16.3.1平方差公式课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第16章 整式的乘法 16.3 乘法公式 16.3.1 平方差公式 情境导入 壹 目 录 课堂小结 肆 当堂达标 叁 新知初探 贰 情境导入 壹 情境导入 有一个狡猾的地主,把一边长为a米的正方形土地租给王大爷种植.第二年他对王大爷说: “我把这块地的一边增加1米, 另一边减少1米,继续租给你,你看如何?”王大爷没细想就答应了.回到家中,就把这件事和邻居讲了,邻居说:“王大爷您明年租的土地面积变小了.”王大爷非常吃惊.同学们,你能告诉王大爷这是为什么吗? 新知初探 贰 新知初探 后来的面积为(a+1)(a-1) 所以面积变小了 任务一 探究平方差公式 活动1 思考 为什么邻居觉得王大爷租的土地面积变小了? 原来的面积为a2 =a2-a+a-a =a2-1 思考 为什么邻居觉得王大爷租的土地面积变小了? a米 a米 a米 a米 原来 后来 你能用图形割补的方法来解答王大爷 的土地面积变小的原因吗? 归纳总结 a2 从代数角度——多项式乘以多项式 ? a米 a米 (a+1)米 (a-1)米 a2 从几何角度——图形的面积 (a+1)(a-1)= a2 a米 a米 归纳总结 a米 a米 前边我们学习了整式的乘法,知道了多项式与多项式相乘的法则.根据所学知识,计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (1) = ; (2) = ; (3) = . 活动2 你能发现它们的运算形式与结果有什么规律? (1)(x+1)(x-1)= x2 -1 ; (2)(m+2)(m-2)= m2 -4 ; (3)(2x+1)(2x-1)= 4x2-1 . 问题1 等式的左边有什么特点?两个多项式是什么运算? 两个数的和乘以这两个数的差 问题2 等式的右边有什么特点? 平方差形式 问题3 你能从以上3个等式发现了什么规律?能否用字母来表示? (a+b)(a-b)=a2-b2. 你能发现它们的运算形式与结果有什么规律? (1)(x+1)(x-1)= x2 -1 ; (2)(m+2)(m-2)= m2 -4 ; (3)(2x+1)(2x-1)= 4x2-1 . 问题4 你能证明(a+b)(a-b)=a2-b2吗? (a+b)(a-b) 利用图形的面积证明 =a2-ab+ab-b2 = a2-b2 证明猜想 从代数角度 从几何角度 a a b b a2-b2 a b b b (a+b)(a-b)=a2-b2 a-b a-b (a+b)(a-b) 你能用图形的面积说明平方差公式吗? (a+b)(a-b)= a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2 平方差公式 平方差公式 注:这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等. (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同为a 相反为b,-b 适当交换 合理加括号 【归纳总结】平方差公式的结构特点 1.等号左边: (1)两个二项式的积; (2)两个二项式中有相同项和相反项. 2.等号右边: (1)二项式; (2)相同项的平方减去相反项的平方. 范例应用 解:(1) 例1 运用平方差公式计算: (1)(3x+2)(3x-2); (2)(-x+2y)(-x-2y) . (2) 方法总结:应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题: (1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数; (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方; (3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式. 即时测评 1 x -3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) a b a2-b2 (a-b)(a+b) 利用平方差公式填表。 填一填 范例应用 解:(1) (x-1)(x+1)(x2+1) =(x2-1)(x2+1) =x4-1. 例2 计算: (1)(x-1)(x+1)(x2+1); 平方差公式可以多次应用. 例2 计算: (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5); (3) 102 98. 解:(2) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1. 不符合平方差公式运算条件的乘法,按乘法法则进行运算. (3) 102 98 = 1002-22 =10000 – 4 =(100+2)(100-2) =9996; 通过合理变形,利用平方差公式,可以简化运算. 即时测评 计算: (1) 51 49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 解: (1) 原式=(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1 =2499; (2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) = 9x2-16-6x2-5x+6 = 3x2-5x-10. 当堂达标 叁 当堂达标 1.下列各式中不能用平方差公式计算的是( ) A.(m-n)(-m-n) B.(x3-y3)(y3+x3) C.(-m+n)(m-n) D.(2x-3)(3+2x) 2.在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)(1+x) B.( 0.1a+b)(b- 0.1 a) C.(-a+b)(a-b) D.(x2-y)(x+y2) 3.用平方差公式计算(a+2)(a-2)(a2+4)的结果正确的是( ) A.a4-16 B.a4+16 C.(a-1)4 D.(a+1)4 4.对于任意整数m,能整除代数式(m+3)(m-3)-(m-2)(m+2)的整数是( )A.4 B.3 C.5 D. 2 C B A C (1)(3a+2b)(3a-2b) (2)(-3x-5y)(-3x+5y) (3)101 99 (4)(a-b)(a+b)(a2+b2) 5.用平方差公式计算: (2)(-3x-5y)(-3x+5y)=(-3x)2-(5y)2=9x2-25y2; 解:(1)(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2; (3)101 99=(100+1)(100-1)=1002-1=10000-1=9999; (4)(a-b)(a+b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4. 6.先化简,再求值:(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3, 其中x=2. 解:原式=x2–1+x2–x3+x3 =2x2–1. 将x=2代入上式, 原式=2 22–1=7. 课堂小结 肆 课堂小结 平方差公式 内容 注意 两个数的 与这两个数的 ,等于这两个数的 1.符号表示: 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征,在应用时,只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式;对于不能直接应用公式的,可能要经过变形才可以应用. 和 平方差. 差的积 (a+b)(a–b)=a2–b2 课后作业 基础题:1.课后习题 第 1题。 提高题:2.请学有余力的同学完成课后习题第8题 谢 谢 $$