14.2 三角形全等的判定 课时2 ASA和AAS 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 课时2 用两角一边判定三角形全等 目 录 1. 学习目标 3. 知识点1 三角形全等的基本事实：角边角(ASA) 5. 课堂小结 2. 新课导入 4. 知识点2 三角形全等的基本事实：角角边(AAS) 6. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 7. 对接中考 1. 探索三角形全等的条件. 2. 理解并掌握全等三角形“角边角(ASA)和角角边(AAS) ”的判定方法和应用. 3. 选择恰当的方法判定两个三角形全等. 学习目标 知识回顾 三角形全等的判定 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”). 为证明线段和角相等提供新的证法. 内容 边角边 1.已知两边，必须找夹角； 2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边. 应用 注意 新课导入 上节课我们探索了只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的两个三角形一定全等 . 并探索了满足三个条件中的两个三角形的两边和一角分别相等的情况，接下来研究两个三角形的两角和一边分别相等的情况. ①两边一角； ②两角一边. ③三边； ④三角； 新课导入 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形玻璃吗? 如果可以，带哪块去合适? 你能说明理由吗? 3 2 1 新课讲解 知识点1 三角形全等的基本事实：角边角(ASA) 探究 如图，直观上，AB，∠A，∠B 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果 A'B' = AB，∠A' =∠A， ∠B' =∠B，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗？ 新课讲解 作法： (1)画A′B′=AB. (2)在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A，∠EB′A′=∠B，A′D，B′E相交于点C′. (3)△A′B′C′即为所作三角形. 如图，△A′B′C′就是所求作的三角形. 将原来的△ABC和△A′B′C′叠加在一起，能否完全重合？ C A B 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′（即两角和它们的夹边分别相等）. 有两个角及其夹边对应相等的两个三角形能够完全重合. 结论 新课讲解 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 在△ABC 与 △ A′B′C′ 中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA）． 几何语言： ∠B =∠B′， BC = B′C′， ∠C =∠C′， 三角形全等的基本事实基本事实： 例 新课讲解 在书写两个三角形全等的条件“角边角”时,要按照“角→边→角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边分别相等. 注意 分析：如果能证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE.由题意可知，△ACD和△ABE具备“角边角”的条件. 1. 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证AD=AE. 证明：在△ACD和△ABE中， ∠A=∠A（公共角）， AC=AB（已知）， ∠C=∠B（已知）， ∴ △ACD≌△ABE（ASA）， ∴AD=AE. 例 新课讲解 分析：根据题意构造出两个直角三角形，利用全等三角形的性质得出对应边相等.注意题目中隐藏一对对顶角，根据“ASA”证明两个三角形全等即可得出题目要求的结论. 2. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？ A B C D F E ┐ ┐ 解：由题可知AB⊥BC，ED⊥DC， 则∠ABC=∠EDC=90°. 在△ABC和△EDC中， ∠ABC=∠EDC， BC=DC， ∠ACB=∠ECD， ∴△ABC≌△EDC（ASA）. ∴AB=ED，即DE的长就是AB的长. 新课讲解 练一练 1. 如下图，已知∠B=∠D，DC=BC，还需要给出什么条件，即可得出△ABC≌△EDC.根据是什么？ 条件（ ），根据（ ）. 条件（ ）， 根据（ ）. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 AB=ED ∠ACB=∠ECD 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C E A D B 新课讲解 练一练 2. 如图，AD=AE，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E. 求证BD=CE. 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC, ∴∠AEB=∠ADC=90°. 在△ABE和△ACD中， ∠AEB=∠ADC， AE=AD（已知）， ∠A= ∠A（公共角）, ∴△ABE≌△ACD (ASA). ∴AB=AC. ∴AB-AD=AC-AE， 即BD=CE. 知识点2 三角形全等的基本事实：角角边(AAS) 新课讲解 思考 两个三角形的两角和一边分别相等，除了两角和它们的夹边分别相等，还有两角和其中一组等角的对边分别相等的情况. 如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等吗？ 新课讲解 如图，在△ABC和△A' B' C'中，∠A＝∠A'，∠B＝ ∠B'，BC=B'C'. 求证：△ABC≌△A'B'C'． ∠B=∠B′ ， BC=B′C ′， ∠C=∠C′ ， 证明：∵∠A＝∠A'，∠B＝ ∠B'， ∴∠C＝∠C'. 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′ （ASA）. C' A' B' C A B 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 结论 新课讲解 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”). 在△ABC和△A′B′C′中 ∴△ABC≌△A′B′C′ （AAS） ． 几何语言： ∠A=∠A′（已知）， ∠B=∠B′ （已知）， BC=B′C′（已知）， 三角形全等的基本事实基本事实： 例 新课讲解 在书写两个三角形全等的条件“角角边”时，要按照“角→角→边”的顺序来写. 注意 3. 已知，如图，点A, D, B, E在同一条直线上，∠ADF=∠EBC，∠C=∠F，AD=BE. 求证AC=EF. 证明：∵AD=BE， ∴AD+BD=BE+BD， ∴AB=DE. ∵∠ADF=∠EBC， ∴∠180°-∠ADF=180°-∠EBC， ∴∠EDF=∠ABC. 在△ABC和△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF (AAS)， ∴AC=EF. 新课讲解 例 4. 如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：△ ABC≌△ AED． 方法点拨：判定两个三角形全等，可采用执果索因的方法，即根据结论反推需要的条件. 如本题还缺少∠BAC＝∠EAD，需利用已知条件∠1＝∠2进行推导. 证明：∵∠ 1= ∠ 2， ∴∠ 1＋∠ EAC= ∠ 2＋∠ EAC，即∠ BAC= ∠ EAD. 在△ ABC 和△ AED 中， ∠ C= ∠ D， ∠ BAC=∠ EAD， AB=AE， ∴△ ABC ≌△ AED(AAS). 新课讲解 例 3. 如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？ A D B C 解：C，D到B的距离相等. ∵AB是南北方向，CD是东西方向， ∴∠BAD=∠BAC=90°. 在△BAD和△BAC中， AD=AC， ∠BAD=∠BAC， BA=BA， ∴△BAD≌△BAC（SAS）， ∴BD=BC. 新课讲解 练一练 1. 如图 ，已知∠1 =∠2，AC =DB，求证∠ABD=∠DCA. 证明：在△ABC与△DCB中， ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴∠ABC=∠DCB. ∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2， 即∠ABD=∠DCA. 新课讲解 练一练 2. 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使得CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ A B C D E 解：由题可知，∠ACB=∠DCE（对顶角相等）. 在△CAB和△CDE中， CA=CD， ∠ACB=∠DCE， CB=CE， ∴△CAB≌△CDE（SAS）. ∴AB=DE， 即DE的长就是A，B的距离. 新课讲解 练一练 3. 如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E，求证BE＝CF. 证明：∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD. ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 在△BED与△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS)． ∴BE＝CF. 新课讲解 “ASA”和“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 1. 判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的. 2. 三角分别相等的两个三角形形状相同、大小不一定相同，因此不一定全等. 方法总结 课堂小结 三角形全等的判定 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 为证明线段和角相等提供新的证法. 内容 角角边 注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别 应用 注意 角边角 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(简写成“角角边”或“AAS”). 内容 当堂小练 1. 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC=AD. 证明：∵∠1=∠2，∠C=∠D， ∴∠ABC=∠ABD . 在△ABC和△ABD中， ∠1=∠2， AB=AB（公共边）， ∠ABC=∠ABD， ∴△ABC≌△ABD（ASA）. ∴AC=AD. A B 1 2 C D 当堂小练 2. 如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE//AB，∠B=∠DAE. 求证：△ABC≌△DAE. 证明：∵DE//AB， ∴ ∠CAB=∠EDA. 在△ABC和△DAE中， ∠CAB=∠EDA， AB=DA， ∠B=∠DAE， ∴△ABC≌△DAE（ASA）. 有平行线就可以转化出相等的角. C B D E A 当堂小练 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，求AE的长. 解：∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°. ∴∠B=∠ACD. ∵EF⊥AC， ∴∠FEC=90°. ∴∠ACB=∠FEC. A B C D E F 分析：题目中已经给出一对边相等，可以选择“SSS”，“SAS”或者“ASA”.根据题意的垂直关系可以转化出相等的角，所以本题选择“ASA”.利用好垂直关系和余角定理是解决本题的关键. 在△ACB和△FEC中， ∠B=∠FCE， BC=CE， ∠ACB=∠FEC， ∴△ACB≌△FEC（ASA）. ∴ AC=EF. ∵BC=2cm，EF=5cm， ∴ AE=3cm. 当堂小练 4. 如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC//DF. 求证：（1）△ABC≌△DEF. （2）BE=CF. 证明：(1) ∵AC//DF， ∴∠ACB=∠F. 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠F， ∠A=∠D， AB=DE， ∴△ABC≌△DEF（AAS）. A C D F B E (2) ∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF. ∴BC-EC=EF-EC，即BE=CF. 等边加（减）等边，其和（差）还是等边， 等角加（减）等角，其和（差）还是等角. 总结 当堂小练 5. 如图，已知AD=BC，AC=BD. （1）求证：△ADB≌△BCA. （2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由. 证明：（1）∵在△ADB和△BCA中， AD=BC， AB=BA（公共边）， BD= AC， ∴△ADB≌△BCA（SSS）. A C D B O （2） OA与OB相等.理由如下： 由（1）得△ADB≌△BCA ， ∴∠D=∠C. 在△DOA和△COB中, ∠D=∠C， ∠DOA=∠COB， AD=BC， ∴△DOA≌△COB（AAS）， ∴OA=OB. 当堂小练 6. 如图，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求证：AB=AD，∠B=∠D. 分析：等角加等角，其和仍然是等角；同理，等角减等角，其差仍然是等角.利用题目中已经给出的角转化出新的相等的角，从而证明三角形全等，利用全等的性质得出对应角相等，对应边相等. 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC， 即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE， AC=AE， ∠C=∠E， ∴△ABC≌△ADE（ASA）. ∴AB=AD，∠B=∠D. 1 B E D A 2 F 当堂小练 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90，BD＝AE，直线m经过点A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点D，E. 求证：(1)△BDA≌△AEC； (2)DE＝BD+CE. 证明：(1) ∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°. ∵AB⊥AC， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE. 在△BDA和△AEC中, ∴△BDA≌△AEC(ASA). (2)由(1)知△BDA≌△AEC， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+DA＝BD+CE. “一线三垂直”模型 对接中考 1. 如图，B是线段AC的中点，AD∥ BE，BD∥CE.求证：△ABD≌△BCE． 方法点拨：解题的关键是由两组平行线得出两组角对应相等，构造两角及其夹边对应相等. 证明：∵ B 为线段AC 的中点， ∴ AB=BC. ∵ AD ∥ BE，BD ∥ CE， ∴∠ A= ∠ EBC，∠ C= ∠ DBA. 在△ ABD 和△ BCE 中， ∴△ ABD ≌△ BCE(ASA). ∠ A= ∠ EBC， AB=BC， ∠ DBA= ∠ C， 对接中考 2. 已知：如图，点D 为线段BC 上一点，BD=AC，∠ E= ∠ ABC，DE ∥AC.求证：DE=BC. 拓展与延伸 1. 如图，AB⊥CD，且AB=CD. E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a， BF=b，EF=c，则AD的长为（ ） A. a+c B. b+c C. a-b+c D. a+b-c A B C E F D 解析：设AB，CD相交于点M. ∵CE⊥AD，AB⊥CD， ∴∠AMD=∠CED=90°. ∵∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°， ∴∠A=∠C. ∵BF⊥AD， ∴∠AFB=90°. M 在△ABF和△CDE中， ∠AFB=∠CED， ∠A=∠C， AB=CD， ∴△ABF≌△CDE（AAS）. ∴AF=CE=a，BF=DE=b. ∵EF=c， ∴DF=DE-EF=b-c， ∴AD=AF+DF=a+b-c. D 拓展与延伸 D 2. 如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明. 已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“SAS”. 解：（1） 添加AE=AF，证明如下： ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD. ∵在△AED和△AFD中， AE=AF， ∠EAD=∠FAD， AD=AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. （2） 添加∠EDA=∠FDA ，证明如下： ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD. ∵在△AED和△AFD中， ∠EDA=∠FDA， AD=AD， ∠EAD=∠FAD， ∴△AED≌△AFD（ASA）. 已有一边和一角分别相等，可以构造一角相等选择“ASA”. （3） 添加∠DEA=∠DFA，证明如下： ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD. ∵在△AED和△AFD中， ∠DEA=∠DFA， ∠EAD=∠FAD， AD=AD， ∴△AED≌△AFD（AAS）. 已有一边和一角分别相等，可以构造一角相等选择“AAS”. 证明：∵DE∥AC， ∴∠EDB＝∠C. 在△BDE和△ACB中， ∴△BDE≌△ACB(AAS)． ∴DE＝BC. $$