精品解析：广西南宁市部分学校2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

2025年春季期高一期末教学质量监测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入验证，再由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，又，，，， 所以，故A正确. 故选：A. 2. 某学校高一年级有男生480人，女生660人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出19人，则男生比女生少选（ ）． A. 1人 B. 2人 C. 3人 D. 4人 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法可求抽取男生、女生的人数，即可求解. 【详解】由题可知，选出的男生有人，则选出的女生有11人， 所以男生比女生少选3人． 故选：C. 3. 已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则化简，再根据对称性求解即可. 【详解】， 因为z与在复平面内对应的点关于虚轴对称， 所以． 故选：B. 4. 已知函数对任意x，都满足，且，则（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】令可求出，令、可求出. 【详解】令，则， 令，，则． 故选：C 5. 已知l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置关系，线线位置关系判断各个选项. 【详解】若，，则或，A不正确． 若，，，则或l与m异面，B不正确． 若，，则或，C不正确． 若，，，则，D正确． 故选：D. 6. 已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由是减函数，列不等式组，解出即可. 【详解】因为是减函数，所以，解得． 故选：B. 7. 在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，运用向量的加减数乘运算，将用向量表示即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，则点G为 的三等分点， 即， 则． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A利用不等式的性质即可判断，对于B作差法即可判断，对于C取，即可判断，对于D利用均值不等式即可判断. 【详解】因为，所以，故A正确； ，故B正确； 取，，则，故C错误； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，又，所以等号不成立，故D错误. 故选：AB. 9. 若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ ） A. 这两个图都是二部图的概率为 B. 这两个图至少有一个是二部图的概率为 C. 这两个图不都是二部图的概率为 D. 这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据二部图的定义确定这6个图中，二部图的个数，再根据古典概型，通过列举的方法，即可概率. 【详解】 对于图（1），图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图（4）也是如此，所以图（1）与图（4）不是二部图． 除了这两个图，其他四个图都是二部图， 例如，对于图（3），当时，图中的每一条边的一个关联结点在中， 另一个关联结点必在中； 对于图（5），当时，图中的每一条边的一个关联结点在中， 另一个关联结点必在中．从这六个图中任选两个，所有的选择为 ， ， ，共15种． 这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种， 这两个图不都是二部图的选择共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种， 故这两个图都是二部图的概率为，故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 这两个图不都是二部图的概率为，故C正确； 这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 10. ______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据复数模的计算公式求解即可. 【详解】. 故答案为： 11. 已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥体积求得，由勾股定理求得，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】设该圆锥的底面半径为r．因为该圆锥的轴截面为正三角形，所以该圆锥的高为， 则该圆锥的体积，解得． 画出圆锥及其外接球的轴截面如图所示， 设该球体的半径为R，则，解得， 则该球体的表面积为． 故答案为：. 12. 已知四边形是圆O的内接四边形，且，，的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆O的面积为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】解方程求出、，在与中，由余弦定理求出、，再由正弦定理求出圆O的半径，求出、可得答案. 【详解】解方程，可得，， 不妨令，． 因为四边形是圆O的内接四边形，所以， 则在与中，由余弦定理可得 ， 整理得， 则，则，，． 设圆O的半径为R，则， 则， ， 则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为． （1）求袋子中绿球的个数； （2）若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式列方程求解； （2）根据独立事件概率乘法公式进行计算. 【小问1详解】 袋子中装有4个红球，m个绿球，从中有放回地随机取出1个球， 则绿球被取出的概率为． 由题可知，解得， 故袋子中绿球的个数为2． 【小问2详解】 由题可知，每次绿球被取出的概率为，则每次红球被取出的概率为， 且2次取出的球的颜色相互独立． 第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为； 第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为． 故2次取出的球的颜色不同的概率为． 14. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）证明：函数在上单调递增． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，当时，． 任取，，令， 则， 因为，所以，，，则， 则，即， 从而可证在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质可求出当时，，从而可求解； （2）利用函数单调性证明的定义法可得，从而可求解证明. 【小问1详解】 当时，， 因当时，，得． 因为是偶函数，所以当时，． 故． 【小问2详解】 略 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，且． （1）求A； （2）若，求的面积； （3）求． 【答案】（1）． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系求得，利用边角互换即可求得结果. （2）利用求得的值，再用正弦定理求得边c，即可求得三角形面积. （3）由（1）的结果利用角A的余弦定理，计算即可取得结果. 【小问1详解】 因为，所以． 又因为，所以． 因为A为锐角，所以． 【小问2详解】 由（1）知． 由正弦定理得， 所以 【小问3详解】 由余弦定理得， 整理得， 所以． 因为，所以 16. 为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了m名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的样本学生比在内的学生少10人． （1）求a，m的值； （2）求样本学生运动时长的中位数； （3）若在，，内的样本学生运动时长的平均数分别为6，10，14，方差分别为，，，求在内的样本学生运动时长的方差． 【答案】（1）， （2）11.2小时 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1列方程求a，再根据运动时长在内的样本学生比在内的学生少10人列方程求m； （2）根据频率判断中位数所在区间，设为x，再根据中位数频率为列方程求x即可； （3）代入分层抽样平均数公式求解平均数，所得平均数代入分层抽样方差公式求解即可. 【小问1详解】 由图可知，解得， 在样本中，运动时长在内的频率为， 运动时长在内的频率为， 则，解得； 【小问2详解】 因为， ， 所以样本学生运动时长的中位数在内．设中位数为x小时， 则，解得， 即样本学生运动时长的中位数为11.2小时； 【小问3详解】 由图可知，运动时长在，，内的样本学生的频率分别为0.2，0.25，0.15， 则在内的样本学生运动时长的平均数为， 因为在，，内的样本学生运动时长的方差分别为，，， 所以在内的样本学生运动时长的方差 ． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形,,为等边三角形，，E，F分别是棱，的中点. （1）求四棱锥的体积. （2）在棱上是否存在点G，使得平面平面?若点G存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）若H是棱的中点，求二面角的正弦值. 【答案】（1）16 （2）存在，. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据边长的关系可证明垂直，进而根据线面垂直的判定求解平面，即可由体积公式求解； （2）利用线线平行可证明平面，进而根据比例关系可得求证线面平行，即可根据面面平行的判定求解； （3）根据长度关系可证明，即可利用等体积法求解点到平面的距离，即可求解. 【小问1详解】 连接. 因为四边形是边长为4的菱形，， 所以为边长为4的等边三角形. 因为是线段的中点，所以，所以. 因为是边长为4的等边三角形，且是线段的中点，所以，且. 因为，，所以，所以. 因为平面，平面，且，所以平面， 则四棱锥的体积为. 【小问2详解】 存在满足条件的点，此时. 理由如下： 连接，记，，连接，，，. 因为E，F分别是棱，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为四边形是菱形，所以是的中点，所以. 因为，且是棱的中点，所以，所以. 若平面平面，平面与平面与平面分别相交于直线, 故，所以，故， 所以在棱上存在点G，使得平面平面，且. 【小问3详解】 连接. 在中，由余弦定理可得. 由（1）可知平面，且平面，所以. 因为，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以，则. 因为，，且为棱的中点， 所以. 因为，，，所以，所以. 作，垂足为M，则，解得. 设点到平面的距离为. 因为，即, 则， 所以，解得. 设二面角的大小为，则， 即二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期高一期末教学质量监测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 某学校高一年级有男生480人，女生660人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出19人，则男生比女生少选（ ）． A. 1人 B. 2人 C. 3人 D. 4人 3. 已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知函数对任意x，都满足，且，则（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 5. 已知l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 9. 若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ ） A. 这两个图都是二部图的概率为 B. 这两个图至少有一个是二部图的概率为 C. 这两个图不都是二部图的概率为 D. 这两个图恰有一个是二部图的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 10. ______． 11. 已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______． 12. 已知四边形是圆O的内接四边形，且，，的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆O的面积为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为． （1）求袋子中绿球的个数； （2）若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率． 14. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）证明：函数在上单调递增． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，且． （1）求A； （2）若，求的面积； （3）求． 16. 为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了m名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的样本学生比在内的学生少10人． （1）求a，m的值； （2）求样本学生运动时长的中位数； （3）若在，，内的样本学生运动时长的平均数分别为6，10，14，方差分别为，，，求在内的样本学生运动时长的方差． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形,,为等边三角形，，E，F分别是棱，的中点. （1）求四棱锥的体积. （2）在棱上是否存在点G，使得平面平面?若点G存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）若H是棱的中点，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $