销售的40天内将种植的蓝莓陆续向市场供应.已知销售价格y(元/kg)与销售天数x的函数关系如图所示，每天的销售量为(400－4x)kg. (3)第几天蓝莓的销售额最大？最大销售额是多少元？ 解：当0≤x≤20时，w＝－x2＋20x＋8 000＝－(x－10)2＋8 100. ∵－1＜0，∴当x＝10时，w有最大值，最大值为8 100. 当20＜x≤40时，w＝－2x2＋140x＋6 000＝－2(x－35)2＋8 450. ∵－2＜0，∴当x＝35时，w有最大值，最大值为8 450. ∵8 450＞8 100， ∴第35天蓝莓的销售额最大， 最大销售额是8 450元. $$