广东省汕头市2024-2025学年高二下学期教学质量监测数学试题

1 / 4 第Ⅰ卷 选择题 一．单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．计算： 2i 2 i = − A． 2 4 i 5 5 − + B． 2 4 i 5 5 + C． 2 4 i 3 3 − + D． 2 4 i 3 3 + 2．已知 6a = ， 4b = ， a 与b 的夹角为60，则 ( ) ( )2 3a b a b+  − = A． 60 12 3− − B． 84− C． 72− D． 60− 3．学校开运动会，设 A={ |x x 是参加 100m 跑的同学}，B={ |x x 是参加 200 m 跑的同学}，C={ |x x 是 参加 400m 跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，则下列集合的 运算能说明这项规定的是 A． A B B． A C C． A B C = D． ( )A B C C= 4．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 A．70 B．66 C．62 D．58 5．已知 1 tan 3  = − ，则 sin2的值为 A． 3 5 B． 3 5 − C． 3 10 D． 3 10 − 6．音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强 I（单位： 2W m ）的关系是： 0 10lg I I  = ， 其中 0I 指的是人能听到的最低声强．人能承受的最大声强为 21W m ，对应的声强级为120dB．若学 生早读期间读书的声音的声强级范围为 70,80 （单位：dB），则下列选项中错误的是 A． 120 10I −= （单位： 2W m ） B．学生早读期间读书的声强范围为 5 410 ,10− −  （单位： 2W m ） C．如果声强变为原来的 2 倍，则对应声强级也变为原来的 2 倍 D．如果声强级增加10dB，则声强变为原来的 10 倍 汕头市 2024~2025 学年度普通高中教学质量监测 高二数学 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 2 / 4 7．已知等比数列 na 的公比 1q  − ，前 n项和为 nS ，则 * Nn  ，下列结论一定正确的是 A． 3 22n n nS S S+ = B． ( ) ( )2 2 3n n n n n nS S S S S S− = − C． 3 23 2n n nS S S+ = D． ( ) 2 2 3n n nS S S= 8．设 A、 B 为双曲线 2 2 1 9 y x − = 上两点，下列四个点中，可以为线段 AB 中点的是 A． ( )1,1 B． ( )1,2− C． ( )1,3 D． ( )1, 4− − 二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知 (1 )nx+ 的展开式中 2x 的系数为 15，则 A． 6n = B．展开式中，中间项的系数为 4 6C C．展开式中，奇数项的系数和为 32 D．当 10x = 时， (1 )nx+ 的末两位数字是 61 10．已知函数 4 4( ) cos 2sin cos sinf x x x x x= − − ，则 A． ( )f x 的最小正周期为 B． ( )f x 在 0, 2       上有且只有一个极小值点 C． ( )f x 在 15 19 , 8 8        上递增 D．方程 ( ) 1f x = 在 ( )0,4 上所有根的和为19 11．已知 P 是圆 2 2: 4O x y+ = 上的动点， ( )( ),0 0Q m m  ，线段 PQ 的垂直平分线交直线OP于点M ， 记点M 的轨迹为，则下列说法正确的是 A．当 2m = 时，是抛物线 B．当0 2m  时，是离心率为 2 m 的椭圆 C．当 2m  时，是离心率为 2 m 的双曲线 D．若与圆O 有公共点，则m的取值范围为 ( 2,6 第Ⅱ卷 非选择题 3 / 4 三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知曲线 lny x x= + 在点 ( )1,1 处的切线与抛物线 ( )2 2 3 1y ax a x= + + + 只有一个公共点，则 a 的值 为__________. 13．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约 40%的人近视，而该校大约有 20%的学生每 天玩手机超过 1h，这些人的近视率约为 50%．从每天玩手机不超过 1h 的学生中任意调查一名学 生，他近视的概率为__________. 14．在 ABC 中，已知 2AB = ， 5AC = ， 60BAC  = ， BC 、 AC边上的两条中线 AM 、 BN 相交于 点 P ，则 MPN 的余弦值为__________. 四．解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且 4 24S S= ， 2 1 *)2 (n na a n N= +  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 13nnb −= ，令 n n nc a b= ，求数列 nc 的前 n项和 nT ． 16．（15分） 已知a 、 b、 c 分别为 ABC 三个内角 A、 B 、C 的对边， cos 3 sin 0a C a C b c+ − − = ． （1）求角 A； （2）若 2a = ， ABC 的面积为 3 ，求 ABC 的周长. 17．（15分） 如图，四棱锥 P ABCD− 中， PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， / /BC AD，CD AD⊥ ， 2 2 2PC AD DC CB= = = = ， E 为PD 的中点． （1）证明： / /CE 平面 PAB ； （2）求直线CE与平面 PAB 间的距离 4 / 4 18．（17分） 已知函数 ( ) ( )2e 2 ex xf x a a x= + − − ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围． 19．（17分） 如图所示，已知抛物线 2x y= ，点 1 1 2 4 A   −    ， ， 3 9 2 4 B       ， ， ( ) 1 3 , 2 2 P x y x   −      在抛物线上．过点 B 作直线 AP 的垂线， 垂足为Q ． (1)求直线 AP 的斜率的取值范围； (2)求 PA PQ 的最大值． 1 / 7 参考答案 第Ⅰ卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C D B C B D ACD AB BCD 1．必修第二册习题 7.2第 4 题（1） 【解析】 ( )2i 2 i2i 2 4 i 2 i 5 5 5 + = = − + − ． 2．必修第二册 6.2.4例 12 【解析】 ( ) ( ) 2 2 2 3 6 36 12 96 72a b a b a a b b+  − = −  − = − − = − ． 3．必修第一册习题 1.3第 3 题 【解析】“每个同学最多参加两项比赛”等价于“没有人参加三项比赛”． 4．选择性必修第三册复习参考题 6第 3题（3） 【解析】 48 12C − ． 5．必修第一册习题复习参考题 5第 4题（3）改编 【解析】 2 2 2 2sin cos 2 tan sin 2 sin cos tan 1        = = + ． 6．必修第一册习题 4.4第 10题改编 【解析】由 0 1 120 10lg I = 得 120 10I −= ，A正确； 所以 12 10lg 10lg 120 10 I I − = = + ，由70 10lg 120 80I +  得 5 lg 4I−   − ，B正确； 由 12 12 2 10lg 10lg 2 10lg 10 10 I I  − − = = + 知，C错误； 由 12 12 10 10 10 lg 1 10lg 10 10 I I  − −   + = + =    知，D正确． 7．选择性必修第二册 4.3.2 例 9改编 【解析】当数列 na 的公比 1q = 时，C、D显然错误； 因为当 1q  − 时， nS ， 2n nS S− ， 3 2n nS S− 成公比为 nq 的等比数列， 对于 A， 3 22n n nS S S+ = 即 3 2 2n n n nS S S S− = − ，所以数列 na 的公比 1q = ，不合题意； 对于 B， ( ) ( )2 2 3n n n n n nS S S S S S− = − 即 ( ) ( ) ( )2 2 3 2 2n n n n n n n n nS S S S S S S S S− = − + − ， 所以 ( ) ( ) 2 2 3 2n n n n nS S S S S− = − ，恒成立． 汕头市2024~2025学年度普通高中教学质量监测高二数学试题 2 / 7 8．选择性必修第一册习题 3.2第 13题改编 【解析】双曲线 2 2 1 9 y x − = 的渐近线为 3y x=  ， 设线段 AB 的中点为 P ，由点差法可得 9AB OPk k = ， 对于 A， ( )1,1 在第一象限且在双曲线与渐近线之间，由 9 3ABk =  并作出简图易知，直线 AB 与双曲线 相离，不合题意；对于 B、C、D 同样操作． 9．选择性必修第三册习题 6.3第 1（2）、5（3）、9（1）题改编 【解析】 (1 )nx+ 的通项公式为 1 6 k k kT C x+ = ， 由 2 15nC = 得 6n = ，A 正确；中间项第 4 项的系数为 3 6C ，B 错误； 展开式中，奇数项的系数和为 6 12 32− = ，C正确； 1 2 26(1 10) 1 10 10 61 10 n C k k+ = +  + = + ，D 正确． 10．必修第一册复习参考题 5第 20题改编 【解析】 3 ( ) sin 2 cos2 2 sin 2 4 f x x x x   = − + = +    ，A 显然正确； 令 3 2 2 4 2 x k   + = − ，得 5 8 x k  = − ，在 0, 2       上只有一解 3 8  ，B正确； 当 15 19 , 8 8 x        时， 3 3 2 4 ,4 4 2 2 x        +  + +    ， ( )f x 递减，C错误； 令 3 2 2 4 4 x k   + = + 或 3 2 4 k   + ，得 4 x k  = − 或 x k= ， 在 ( )0,4 上所有根的和为 3 7 11 15 2 3 15 4 4 4 4        + + + + + + = ，D错误． 11．选择性必修第一册习题 3.1第 6题、习题 3.2第 5题改编 【解析】对于 A, 点M 的轨迹为一个点，即圆O 的圆心； 对于 B， MO MQ MO MP OP OQ+ = + =  ，点M 的轨迹为长轴长为 2OP = ，焦距为 OQ m= 的 椭圆，B正确； 对于 C， MO MQ MO MP OP OQ− = − =  ，点M 的轨迹为实轴长为 2OP = ，焦距为 OQ m= 的 双曲线，C正确； 对于 D，由 ABC知，只有M 的轨迹为双曲线时，与圆O 才可能有公共点．注意到双曲线一支上的点到 相应焦点的距离中，顶点到焦点的距离最短，所以与圆O 有公共点，当且仅当双曲线的左顶点不在圆 O的外部，因此 3OP OQ OP  ，D正确． 3 / 7 第Ⅱ卷 非选择题 题号 12 13 14 答案 1 2 3 8 4 91 91 12．选择性必修第二册复习参考题 5第 13题 【解析】由 1 ' 1y x = + 得切线方程为 2 1y x= − ，联立抛物线方程，由 0 = ，解得 1 2 a = ． 13．选择性必修第三册复习参考题 7第 7题 【解析】． 14．必修第二册习题 6.4第 12题 【解析】取平面的一个基底  AB AC， ，则 5AB AC = ， 因为 ( ) 1 2 AM AC AB= + ， 2 AC BN AB= − ，所以 1 39 25 4 10 2 2 AM = + + = ， 25 21 4 5 4 2 BN = + − = ， 25 5 2 3 4 4 AM BN = − − = ，因此 3 4 91 cos cos , 9139 21 2 2 MPN AM BN = = =  ． 15．选择性必修第二册复习参考题 4第 10题 【答案】 （1）设 na 的公差为d ，则由题设得 ( ) ( ) 1 1 1 1 4 6 8 4 2 1 2 2 1 1 a d a d a n d a n d + = +  + − = + − + ， 解得 1 1 2 a d =  = ， 所以 2 1na n= − ； （2）由（1）得 ( ) 12 1 3nnc n −= −  ，则 ( )0 1 2 11 3 3 3 5 3 2 1 3nnT n −=  +  +  + + −  ， 从而 ( )1 2 33 1 3 3 3 5 3 2 1 3nnT n=  +  +  + + −  ， 上述两式相减得 ( ) ( )1 2 12 1 2 3 3 3 2 1 3n nnT n−− = +  + + + − −  ( ) 3 3 1 2 2 1 3 1 3 n nn − = +  − −  − 4 / 7 ( )2 2 1 3nn= − − −  因此 ( )1 3 1nnT n= −  + ． 16．必修第二册习题 6.4第 22题 【答案】 （1）根据正弦定理，条件式即为sin cos 3sin sin sin sinA C A C B C+ = + ， 也即 ( )sin cos 3sin sin sin sinA C A C A C C+ = + + ， 所以sin cos 3sin sin sin cos cos sin sinA C A C A C A C C+ = + + ， 整理得 3sin cos 1A A− = ，即 1 sin 6 2 A   − =    ， 所以 6 6 A   − = ，即 3 A  = （2）由 1 3 sin 3 2 4 ABCS bc A bc= = = 得 4bc = ， 由余弦定理得 ( ) 22 2 2 2 cos 3 4a b c bc A b c bc= + − = + − = ， 所以 4b c+ = 因此 ABC 的周长为6． 17．选择性必修第一册教师教学用书第一章学业水平测试题第 18题 【答案】 （1）取 PA中点 F ，连结 EF ， FB ，则 //EF AD， 1 2 EF AD= ， 又 //BC AD， 1 2 BC AD= ，所以 //EF BC ，EF BC= ， 即四边形BCEF 是平行四边形，所以 //CE BF ， 因为CE 平面 PAB ， BF 平面 PAB ， 所以 //CE 平面 PAB ； （2）取 AD 中点O ，连结OP，OB， 则 AD PO⊥ ， 1 1 2 PO AD= = ， 且由四边形BCDO 是正方形，得 AD BO⊥ ， 1BO = ， 因为PO BO O= ，所以 AD ⊥平面PBO， 5 / 7 因为 AD 平面 ABCD，所以平面 ABCD ⊥平面PBO， 在平面PBO内作Oz OB⊥ ，则Oz ⊥平面 ABCD， 如图所示，以O 为坐标原点，分别以直线OB、OD 、Oz 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系， 则 (0, 1,0)A − 、 (1,0,0)B 、 (1,1,0)C 、 (0,1,0)D ， 因为 //BC AD，所以BC ⊥平面PBO， 因为 BP 平面PBO，所以BC BP⊥ ，且 2 2 3BP PC BC= + = ， 由余弦定理得 2 2 2 1 1 3 1 cos 2 2 1 1 2 OP OB BP BOP OP OB + − + −  = = = −    ，所以 2π 3 BOP = ， 从而 1 3 ( ,0, ) 2 2 P − ， 所以 1 3 , 1, 2 2 PA   = − −    ， (1,1,0)AB = 设平面 PAB 的法向量为 ( ), ,m x y z= ， 由 1 3 · 0 2 2 · 0 m PA x y z m PA x y  = − − =   = + = ，取 1x = ，则 ( )1, 1, 3m = − ， 因为 //CE 平面 PAB ，所以C 到平面 PAB 的距离即为直线CE 与平面 PAB 间的距离， 又 (0,1,0)BC = ，所以C 到平面 PAB 的距离 | | | 0 1 0 | 5 5| | 1 1 3 m BC d m  − + = = = + + ， 因此直线CE 与平面 PAB 间的距离为 5 5 ． 18．选择性必修第二册复习参考题 5第 19题 【答案】 （1） ( )f x 的定义域为 ( ),− + ， ( ) ( ) ( )( )22 2 1 1 2 1x x x xf x ae a e ae e= + − − − = + ， （ⅰ）若 0a  ，则 ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 ( ),− + 单调递减； （ⅱ）若 0a  ，由 ( ) 0f x = ，得 lnx a= − ，列表得 x ( ), lna− − lna− ( )ln ,a− + 6 / 7 ( )f x - 0 + ( )f x ↘ 极小值 ↗ 所以 ( )f x 在 ( ), lna− − 单调递减，在 ( )ln ,a− + 单调递增； （2）（ⅰ）若 0a  ，由（1）知， ( )f x 至多有一个零点； （ⅱ）若 0a  ，由（1）知， ( )f x 的最小值为 ( ) 1 ln 1 lnf a a a − = − + ， ①当 1a = 时，由于 ( )ln 0f a− = ，故 ( )f x 只有一个零点； ②当 ( )1,a + 时，由于 1 1 ln 0a a − +  ，即 ( )ln 0f a−  ，故 ( )f x 没有零点； ③当 ( )0,1a 时， 1 1 ln 0a a − +  ，即 ( )ln 0f a−  ， 又 ( ) ( )4 2 22 e 2 e 2 2e 2 0f a a− − −− = + − +  − +  ， 所以 ( )f x 在 ( ), lna− − 有一个零点， 因为 ( ) 3 3 2ln 1 ln 13 3 3 3 ln 1 2 ln 1 1 ln 1 1 0a af ae a e a a a a     − −                 − = + − − − = − − −                    ， 且 3 ln 1 lna a   −  −    ， 所以 ( )f x 在 ( )ln ,a− + 有一个零点， 因此， ( )f x 在 ( ),− + 有两个零点． 综上，a 的取值范围为 ( )0,1 ． 19．【答案】 （1）设直线 AP 的斜率为 k ， ( )2,P x x ， 则 2 1 14 1 2 2 x k x x − = = − + ， 又 1 3 2 2 x−   ，所以 k 的取值范围是 ( )1,1− ； （2） AP PB PA PQ PA AP PB AP   =  =  7 / 7 3 2 21 3 1 9 1 3 2 2 4 4 2 2 x x x x x x           = + − + − − = + −                    令 ( ) 3 1 3 1 3 2 2 2 2 f x x x x      = + − −            ，则 ( ) ( ) 2 1 4 1 2 f x x x    = + −    ， 由 ( ) 0f x = ，得 1x = ， 列表得： x 1 ,1 2   −    1 ( )1,+ ( )f x + 0 - ( )f x ↗ 极大值 ↘ 所以 ( ) ( ) max 27 1 16 f x f= = ，即 PA PQ 的最大值为 27 16 ．