精品解析：云南省保山市2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

2025年春季学期期末质量监测 高二年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定的定义即可得解. 【详解】命题“”的否定是“”， 故选：B． 2. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】法一：求出渐近线方程，利用点到直线距离公式进行求解；法二：利用结论“双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长”直接得到答案. 【详解】法一：双曲线的渐近线方程为，焦点， 焦点到渐近线的距， 法二：利用结论“双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长”得，. 故选：C． 3. 已知，则有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】A 【解析】 【分析】设置函数，对函数求导，判断单调性，求出最大值. 【详解】设，求导得：， 当时，，所以函数在区间内单调递减． 因此，函数在处取得最大值为. 故选：A． 4. 已知向量，，，当与垂直时，点的轨迹为（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算即可求出轨迹方程即可得到结果. 【详解】由题，，当与垂直时，， ∴， 化简得，点的轨迹为椭圆， 故选：C． 5. 已知数列满足：均有，且，，则（ ） A. 5 B. -5 C. -3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据原等式先判断数列的周期，从而可求出结果. 【详解】∵①，∴②， 由①②得，即，∴， 故数列是周期为6的周期数列． ∴， ∴ 故选：B． 6. 的三边长分别为，，2，则三边的中线长不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的知识，设边的中点为，则，两边同时平方再利用余弦定理得到中线的表达式，将三条边代入即可求得结果. 【详解】设内角的对边分别为，边的中点为，则， ∴， 又由余弦定理，得，∴， ∴，将的三边长代入上式可得， 故选：D． 7. 已知，将的图象向左平移个单位得到的图象，若的图象与的图象关于y轴对称，则下列说法不正确的是（ A. 的图象关于直线对称 B. C. 函数f(x)在区间上有三个零点 D. 时，函数的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】将f(x)向左平移个单位得到，f(x)关于y轴对称得：，由解出的值，然后逐项分析 【详解】对于A，∴，从而函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，∵函数的图象关于直线对称，∴，即，又∵∴，∴，∴，故B正确； 对于C，由得，∴，由， ∴，故函数在区间上只有两个零点，故选项C错误； 对于D，∵，时，，， ∴故D正确， 故选：C． 8. 已知，当（且）时，的最大值为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 【答案】A 【解析】 【分析】写出两式展开式，分析系数构成，根据奇数项系数正负性，结合组合数性质，确定时，的最大值. 【详解】由已知为展开式中的系数，且， ∴， 当时，必为奇数，且，， ∴，，所以的最大值为. 故选：A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 复数z的虚部为i 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的运算可得.对于A：根据共轭复数的定义判断；对于B：根据模长公式分析判断；对于C：求得，结合纯虚数的定义判断；对于D：根据虚部的定义判断. 【详解】因为，可得，即. 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因为，所以为纯虚数，故C正确； 对于选项D：复数的虚部为1，故D错误； 故选：BC． 10. 下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 连续型随机变量服从正态分布，若，则 C. 若事件A，B满足：，，且，则事件A，B相互独立 D. 已知一组成对数据的经验回归方程为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式判断A；由正态分布的性质判断B；由互斥事件与独立事件的定义即可判断C；根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可判断D. 【详解】对于A，∵，∴从而故A不正确； 对于B，∵且， ∴，故B正确； 对于C，，，且， ， ，，故相互独立，故C正确； 对于D，成对数据中， ，， 又∵经验回归直线过样本点中心， ∴，∴，故D正确， 故选：BCD． 11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 是R上单调递增的奇函数 B. C. D. 的图象关于点成中心对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用奇函数的定义即可判断，对于B：利用函数的单调性即可判断，对于C：令新函数，在实数集上单调递增即可判断，对于D：利用中心对称的定义即可判断. 【详解】对于A，易知的定义域为R，关于原点对称， 且， 又∵在R恒成立， 从而是R上单调递增的奇函数，故选项A正确； 对于B，∵在R上单调递增且，∴，∴，故B正确； 对于C，令，易知在R上单调递增，∴，即，故选项C错误； 对于D，∵， 所以， ∴的图象关于点对称，故选项D正确， 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则________（用含m的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式、二倍角公式即可求解. 【详解】． 故答案为：. 13. 在本次数学试卷的8道单选题中，学生小明对其中的6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．小明从这8道题中随机选做一题，则他做对这道题的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出事件，利用全概率公式进行求解. 【详解】设事件：小明选到有思路的题；事件：小明选到的题做对， 由题有，，，， 所以，由全概率公式得． 故答案为： 14. 正四棱锥P-ABCD的侧棱长为，则当最大时，正四棱锥P-ABCD的高为________；此时正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】空1：设出四棱锥的高与底面边长，根据四棱锥的性质列出高与底面边长的关系，进而列出体积的表达式，利用导数即可求出结果；空2：由空1的结果列出外接球半径、高和底面对角线的关系，求出半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】如图，记正方形的中心为，易得，， 设， 则由得，， ，记， 则，令，解得， 又时，，∴单调递增；时，， ∴单调递减；∴，此时． 设正四棱锥的外接球的球心为，半径为，易知球心在上， 则，∴在中，，即， 解得，∴正四棱锥的外接球的表面积． 故答案为：3， 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 保山小粒咖啡是云南省保山市特产，中国国家地理标志保护产品，它以其颗粒均匀饱满、气味清新、香气浓郁、口感醇厚而闻名，被誉为“全国咖啡之冠”．某校高一数学兴趣小组，为了了解当地居民对喝咖啡的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下： 年龄段 态度 合计 不喜欢喝咖啡 喜欢喝咖啡 35岁以下（含35岁） 25 35 60 35岁以上 25 15 40 合计 50 50 100 （1）根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝咖啡与年龄有关？ （2）该兴趣小组在被调查的喜欢喝咖啡的人群中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人参加咖啡文化艺术节．抽取的4人中，35岁以上的人数记为X，求X的分布列与期望． 参考公式：，其中n=a+b+c+d． 参考数据： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）推断该地居民喜欢喝咖啡与年龄有关． （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先进行零假设，再计算卡方值，根表中数据对比即可下结论； （2）由分层抽样可求出35岁以下（含35岁）及35岁以上的人数，由此可知可能X取值为0，1，2，3，根据古典概型的概率计算公式求解可得分布列，进而求数学期望. 【小问1详解】 零假设为该地居民喜欢喝咖啡与年龄无关， 根据列联表中的数据得 ， ∴根据小概率值独立性检验，没有充分证据推断成立， 因此可以认为不成立，即可推断该地居民喜欢喝咖啡与年龄有关． 【小问2详解】 由题，在被抽取10人中，35岁以下（含35岁）的有人，35岁以上的有人， ∴的可能取值为0，1，2，3，且 ； ； ； ； ∴的分布列为 0 1 2 3 ． 16. 已知数列满足：，． （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）证明见解析，； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出，即可证明数列是等比数列，进而求出数列的通项公式； （2）写出数列的通项公式，通过裂项相消法得出前n项和的表达式，利用单调性即可得出结论. 【小问1详解】 由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴， 又， ∴数列是首项为3，公比为3的等比数列， ∴， 即． 【小问2详解】 由题意及（1）证明如下，， 在数列中， ， ∴ ， ， ∴单调递增，， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且与交于点O，动点E满足（），异面直线与所成的角为． （1）求证：； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，求出的方向向量与平面的法向量，再结合向量夹角余弦的公式即可求解. 【小问1详解】 平面，且平面， ∴． 又∵四边形是菱形，． ∵，且平面，平面． 又平面，． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴． ∴即为异面直线与所成的角． ∴ 当时，为的中点，连接，如图， 则， 平面． 从而可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设为平面的法向量， 则由得， 令，则，， 设与平面所成的角为， 则． 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． （1）求椭圆C和抛物线E的方程； （2）设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】（1）， （2）（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【小问1详解】 由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，抛物线准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 19. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．（其中e为自然对数的底数） （1）求m的值； （2）求证：，恒成立； （3）证明：． 【答案】（1）． （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义求出导数得到斜率的表达式，再利用与垂直得到斜率相乘等于，即可求出结果. （2）对函数求导，求出单调区间以及最小值即可证明结论. （3）由（2）知，，再利用等比数列前项和公式计算可得证明得出结论. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵直线的斜率为． ∴曲线在点处的切线斜率． 解得． 【小问2详解】 由（1）得， ， 易知在上单调递增，且 ∴由零点存在性定理得，存在唯一实数使得， 且时，， ，， ∴在处取得极小值，也是最小值， ， ． 故恒成立． 【小问3详解】 由（2）知，， ． ∴． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季学期期末质量监测 高二年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 3. 已知，则有（ ） A 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 4. 已知向量，，，当与垂直时，点的轨迹为（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 5. 已知数列满足：均有，且，，则（ ） A. 5 B. -5 C. -3 D. 3 6. 的三边长分别为，，2，则三边的中线长不可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，将的图象向左平移个单位得到的图象，若的图象与的图象关于y轴对称，则下列说法不正确的是（ A. 的图象关于直线对称 B. C. 函数f(x)在区间上有三个零点 D. 时，函数的值域为 8. 已知，当（且）时，的最大值为（ ） A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 复数z的虚部为i 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 连续型随机变量服从正态分布，若，则 C. 若事件A，B满足：，，且，则事件A，B相互独立 D. 已知一组成对数据的经验回归方程为，则 11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 是R上单调递增的奇函数 B. C. D. 的图象关于点成中心对称 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则________（用含m的式子表示）． 13. 在本次数学试卷的8道单选题中，学生小明对其中的6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．小明从这8道题中随机选做一题，则他做对这道题的概率为________． 14. 正四棱锥P-ABCD的侧棱长为，则当最大时，正四棱锥P-ABCD的高为________；此时正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 保山小粒咖啡是云南省保山市特产，中国国家地理标志保护产品，它以其颗粒均匀饱满、气味清新、香气浓郁、口感醇厚而闻名，被誉为“全国咖啡之冠”．某校高一数学兴趣小组，为了了解当地居民对喝咖啡的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下： 年龄段 态度 合计 不喜欢喝咖啡 喜欢喝咖啡 35岁以下（含35岁） 25 35 60 35岁以上 25 15 40 合计 50 50 100 （1）根据小概率值α=0.1独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝咖啡与年龄有关？ （2）该兴趣小组在被调查喜欢喝咖啡的人群中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人参加咖啡文化艺术节．抽取的4人中，35岁以上的人数记为X，求X的分布列与期望． 参考公式：，其中n=a+b+c+d． 参考数据： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列满足：，． （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，数列的前n项和为，求证：． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且与交于点O，动点E满足（），异面直线与所成的角为． （1）求证：； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． （1）求椭圆C和抛物线E的方程； （2）设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 19. 已知函数，曲线在点处切线与直线垂直．（其中e为自然对数的底数） （1）求m的值； （2）求证：，恒成立； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$