精品解析：江西省九师联盟2024-2025学年高二下学期7月期末质量检测数学试题（人教B）

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教B版选择性必修第二册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数的概念与性质. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知全集，，，则（ ） A B. C. D. 2. 若随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. 0.24 B. 2.4 C. 0.28 D. 2.8 3. 小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的乘坐方式一共有（ ） A. 18种 B. 27种 C. 36种 D. 54种 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 的展开式中，项的系数的相反数为（ ） A. －15 B. －5 C. 15 D. 5 6. 某校1位老师带领6名学生（含学生甲）参加志愿者活动，活动结束后7人排成一排合影留念，若老师不站在两端，学生甲不站在正中间，则不同的排法共有（ ） A. 3720种 B. 3120种 C. 3000种 D. 1920种 7. 已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 8或9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，，则（ ） A. 函数的一个周期为4 B. 函数是偶函数 C. D. 不存在，使得在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____. 13. 某市10000名学生的联考数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是_____．（参考数据：若，则，） 14. 一个盒子中有4个球，分别标记为1~4号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某饮品店统计了一天营业时间（单位：小时）与饮品销量（单位：杯）的数据如下表： 营业时间 1 2 3 4 5 饮品销量 17 36 56 77 99 已知与线性相关． （1）根据以上数据求饮品销量关于营业时间的回归直线方程； （2）若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试预测当日饮品的总利润能否超过1000元？ 参考公式：回归直线方程中，，． 16. 某市游泳协会为了了解市民喜爱游泳与性别的关系，从全市选出1000名市民进行调查，其中男性市民和女性市民的人数之比为，喜爱游泳和不喜爱游泳的人数之比为，不喜爱游泳的市民中男性与女性的人数之比为． 喜爱游泳 不喜爱游泳 总计 男性市民 女性市民 总计 1000 （1）补全列联表，是否有的把握认为市民喜爱游泳与性别有关联？ （2）游泳协会在这1000名市民中按性别进行分层随机抽样，抽取5人，再从这5人中随机抽取3人发放奖品，记为女性获奖的人数，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 盛夏来临，某棋牌室举办为期一周的“消夏”围棋活动，分为趣味赛和积分赛（每局比赛必须决出胜负），规则如下：前2天举办趣味赛，每天仅首局比赛可获得积分，获胜得1分，失败得0分；积分赛在后5天进行，每天只有前两局比赛可获得积分，首局获胜得2分，次局获胜得1分，失败得0分．小张这一周中每天至少参加两局围棋比赛，已知她每天第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，，且各局比赛相互独立． （1）已知趣味赛两天积分不为0参赛选手可获得精美礼品一份，． （i）求小张在趣味赛中获得精美礼品的概率； （ii）在小张获得精美礼品条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率； （2）设小张在后5天积分赛中，恰有2天每天积分不低于1分的概率为，求的最大值． 19. 投壶是中国传统游戏，某社区开展趣味投壶活动：参与者一次抛掷一支箭，当投中时，参与者得2分，没有投中也给鼓励，得1分，且每一次抛掷箭的结果相互独立．已知小李每次投中的概率为． （1）求小李连续抛掷箭2次，累计得分为3分的概率； （2）若小李连续抛掷箭4次，累计得分为，求的分布列与数学期望； （3）若小李连续抛掷箭若干次后，累计得分为分的概率为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教B版选择性必修第二册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数的概念与性质. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得集合，再结合集合间的补集和交集运算求解即可. 【详解】因为，， 且全集，可得， 所以. 故选：C. 2. 若随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. 0.24 B. 2.4 C. 0.28 D. 2.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分布的性质结合方差定义计算求解. 【详解】设， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 3. 小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的乘坐方式一共有（ ） A. 18种 B. 27种 C. 36种 D. 54种 【答案】C 【解析】 【分析】应用分步计数及排列数求不同的乘坐方式数. 【详解】爸爸和妈妈选一人在驾驶座有2种，小华在后排3个座位选一个座位有3种，余下人作全排种. 所以不同乘坐方式有种. 故选：C 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件对应集合中的包含关系，解出不等式，判断解集的关系，判断结果. 【详解】已知，解得， 已知，化简得，解得， 可知，即不能推导，可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5. 的展开式中，项的系数的相反数为（ ） A. －15 B. －5 C. 15 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由，再利用二项式展开式计算系数即可. 【详解】根据题意， 又展开式的通项为， 当时，， 当时，， 所以得系数为，相反数为5. 故选：D. 6. 某校1位老师带领6名学生（含学生甲）参加志愿者活动，活动结束后7人排成一排合影留念，若老师不站在两端，学生甲不站在正中间，则不同的排法共有（ ） A. 3720种 B. 3120种 C. 3000种 D. 1920种 【答案】B 【解析】 【分析】根据有条件排列问题可解. 【详解】根据题意先排中间位置， (1)若老师排在最中间，则6个位置可全排，则有； (2)若老师不排中间，则中间位置有5人可选，接着排教师的位置，教师位置有4个可排， 其他5个全排，则有， 综上，共有种不同的排法. 故选：B. 7. 已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数性质可知函数在内单调递减，再根据奇函数性质以及单调性解不等式即可. 【详解】因为当且，时，恒成立， 则在内单调递减， 又因为函数为奇函数，可知在内单调递减， 所以函数在内单调递减， 若，则， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 8. 某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 8或9 【答案】B 【解析】 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求二项展开式的系数即可. 【详解】对于A，令，，故A正确； 对于B，令，，故B错误； 对于C，令，， 结合，所以，故C正确； 对于D，令，，故D正确； 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BD：根据基本不等式运算求解即可；对于C：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：若，取，但，故A错误； 对于选项B：若，则， 可得，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：若，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于选项D：若，，， 则，，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，，则（ ） A. 函数的一个周期为4 B. 函数是偶函数 C. D. 不存在，使得在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据题意奇偶性的定义结合周期性的定义分析判断；对于B：整理可得，结合题意以及奇偶性定义分析判断即可；对于C：根据题意求，利用并项求和结合周期性求解；对于D：做出函数图象，结合图象分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为为偶函数，则， 可得， 又因为为奇函数，则， 即，可得， 则， 所以函数的一个周期为4，故A正确； 对于选项B：由可得， 且，可得， 可知函数为奇函数， 显然不恒为0，所以函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为，， 且当时，，则，解得， 又因为，可知， 则，偶数， 可得 ， 所以，故C正确； 对于选项D：做出函数的部分图象， 结合图象可知在上单调递增， 所以存在，使得在上单调递增，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得在上恒成立，利用数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】因函数的定义域为 则在内恒成立， 故需使，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 某市10000名学生的联考数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是_____．（参考数据：若，则，） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的概率，再应用概率计算人数即可. 【详解】某市10000名学生的联考数学成绩服从正态分布， 且 则成绩位于的人数大约是. 故答案为：. 14. 一个盒子中有4个球，分别标记为1~4号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题知的可能取值为0,1,2，分别计算出概率，再计算期望即可. 【详解】由题知，每个球每次被取出的概率为，的可能取值为0,1,2， ， ， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某饮品店统计了一天营业时间（单位：小时）与饮品销量（单位：杯）的数据如下表： 营业时间 1 2 3 4 5 饮品销量 17 36 56 77 99 已知与线性相关． （1）根据以上数据求饮品销量关于营业时间的回归直线方程； （2）若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试预测当日饮品的总利润能否超过1000元？ 参考公式：回归直线方程中，，． 【答案】（1） （2）能，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据回归方程相关参数的计算公式计算即可； （2）根据（1）中的回归方程，先估计销量即可判断总利润是否超过1000元. 【小问1详解】 根据题意，， ，， ， ， 所以回归直线方程为. 【小问2详解】 由（1）知，回归方程为， 早上9点开始营业，晚上9点结束营业，共营业12小时， 所以估计共销售杯，盈利元， 所以试预测当日饮品的总利润能超过1000元. 16. 某市游泳协会为了了解市民喜爱游泳与性别的关系，从全市选出1000名市民进行调查，其中男性市民和女性市民的人数之比为，喜爱游泳和不喜爱游泳的人数之比为，不喜爱游泳的市民中男性与女性的人数之比为． 喜爱游泳 不喜爱游泳 总计 男性市民 女性市民 总计 1000 （1）补全列联表，是否有的把握认为市民喜爱游泳与性别有关联？ （2）游泳协会在这1000名市民中按性别进行分层随机抽样，抽取5人，再从这5人中随机抽取3人发放奖品，记为女性获奖的人数，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）利用比例计算，可填二阶列联表，再利用独立性检验原理，即可得到判断； （2）利用超几何分布来计算概率，即可求解期望. 【小问1详解】 根据题意可知：从全市选出1000名市民进行调查，其中男性市民人数为400和女性市民的人数为600， 喜爱游泳的人数为600和不喜爱游泳的人数为400，不喜爱游泳的市民中男性人数为200与女性人数为200． 喜爱游泳 不喜爱游泳 总计 男性市民 200 200 400 女性市民 400 200 600 总计 600 400 1000 零假设：认为市民喜爱游泳与性别无关联， 则， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立， 即认为市民喜爱游泳与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过， 也就是有的把握认为市民喜爱游泳与性别有关联； 【小问2详解】 依题意，抽取5人中，男性有2人，女性有3人，再从这5人中随机抽取3人发放奖品， 记为女性获奖的人数，则的可能取值有， ，，， 所以的分布列为： 1 2 3 0.3 06 0.1 即：. 17. 已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【小问1详解】 因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. 【小问2详解】 因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 18. 盛夏来临，某棋牌室举办为期一周的“消夏”围棋活动，分为趣味赛和积分赛（每局比赛必须决出胜负），规则如下：前2天举办趣味赛，每天仅首局比赛可获得积分，获胜得1分，失败得0分；积分赛在后5天进行，每天只有前两局比赛可获得积分，首局获胜得2分，次局获胜得1分，失败得0分．小张这一周中每天至少参加两局围棋比赛，已知她每天第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，，且各局比赛相互独立． （1）已知趣味赛两天积分不为0的参赛选手可获得精美礼品一份，． （i）求小张在趣味赛中获得精美礼品的概率； （ii）在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率； （2）设小张在后5天的积分赛中，恰有2天每天积分不低于1分的概率为，求的最大值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）计算两天积分不为0的概率，利用对立事件求概率即可； （ii）根据条件概率公式求概率即可； （2）先确定每天积分不为0的概率，后5天中积分不低于1的天数，，根据二项分布得出，再利用导数分析单调性，根据单调性确定最值即可. 【小问1详解】 （i）设小张在趣味赛中获得精美礼品事件， 则， 所以小张在趣味赛中获得精美礼品的概率为. （ii）设小张2天趣味赛仅积1分事件为B， 则，所以， 在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率为. 【小问2详解】 设小张在后5天的积分赛中，一天中积分不低于1分事件为C， 则， 即在后5天中积分不低于1的天数，， 则，令， 则， ， 所以在单调递增，单调递减， 即， 所以当，即时，的最大值为. 19. 投壶是中国传统游戏，某社区开展趣味投壶活动：参与者一次抛掷一支箭，当投中时，参与者得2分，没有投中也给鼓励，得1分，且每一次抛掷箭的结果相互独立．已知小李每次投中的概率为． （1）求小李连续抛掷箭2次，累计得分为3分的概率； （2）若小李连续抛掷箭4次，累计得分为，求的分布列与数学期望； （3）若小李连续抛掷箭若干次后，累计得分为分的概率为，证明：． 【答案】（1） （2）分布列见详解；期望为 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设小李第次投壶投中为事件，小李连续抛掷箭2次，累计得分为3分的投壶的情况有，然后利用独立事件乘法公式即可计算； （2）由题知可取4,5,6,7,8，计算概率，列出分布列，计算期望即可； （3）由题可知，构造数列并求出通项即可证明. 【小问1详解】 设小李第次投壶投中为事件， 小李连续抛掷箭2次，累计得分为3分的投壶的情况有， 所以概率， 即小李连续抛掷箭2次，累计得分为3分的概率为. 【小问2详解】 根据题意可取4,5,6,7,8， ，， ，， ， 所以分别列为： 4 5 6 7 8 数学期望. 【小问3详解】 证明：由题可知，，即， 所以数列为常数列，又， 所以，即，， 所以数列首项为，公比为的等边数列， 所以， ，又， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$