精品解析：安徽省马鞍山市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷

马鞍山市2024～2025学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知某圆锥的母线与底面所成的角为60°，且母线长为2，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 3. 已知为复数，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 4. 已知平面向量，，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 5. 如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，且，为棱的中点，在棱上，且. （1）求证：； （2）记平面底面，求二面角的大小； （3）当异面直线与所成角为30°时，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市2024～2025学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的模公式求解. 【详解】由题，， 所以. 故选：C. 2. 已知某圆锥的母线与底面所成的角为60°，且母线长为2，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由给定条件列出关于圆锥底面圆半径，圆锥母线的关系式，求得，进而求出圆锥的表面积. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线为， 由圆锥的结构特征知：，即，所以， 所以圆锥的表面积. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 3. 已知为复数，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对AD，举反例说明；对B，由共轭复数的定义可判断；对C，根据共轭复数的定义结合复数的乘法运算可判断. 【详解】对于A，，此时，故A错误； 对于B，若，由共轭复数的定义可得，故B正确； 对于C，设，由，则， 所以，故C正确； 对于D，如，，满足，但，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 4. 已知平面向量，，若，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标关系列式求解. 【详解】由，则，解得. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 5. 如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. 【答案】（1） 取中点为，连接和， 因为点为的中点，所以，， 因为点为的中点，所以，， 所以，，故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. （2） 连接，由，，得， 又，则， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 由（1）知，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）取中点为，证明四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理得证； （2）连接，可证，得平面，结合（1），可得平面，根据面面垂直的判定定理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，且，为棱的中点，在棱上，且. （1）求证：； （2）记平面底面，求二面角的大小； （3）当异面直线与所成角为30°时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 因为底面，底面，所以， 因为底面为矩形，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）45° （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定理即可证明； （2）延长与交于点，先证即为，再通过证平面，确定即二面角的平面角即得； （3）根据异面直线所成角的定义得与所成角即，根据题中条件，利用等面积法求得，进而求得，再由计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为棱的中点，所以， 由（1），易得平面， 因为平面，所以， 延长与交于点，则即， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 所以即二面角的平面角，大小为45°. 【小问3详解】 与所成角即与所成角，即，则， 由（2），所以，所以，则， 由得，所以， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $