广东省广州市增城区2024～2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省广州市增城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图分别给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如果x＝4是一元二次方程x2﹣3x﹣a＝0的一个根，则常数a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±4 D．4 4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若AB＝10，则CD的长为（　　） A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定 5．（3分）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．80° C．60° D．45° 8．（3分）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH的长是（　　） A． B． C． D．5 10．（3分）如图，矩形ABCD的边AB，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A． B． C．3 D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）一次函数y＝﹣3x+1的图象经过点（﹣1，y1），（3，y2），则y1　 　 y2（填“＞”或“＜”或“＝”）． 13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ． 14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是　 　 ． 15．（3分）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，随机调查了本地50个公园的用地面积，按照A：0＜x≤4，B：4＜x≤8，C：8＜x≤12，D：12＜x≤16，E：16＜x≤20的分组绘制了如图的频数分布直方图，则用地面积在　 　 组的公园个数最多（在“A、B、C、D”中选一个）． 16．（3分）如图，平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的平分线的交点，过点O作EF∥AB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．以下结论： ①AO⊥BO； ②点O是EF的中点； ③四边形CDEF的周长是四边形ABFE的周长的2倍； ④S△AOB+S△COD＝2S△BOC． 其中正确的结论有　 　 （填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17．（4分）解方程：x2﹣6x+5＝0． 18．（4分）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10．求证：∠ACB＝90°． 19．（6分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，得分如下表： 应聘者 甲 乙 丙 学历 7 8 7 能力 8 9 8 经验 8 7 7 （1）甲应聘者得分的众数是　 　 ； （2）若此公司比较看重员工的能力，对学历、能力和经验分别赋权3，5，2，计算甲、乙、丙三名应聘者各自的平均得分，从他们的得分看，应该录取谁？ 20．（6分）如图，点E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：DE＝BF． 21．（8分）如图，在矩形ABCD中． （1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，分别交BC，AD于点E，F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若AB＝4，BC＝8，求AE的长． 22．（10分）如图，有一幅长20cm，宽16cm的矩形照片，现要为这幅照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的二分之一． （1）求相框所占面积； （2）求相框的宽度． 23．（10分）水龙头关闭不严会造成滴水．某数学兴趣小组记录了30min内7个时间点的漏水量，其中x表示时间，y表示漏水量．数据如下表： 时间x/min 0 5 10 15 20 25 30 … 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 … （1）在图中描出上表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据，求漏水量y关于时间x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）在这种滴水状态下，请根据（2）中求出的函数解析式，估算一天的漏水量． 24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（不与点B重合），以BE为边在它的右侧作正方形BEFG．连接AE，过点D作DH⊥AE交AB边于点H． （1）求证：△DAH≌△ABE； （2）连接DF，延长AE，交DF于点O，猜想∠DOA的度数，并证明； （3）在正方形ABCD内部有一点P，连接PE，PB，PF，若PE＝4，PB＝2，求PF的最大值． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数l1：y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，l2：y＝kx+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，直线l1，l2相交于点E，OA＝OC，OB＝OD． （1）求A，B两点的坐标； （2）连接OE，求线段AE，OE，CE三者之间的数量关系； （3）设线段AB的中点为M，点N为直线l2上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 2024-2025学年广东省广州市增城区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A B D B B B B 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而判断得出答案． 【解答】解：A、不是最简二次根式，故此选项不合题意； B、不是最简二次根式，故此选项不合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、2不是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：C． 2．（3分）如图分别给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义进行求解即可． 【解答】解：根据题意可知，自变量x，都有唯一确定的y与之对应， y不是x的函数的是． 故选：B． 3．（3分）如果x＝4是一元二次方程x2﹣3x﹣a＝0的一个根，则常数a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±4 D．4 【答案】D 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解a的一元二次方程． 【解答】解：把x＝4代入方程x2﹣3x﹣a＝0可得16﹣12＝a， 解得a＝4， 故选：D． 4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若AB＝10，则CD的长为（　　） A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定 【答案】A 【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CDAB10＝5． 故选：A． 5．（3分）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，点A处所表示的数到0的距离为，进而可得答案． 【解答】解：由图可得，点A处所表示的数到0的距离为， ∴图中标注在点A处所表示的数为． 故选：B． 6．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：32，故选项A错误，不符合题意； 2不能合并，故选项B错误，不符合题意； 422，故选项C错误，不符合题意； 4，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 7．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．80° C．60° D．45° 【答案】B 【分析】利用平行四边形的对角相等，邻角互补求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A＝∠C， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠C＝200° ∴∠A＝∠C＝100°， ∴∠B＝80°， 故选：B． 8．（3分）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数y＝ax+b和正比例函数y＝kx的图象可知，点P就是一次函数y＝ax+b和正比例函数y＝kx的交点，即二元一次方程组的解． 【解答】解：根据题意可知，二元一次方程组的解就是一次函数y＝ax+b和正比例函数y＝kx的图象的交点P的坐标， 由一次函数y＝ax+b和正比例函数y＝kx的图象，得 二元一次方程组的解是． 故选：B． 9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH的长是（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得AB的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得DH的长． 【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝3， ∴， ∵AC•BD， ∴， 故选：B． 10．（3分）如图，矩形ABCD的边AB，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为（　　） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB，BC＝3， ∴∠B＝90°，CD，AD＝3， ∵AE＝1， ∴BE， ∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°， ∴∠EGH＝∠FEA， 在△GEH和△FEA中， ， ∴△GEH≌△EFA（AAS）， ∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≥2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 12．（3分）一次函数y＝﹣3x+1的图象经过点（﹣1，y1），（3，y2），则y1　＞　 y2（填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1的k＝﹣3＜0， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵﹣1＜3， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞3　 ． 【答案】m＞3． 【分析】根据根的判别式Δ＞0列出关于m的不等式，求解不等式得到m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0， 解得：m＞3． 故答案为：m＞3． 14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是　16　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先利用三角形中位线性质得到AB＝4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长． 【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴AB＝2EF＝4， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4， ∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16． 故答案为16． 15．（3分）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，随机调查了本地50个公园的用地面积，按照A：0＜x≤4，B：4＜x≤8，C：8＜x≤12，D：12＜x≤16，E：16＜x≤20的分组绘制了如图的频数分布直方图，则用地面积在　C　 组的公园个数最多（在“A、B、C、D”中选一个）． 【答案】C． 【分析】用地面积在C组的公园个数最多，有16个． 【解答】解：由图知，用地面积在C组的公园个数最多，有16个， 故答案为：C． 16．（3分）如图，平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的平分线的交点，过点O作EF∥AB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．以下结论： ①AO⊥BO； ②点O是EF的中点； ③四边形CDEF的周长是四边形ABFE的周长的2倍； ④S△AOB+S△COD＝2S△BOC． 其中正确的结论有　①②④　 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④． 【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB+∠OBA＝90°，则∠AOB＝90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF得到AE＝OE，BF＝OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE＝BF，所以OE＝OF，则可对②进行判断；设AB＝2x，BC＝3x，则EF＝2x，AD＝3x，EA＝OE＝x，AD＝3x，则可对③进行判断；证明△OAB+S△OCDS▱ABCD，S△BOCS▱ABCD，可对④进行判断． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点， ∴∠OAB＝∠OAE∠BAD，∠OBA＝∠OBF∠ABC， ∴∠OAB+∠OBA（∠BAD+∠ABC）×180°＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴AO⊥BO，所以①正确； ∵EF∥AB， ∴∠BAO＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF， ∵∠OAB＝∠OAE，∠OBA＝∠OBF， ∴∠OAE＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF， ∴AE＝OE，BF＝OF， ∵AE∥BF，AB∥EF， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∴AE＝BF， ∴OE＝OF，即O点为EF的中点，所以②正确； ∵3AB＝2BC， ∴设AB＝2x，BC＝3x， ∴EF＝2x，AD＝3x， ∴EA＝OEEF＝x， ∴AD＝3AE， ∴C▱ABFE＝6x，C▱CDEF＝16x， ∴四边形CDEF的周长不是四边形ABFE的周长的2倍；所以③错误； ∵S△OABS▱ABFE，S△OCDS▱FEDC， ∴S△OAB+S△OCDS▱ABCD， ∵OE＝OF， ∴S△AOD＝S△BOC， ∴S△BOCS▱ABCD， ∴S△AOB+S△COD＝2S△BOC，所以④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17．（4分）解方程：x2﹣6x+5＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0，x﹣5＝0， x1＝1，x2＝5． 18．（4分）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10．求证：∠ACB＝90°． 【答案】见解析． 【分析】根据勾股定理的逆定理即可求出∠ACB＝90°． 【解答】证明：在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴BC2+AC2＝36+64＝100＝102＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°． 19．（6分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，得分如下表： 应聘者 甲 乙 丙 学历 7 8 7 能力 8 9 8 经验 8 7 7 （1）甲应聘者得分的众数是　8　 ； （2）若此公司比较看重员工的能力，对学历、能力和经验分别赋权3，5，2，计算甲、乙、丙三名应聘者各自的平均得分，从他们的得分看，应该录取谁？ 【答案】（1）8； （2）从他们的得分看，应该录取乙． 【分析】（1）根据众数的定义求解即可； （2）根据加权平均数的定义分别计算出三人的平均得分，比较大小即可得出答案． 【解答】解：（1）甲应聘者得分的众数是8， 故答案为：8； （2）甲的平均得分为7.7（分）， 乙的平均数得分为8.3（分）， 丙的平均数得分为7.5（分）， ∵7.5＜7.7＜8.3， ∴从他们的得分看，应该录取乙． 20．（6分）如图，点E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：DE＝BF． 【答案】证明见解答． 【分析】由平行四边形的性质得CD∥AB，CD＝AB，则∠DCE＝∠BAF，而CE＝AF，即可根据“SAS”证明△DCE≌△BAF，则DE＝BF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∴∠DCE＝∠BAF， 在△DCE和△BAF中， ， ∴△DCE≌△BAF（SAS）， ∴DE＝BF． 21．（8分）如图，在矩形ABCD中． （1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，分别交BC，AD于点E，F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若AB＝4，BC＝8，求AE的长． 【答案】（1）见解答． （2）AE的长为5． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由线段垂直平分线的性质AE＝CE．由矩形的性质得∠B＝90°．设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2，代入求出x的值即可． 【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求． （2）∵直线EF为线段AC的垂直平分线， ∴AE＝CE． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°． 设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， ∴AE的长为5． 22．（10分）如图，有一幅长20cm，宽16cm的矩形照片，现要为这幅照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的二分之一． （1）求相框所占面积； （2）求相框的宽度． 【答案】（1）相框所占面积为160cm2； （2）相框的宽度为2cm． 【分析】（1）根据相框所占面积为照片面积的二分之一，列式计算即可； （2）设相框的宽度为x cm，根据配上相框的照片面积＝照片面积+相框的面积，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，20×16160（cm2）， 答：相框所占面积为160cm2； （2）设相框的宽度为x cm， 由题意得：（20+2x）（16+2x）＝20×16+160， 整理得：x2+18x﹣40＝0， 解得：x1＝﹣20（不符合题意，舍去），x2＝2， 答：相框的宽度为2cm． 23．（10分）水龙头关闭不严会造成滴水．某数学兴趣小组记录了30min内7个时间点的漏水量，其中x表示时间，y表示漏水量．数据如下表： 时间x/min 0 5 10 15 20 25 30 … 漏水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 … （1）在图中描出上表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据，求漏水量y关于时间x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）在这种滴水状态下，请根据（2）中求出的函数解析式，估算一天的漏水量． 【答案】（1）见解答； （2）y＝3x； （3）4320mL． 【分析】（1）描点即可； （2）根据图象判断y与x之间的函数类型，再利用待定系数法求其解析式即可； （3）将一天的分钟数作为x的值代入（2）中求得的函数解析式，求出对应y的值即可． 【解答】解：（1）描点如图所示： （2）∵这些点分布在过原点的同一条直线上， ∴y是x的正比例函数， 设y关于x的函数解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）， 将坐标（5，15）代入y＝kx， 得5k＝15， 解得k＝3， ∴y关于x的函数解析式为y＝3x． （3）当x＝24×60＝1440时，y＝3×1440＝4320， ∴一天的漏水量为4320mL． 24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（不与点B重合），以BE为边在它的右侧作正方形BEFG．连接AE，过点D作DH⊥AE交AB边于点H． （1）求证：△DAH≌△ABE； （2）连接DF，延长AE，交DF于点O，猜想∠DOA的度数，并证明； （3）在正方形ABCD内部有一点P，连接PE，PB，PF，若PE＝4，PB＝2，求PF的最大值． 【答案】（1）证明见解答； （2）45°，证明见解答； （3）． 【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定定理即可得证； （2）连接HF，根据全等三角形的判定与性质及正方形的性质，证得四边形AHFE是平行四边形，进而证得△DHF是等腰直角三角形，即可解答； （3）过点E作EQ⊥EP，且EQ＝EP，连接PQ、FQ，利用勾股定理求出PQ，根据正方形的性质证明△PEB≌△QEF（SAS），得到PB＝QF＝2， 【解答】（1）证明：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BA，∠DAH＝∠ABE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵DH⊥AE， ∴∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△DAH和△ABE中， ， ∴△DAH≌△ABE（ASA）； （2）45°，证明如下： 如图，连接HF， 由（1）可知△DAH≌△ABE， ∴AH＝BE，DH＝AE， ∵四边形BEFG是正方形， ∴BE＝EF，EF∥AB， ∴EF∥AH，EF＝AH， ∴四边形AHFE是平行四边形， ∴AE∥HF，AE＝HF， ∵DH⊥AE， ∴DH⊥HF，DH＝HF， ∴△DHF是等腰直角三角形， ∴∠DFH＝45°， ∵AE∥HF， ∴∠DOA＝∠DFH＝45°． （3）如图，过点E作EQ⊥EP，且EQ＝EP，连接PQ、FQ， ∵PE＝4， ∴EQ＝4， 在Rt△EPQ中，， ∵四边形BEFG是正方形， ∴EB＝EF，∠BEF＝∠PEQ＝90°， ∴∠PEB＝∠QEF， ∴△PEB≌△QEF（SAS）， ∴PB＝QF＝2， ∴， ∴PF的最大值为． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数l1：y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，l2：y＝kx+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，直线l1，l2相交于点E，OA＝OC，OB＝OD． （1）求A，B两点的坐标； （2）连接OE，求线段AE，OE，CE三者之间的数量关系； （3）设线段AB的中点为M，点N为直线l2上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（0，4）； （2）AE2＝OE2+CE2； （3）N点坐标为（，）或（，）或（0，2）或（，）． 【分析】（1）x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝﹣2，即可求A、B点坐标； （2）求出直线CD的解析式，再求出E点坐标，分别求出AE、OE、CE的长，即可求解； （3）设N（m，m+2），分三种情况：当OM⊥ON时，当OM⊥MN时，当MN⊥ON时，利用勾股定理分别求出m的值即可． 【解答】解：（1）y＝2x+4中，x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，4）； （2）∵A（﹣2，0），B（0，4）， ∴AO＝2，OB＝4， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴C（0，2），D（4，0）， ∴直线CD的解析式为yx+2， 当x+2＝2x+4时，解得x， ∴E（，）， ∴AE，OE，CE， ∴AE2＝OE2+CE2； （3）∵A（﹣2，0），B（0，4），M是AB的中点， ∴M（﹣1，2）， 设N（m，m+2）， ∴OM2＝5，ON2m2﹣m+4，MN2m2+2m+1， 当OM⊥ON时，m2+2m+1m2﹣m+4+5， 解得m， ∴N（，）； 当OM⊥MN时，m2﹣m+4m2+2m+1+5， 解得m， ∴N（，）； 当MN⊥ON时，m2﹣m+4+MN2m2+2m+1＝5， 解得m＝0或m， ∴N（0，2）或（，）； 综上所述：N点坐标为（，）或（，）或（0，2）或（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$