17.1 用提公因式法分解因式 第1课时 因式分解与提公因式法 课件 2025-2026学年 人教版数学八年级上册

第17章 因式分解 17.1 用提公因式法分解因式 第1课时 情境导入 壹 目 录 课堂小结 肆 当堂达标 叁 新知初探 贰 情境导入 壹 情境导入 思考：630能被哪些数整除？ 把630分解质因数，可以得到： 630 = 2 × 9 × 5 × 7 一个数可以写成若干个因数乘积的形式，一个整式 能不能这样做呢？ 新知初探 贰 新知初探 反过来成立吗？你得到了什么？ 1.如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ a b c p 方法一：p(a+b+c) 方法二：pa+pb+pc p(a+b+c)=pa+pb+pc 整式乘法 ? 任务一　探究因式分解的概念 活动1 (2)(x+1)(x-1)= ; 2.根据所学知识计算下列各式： 3.把下列各多项式写成整式的乘积的形式： (1) x(x+1)== ; x2+x x2 +2x+ 1 . ; (2) x2 -1= . (1) x2 +x= (x + 1)(x − 1) ( x+ 1)2 上述各式从左到右的变形称为 因式分解. 上述各式从左到右的变形称为 整式的乘法. 和 (3) (x + 1)2 = 积 和 x2 - 1 积 (3)x2+2x+1= x(x+1) 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 归纳总结 x2–1 (x+1)(x–1) 因式分解 整式乘法 x2–1 = (x+1)(x–1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 想一想 和 积 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 范例应用 B 结果为积形式. 1.分清题目要求是整式乘法还是因式分解； 2.因式分解的结果必须是乘积形式. 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 即时测评 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．x2+2x﹣1＝（x+1）（x﹣1）+2x C．m2﹣4m+4＝m（m﹣4）+4 D．﹣6x2+3x＝﹣3x（2x﹣1） D 任务二 提取公因式法 活动1 2.根据上题的启发，试一试因式分解: 逆用乘法分配律 1.请用简便的方法计算 365 × 37 + 365 × 63， 思考在简便运算中运用了什么运算法则？ = 365 × (37 + 63) = 365 × 100 = 36500. ma+mb. 365 × 37 + 365 × 63 ma+mb =ma+mb =m(a+b) 365×37+365×63 =365×(37+63) =365×100 =36500 逆用乘法分配律 公因式 m 多项式中各项都含有的公共因式， 叫作这个多项式各项的公因式 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. ( a+b+c ) pa+ pb +pc p = pa+pb+pc 相同因式p 范例应用 公因式是m 【例2】分解因式： (1)mx2+my2; (2)3x2-4xy2+x. 解：(1)mx2+my2 =m•x2+m•y2 =m(x2-y2). (2)3x2-4xy2+x =x•3x-x•4y2+x•1 =x(3x-4y2+1). 公因式是x 即时测评 把下列各式分解因式： (1)ax+ay； (2)a2b2+ab-a; (3)21xy-14xz+x2; (4)2mn-4m2n+m. 解：（1）ax+ay=a(x+y). (2)a2b2+ab-a=a(ab2+b-1). (3)21xy-14xz+x2=x(21y-14z+x). (4)2mn-4m2n+m=m(2n-4mn+1). 当堂达标 叁 当堂达标 1. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2 2.下列分解因式正确的是(　　) (A)2x2-xy-x=x(x-y-1) (B)xy2+2xy-3y=y(xy+2x+3) (C)x2-xy=x(x-y) (D)x2-x-3=x(x-1)-3 B C 3.在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式， 是整式乘法 每个因式必须是整式 4.把下列各式分解因式： (1)a2+5a; (2)x2﹣2x; (3)a2+ab﹣a; (4)4x2+6xy-x. 解：(1)a2+5a＝a（a+5）. (2)x2﹣2x＝x（x﹣2）． (3)a2+ab﹣a＝a（a+b﹣1）. (4)4x2+6xy-x=x(4x+6y-1). 5.利用因式分解进行简便计算: (1)23.7×1.6+8.4×23.7; (2)34.3×17.1+82.5×17.1-268×1.71+171. 解:(1)23.7×1.6+8.4×23.7 =23.7×(1.6+8.4) =23.7×10 =237. (2)34.3×17.1+82.5×17.1-268×1.71+171 =34.3×17.1+82.5×17.1-26.8×17.1+10×17.1 =17.1×(34.3+82.5-26.8+10) =17.1×100 =1 710. 课堂小结 肆 课堂小结 1. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，即： 因式分解 整式乘法 几个整式相乘 一个多项式 提公因式法 分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 2. 课后作业 基础题：1.课后习题 第 1,2题。 提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题 谢 谢 $$