21.4 二次函数的应用 第3课时 课件 2025—2026学年沪科版数学九年级上册

21.4 二次函数的应用 第二十一章 二次函数与反比例函数 第3课时 二次函数与运动问题 问题1 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表达式 ，其中h是物体上升的高度， 是物体被上抛时竖直向上的初始速度， 是重力加速度(取 )，t是物体抛出后经过的时间. 在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为 10m/s. (1)问排球上升的最大高度是多少？ (2)已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳?(精确到0.1s) 探究新知 h=10t - ×10t2 解:(1) 根据题意，得 1 2 =-5(t-1)2+5 (t≥0) ∵ 该抛物线开口向下，顶点坐标为(1,5) ∴ 排球上升的最大高度是5m. =-5t2+10t 但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3s， 解:(2) 当 h=2.5m 时，得 -5t2+10t=2.5 解得 t1≈0.3， t2≈1.7 ∵ 排球在上升和下落中， 可令对方措手不及，易获成功. 各有一次经过2.5m高度， 要打快攻此时扣球， ∴ 该运动员在排球被垫起后0.3s时扣球最佳 如何求得相应的制动时车速. 问题2 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为”制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表： 有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速(该段公路限速为100km/h)行驶导致了交通事故？ 分析： 要解答这个问题， 就是要解决在知道了制动距离时， 求出制动距离与制动车速的函数表达式是解答本题的关键. 题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据， 为此， 因此，y(制动距离)与x(z制动时车速)之间的关系 制动距离的数据为纵坐标(y值)， 解： 以制动时车速的数据为横坐标(x值)、 描出各组数据对应的点. 在平面直角坐标系中， 观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近， 可近似地以二次函数来模拟， 即设 y=ax2+bx+c 在已知数据中任选三组， 分别代入所设函数的表达式，得 如取(0,0)，(10,0.3)，(20,1.0)， 100a+10b+c=0.3 解得 c=0 400a+20b+c=1.0 b=0.01 a=0.002 c=0 ∴ 该抛物线对应的函数表达式为 y=0.002x2+0.01x (x≥0) ∴ 当 y=46.5 时， 0.002x2+0.01x=46.5 解得 x1=150， x2=-155 (舍去) ∴ 制动时车速为 150km/h>100km/h 即 在事故发生时，该汽车属超速行驶. 2、已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式 h=-t2+24t+1．则下列说法中正确的是（　　） A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B．点火后24s火箭落于地面 C．点火后10s的升空高度为139m D．火箭升空的最大高度为145m D 1.公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为 s=20t-4t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m才能停下来． 20 典例精析 3、如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关系 y=-5x2+20x，请根据要求解答下列问题： (1) 在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ (2) 在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3) 在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 解:(1) 根据题意，得 当 y=15 时， -5x2+20x=15 解得 x1=1，x2=3 ∴ 在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s. 解:(2) 当 y=0 时， -5x2+20x=0 解得 x1=0，x2=4 ∵ 4-0=4 ∴ 在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4s. 解:(3) ∵ y=-5x2+20x=-5（x-2）2+20 ∴ 该抛物线开口向下，顶点坐标为(2,20) ∴ 当 x=2 时，y取得最大值，y最大值=20 ∴ 在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m． 实际问题 数学模型 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 课堂小结 知识点　利用二次函数解决抛物线形运动问题 1.烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的函数表达式为h＝－2(t－5)2＋51.若这种礼炮点火后升至最高点处引爆，则从点火到引爆需要的时间为(　　) A.4 s B.5 s C.8 s D.10 s B 随堂练习 2.一辆汽车刹车后行驶的距离s(m)关于行驶时间t(s)的函数表达式为s＝15t－6t2，那么s关于t的函数图象大致是(　　) A B C D D 3.(2024·合肥蜀山区期末)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s，经过t(s)时球距离地面的高度h(m)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间是(　　) A.1 s B.2 s C.5 s D.10 s B 4.小云沿如图所示的斜坡笔直下滑，下滑的距离s(m)与时间t(s)之间的函数表达式为s＝10t＋t2.若小云从斜坡顶端滑到坡底的时间为2 s，则下滑的高度为______. 12 m 5.(2025·合肥三十八中期中)掷实心球是中考体育考试选考项 目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系.小明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离x(单位：m)与竖直高度y(单位：m)的数据如下表： 水平距离x/m 0 2 4 6 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.2 在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为____m. 10 6.(教材P42习题T4变式)一位橄榄球选手掷球时，橄榄球距地面的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示.已知橄榄球在距离原点6 m时，达到最大高度7 m，橄榄球在距离原点13 m处落地.请根据所给条件解答下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； 解：由题意，知抛物线的顶点坐标为(6，7)， ∴设y与x之间的函数表达式为y＝a(x－6)2＋7. 把(13，0)代入y＝a(x－6)2＋7，得49a＋7＝0，解得a＝－， ∴y与x之间的函数表达式为 y＝－(x－6)2＋7(0≤x≤13). 6.(教材P42习题T4变式)一位橄榄球选手掷球时，橄榄球距地面的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示.已知橄榄球在距离原点6 m时，达到最大高度7 m，橄榄球在距离原点13 m处落地.请根据所给条件解答下列问题： (2)求运动员出手时橄榄球的高度. 解：当x＝0时，y＝－(0－6)2＋7＝， ∴运动员出手时橄榄球的高度为 m. 7.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：如图，测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m 处达到最高，最高点距地 面3.2 m.建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度. (1)求该抛物线对应的函数表达式(不必写出自变量的取值范围)； 解：根据题意，知抛物线的顶点坐标为(5，3.2)， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－5)2＋3.2. 将代入，得0.7＝25a＋3.2，解得a＝－0.1， ∴该抛物线对应的函数表达式为y＝－0.1(x－5)2＋3.2. 7.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：如图，测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m 处达到最高，最高点距地 面3.2 m.建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度. (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m，身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离. 解：令y＝1.6，得1.6＝－0.1(x－5)2＋3.2， 解得x1＝1，x2＝9. ∵爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m， ∴当小红的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 3－1＝2(m)或9－3＝6(m). 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时， 她与爸爸的水平距离为2 m或6 m. 8.(2025·蚌埠蚌山区月考)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(单位：m)与运行的水平距离x(单位：m)满足函数表达式y＝－(x－6)2＋2.6，已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界与点O的水平距离为18 m.下列判断正确的是 (　　) A.球运行的最大高度是2.43 m B.球不会过球网 C.球会过球网但不会出界 D.球会过球网但会出界 D 9.【一题多问】飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的函数表达式为y＝60t－t2. (1)飞机从滑行到停止共用了_____s； (2)飞机从滑行到停止共滑行了______m； (3)在飞机滑行的过程中，最后4 s滑行的距离是_____m. 20 600 24 10.(2025·淮北期中)如图，护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置(其高度忽略不计)为坡地AB进行浇灌，OA＝13 m，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形.已知该装置在最大功率的情况下，水柱在与出水口A的水平距离 为8 m时，达到距离地面OB的最大竖直高度17 m.设喷出的水柱与出水口的水平距离为x(m)，距离地面的竖直高度为y(m)，以坡底B所在的水平方向为x轴，点A处所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，坐标原点为O.经过测量可知，斜坡AB所在直线对应的函数表达式近似为y＝－x＋13. (1)求水柱所在抛物线对应的函数表达式； 解：由题意，得A(0，13)，抛物线的顶点坐标为(8，17)， ∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－8)2＋17. 把A(0，13)代入， 得64a＋17＝13， 解得a＝－， ∴水柱所在抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－8)2＋17. 10.(2025·淮北期中)如图，护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置(其高度忽略不计)为坡地AB进行浇灌，OA＝13 m，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形.已知该装置在最大功率的情况下，水柱在与出水口A的水平距离 为8 m时，达到距离地面OB的最大竖直高度17 m.设喷出的水柱与出水口的水平距离为x(m)，距离地面的竖直高度为y(m)，以坡底B所在的水平方向为x轴，点A处所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，坐标原点为O.经过测量可知，斜坡AB所在直线对应的函数表达式近似为y＝－x＋13. (2)若该装置浇灌的最远点为C，求喷到C处的水柱与出水口的水平距离； 解：联立 解得或 ∴C(24，1)， ∴喷到C处的水柱与出水口的水平距离为24 m. 10.(2025·淮北期中)如图，护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置(其高度忽略不计)为坡地AB进行浇灌，OA＝13 m，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形.已知该装置在最大功率的情况下，水柱在与出水口A的水平距离 为8 m时，达到距离地面OB的最大竖直高度17 m.设喷出的水柱与出水口的水平距离为x(m)，距离地面的竖直高度为y(m)，以坡底B所在的水平方向为x轴，点A处所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，坐标原点为O.经过测量可知，斜坡AB所在直线对应的函数表达式近似为y＝－x＋13. (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则当水柱恰好可以覆盖整个坡地AB时，安装的支架的高度为多少米？ 解：设安装的支架的高度为h m，即抛物线向上平移h个单位， ∴平移后的抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－8)2＋17＋h. 对于y＝－x＋13，当y＝0时，0＝－x＋13，解得x＝26， ∴B(26，0). 将B(26，0)代入y＝－(x－8)2＋17＋h， 得0＝－×(26－8)2＋17＋h，解得h＝. ∴水柱恰好可以覆盖整个坡地AB时， 安装的支架的高度为 m. $$