重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

西南大学附中2024一2025学年度下期期末考试 高二数学试题 (满分：150分：考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上， 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写： 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效：保持答卷清洁、完整， 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合A={0,1,2,3,8},B={xx-1∈A},则A∩B=（) A.{2,3} B.{1,2} C.{3} D.{1,2,3} 2.在数列{an}中，己知a=1,nan=(n+1)an,则a6=（ ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.(1-2x)的展开式中x3的系数为() A.-10 B.-80 C.10 D.80 4.下列函数中奇偶性与其它三个不同的是() A.f网= B.f)= tanx C.f(x)=cos2x-sin2x D.f(x)=In(+x2-x) 5.从甲乙丙丁戊五人中挑选四人参加4×100接力赛，乙若参加必须是甲的下一棒，则一共有 多少种不同的安排方式() A.42 B.45 C.48 D.51 6.平面直角坐标系中以O(0,0),A(3,0),B(2,3),C(0,3)四个点为顶点的直角梯 形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积为”，绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积为 ”,则() A.x>' B.K=Vy C.'x<', D.Vx,V大小无法计算 7.已知f'(x)-f(x)>0在R上恒成立，且f(O)=1,则不等式exf(x)>1的解集为（) A.(-0,0) B.(0,+∞) C.(-∞，0)U(0,1)D.(-1,0)U(0,+∞) 高二数学第1页（共4页） 8.已知R,F分别是双曲线x2- 京=1(b>0)的左、右焦点，过点F与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P,若点P在以线段FF为直径的圆外，则双曲 线离心率的取值范围是() A.(1,2) B.(5,+o0) C.(1,V3)U(2,+o)D.(2,+o) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.等差数列{an}的前n项和为{Sn},已知Sn=n2-Bn+C,4=-8.则下列选项中正确的 是() A.C=0,B=-9 B.等差数列{an}的公差d=2 C.使Sn>0成立的n最小为10 D。当m=号时，S,取得最小值 10.已知正四面体A-BCD棱长为6，点E,F分别位于棱BD,CD上.其中DE=2BE, CF=DF,动点P在平面BCD内运动（包含边界），运动过程中AP与平面BCD所成角 的正切值为2√互，则下列选项正确的是（) A.AB⊥CD B.顶点A在平面BCD的投影为点O,则直线AO与 直线EF共面 B C.直线AB与EF所成角的正弦值为3 13 D.点P的轨迹长度为2√3元 11.已知圆C:(x-1)2+y2=4和抛物线D:y2=2x(p>0)的准线相切于点A,点B为圆C与 抛物线D的一个交点，点N,M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的 是（) A.p=2 B.点B到D的准线的距离为2 C.直线AB与抛物线D相交 D.若点E(4,3),则IME|+|MN|的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数f)=fosx+sinx,则(8) 13.某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供 该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是 高二数学第2页（共4页） 14.已知定义在R上的函数f(x)的图象经过坐标原点，f1+x)+fI-x)=-2,f(x)=g(x)-2x, 70 且函数g(x+2)为偶函数，则∑f()= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)数列{an}中，a=-2,满足an+1+3an=4n+1: (I)证明：数列{an-n}为等比数列： (2)求数列{an}的前n项和Sn 16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC⊥BC,BC=1,CC=2,AC=4,M、 N分别是AC、AB的中点 A 9 (I)求证：MN∥平面BCCB: (2)求二面角C-MN-B的余弦值： B M 17.(15分)2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚软4：1战胜巴西选手 雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠：现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练。 (①)假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为2，乙获胜的概率为}，若 比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率： (2)若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为2，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的 3 概率为2，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数。 求X的方差： ()如果每局比赛甲获胜的概率为P,且P©2 比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜 制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由， 高二数学第3页（共4页） 18.(17分)已知曲线C到两个定点(-1,0)和(1,0)的距离和为定值4. (I)求C的方程： (2)过点F(1,O)的直线I(斜率存在且不为0)与C交于M,N两点，N关于x轴的对 称点为P.已知2(4,0)： (①)证明：P、M、Q三点共线： (i求MQ·NQ的取值范围. 19.(I7分)已知A,B,C是曲线y=(x)上不同的三点.若点A,B,C的横坐标成等比数列， 且曲线y=∫(x)在点B处的切线的斜率小于直线AC的斜率，则称∫(x)是其定义域上的 “等比左偏函数”，已知f(x)=ahx-2x. (I)讨论f(x)的极值点个数： (2)若∫(x)是(0，+∞)上的“等比左偏函数”，求实数a的取值范围： e)当u=1时，数列a,}满是a=a,)+24+2石1,4=证明：立<2+1. 2an (命题、审题人：高二数学备课组) 高二数学第4页（共4页） 西南大学附中2024一2025学年度下期期末考试 高二数学试题参考答案 1-4 DDBC 5.A【详解】第一种情况：乙不参加，共A4=24种情况，第二种情况：乙参加，甲必然参加，共 C子A号=18种情况，总计42种情况。 6A【详解】绕y轴旋转一周所得到的是圆台片=写×39x+4红+6例)=19m,绕x轴旋转一周所得到 的旋转体为圆柱和圆锥的组合K=2×9r+亏×9r=21. 7.B【详解】令F(x)=ef(x),则F'(x)=e[∫'(x)-∫(x]>0,F(x)为增函数， 故ef(x)>1→F(x)>F(0),即解集为(0，+o). 8.D【详解】由题可知，渐近线方程为y=br,故可得直线P?方程为y=b(x+c),联立y=-bx, 即可求得点P坐标为)又因为点P在以线段5为直径的圆外，故可得丽，P丽>0， c bc 则台)很6》0，则学，兰，解得>3，则离心率e+>2故选：D 9.BC【详解】对于A选项，因数列{a,}为等差数列，Sn=n2-Bn+C,则C=0,且4=8.则 S=1-B=8,所以B=9,A错误：对于B选项，由A知Sn=m2-9n,则S2=4-18=-14=4+2, 则a2=6,则公差d=a2-a1=2,B正确：对于C选项，由n2-9n>0,得n>9或n<0,因为n为正 整数，所以n最小值为10，C正确：对于D选项，因为n为正整数，所以D错误。 1O.ACD【详解】对于A选项，连接BF,由正四面体得AF,BF均垂直于 CD,可得CD⊥面ABF,则AB⊥CD,A正确：对于B选项，由正四面 体可知，顶点A在平面BCD的投影点O位于线段BF上，不在EF上，则 AO,EF异面，B错误；对于C选项，在AD上取靠近A的三等分点M, 则EM II AB,直线AB与EF所成角即为直线EM与EF所成角， EM=4,在ABCD中，ED=4,DF=3,∠BDC=由余弦定理得EF=V13,同理可得，MF=V13,由 店3，C正确：对于D 余弦定理得c0sFEM=品所以直线AB与EF所成角的正弦值为3-3区 选项，因为AP与平面BCD所成角的正切值为2互，且正四面体高A0等于2V6,即 am∠AP0=0-25=2W5,解得OP=5,且等边△BCD的内切圆半径，=5，可知点P的 OPOP 轨迹为等边△BCD的内切圆，且均在面BCD内，所以点P的轨迹长度为2√5π，D正确。 11.ABD【详解】对于A选项，因为D的准线x=-2与圆C相切，则-=-1，即P=2,A正确： 对于B选项，由∧可知抛物线焦点即为圆心C(L,O),则由抛物线定义知点B到D的准线的距离 等于引BC=2,B正确：对于C选项，点A(-l,0),设B(,),则由B选项知，+1=2，x=1, 则点B为抛物线通径的端点，由抛物线结论可知，直线AB与抛物线相切：或得B(L,2),k9=士1， 抛物线方程)y2=4%对应函数为y=边G,导函数为=±行，则点日处的切线斜率为山，则 直线AB与抛物线相切，C错误：对于D选项，点E(4,3)位于抛物线内，IME引+|MNI的最小值等 价于IMEI+|MC-2,过点M作准线的垂线，垂足为M',则IMEI+MCHME|+|MMI, |ME1+|MM'I的最小值为点E到准线的距离，即为5，则|ME|+|MNI最小值为5-2=3，D正确. 12.9【详解】由/)=得}osx+如得了内=-（信得}x+cs， 则r得月-得}m后+·月-周片+解得/月9 13. 号【详解】设事件A=“从8道题中抽4道题，第一题不会答”，事件B=“从8道题中抽4道 题，至少有2道题会答”.n(4)=CC，n(AB)=C(CC+CC)· 则P代81=圆_CS+C9_号·所以该姓在第一题不会答的情汉下及格的凝率为号 n(A)） C 14.4899【详解】由f(x)=g(x)-2x,得g(x)=∫(x)+2x, 则g(1+x)=f1+x)+20+x),g(1-x刘=f1-x)+20-x刘 两式相加得g(1+)+g(1-x)=f(1+x)+f1-x)+20+x)+20-x为 又(1+x)+∫(1-x)=-2,所以g(1+x)+g(1-x)=-2+4=2 故(x)图象关于点(，1)中心对称，且f(x)、8(x)定义在R上，()=1. 由8(x+2)为偶函数，知g(x)图象关于直线x=2对称， 故g(x)是以4为一个周期的函数. 因为f(x)的图象经过原点，(0)=0，则g(0)=f(0)+2×0=0. 由g(x+2)为偶函数得g(x+2)=g(-x+2),令x=1,得g(3)=g()=1 因g(1+x)+g(1-x)=2,令x=1,可得g(2)=2-8(0)=2 则g(0)+g(0)+g(2)+8(3)=0+1+2+1=4, 70 则2间=8()+8(2)++g(70)-21+2++70）)=4×17+1+2-2×700+70=4399. 2 15.(1)由an+1+3an=4n+1,得an+1-(n+1)=-3(an-n), 所以〔a,-n)是首项为a1-1=-3,公比为-3的等比数列. (2)(1)得n-n=(-3)×(-3)n-1=(-3)",an=n+(-3)m 所以5n=1+2+…+n+(-3)1+(-3)2+…+(-3)m =+0+-3-3=2n+3--3”=2n2+2m-2- 2 1-(-3) 2 4 4 4 16.(1)连结AB,BC,ABB为矩形，∴.AB∩AB=N: 又M为AC的中位线：∴MN//CB 又，MNt平面BCCB;CBt平面BCCB ,∴.NII平面BCCB (②)建系如图，可知M(0,2,0,N,2,1,B0,0,0),C(0,0,2): ∴=兮0,1，两=0-2，.G=(2-2,0 mMm=0层x+z=0 设平面MB的法向量m=(化，y,z):∴ 2 m.M远=0 x-2z=0 令x=2,∴y=1,z=-1.m=(2,1,-1)同理可得平面MW8的一个法向量n=(2,-1,-): m-n4-1-12 ∴.c0s<m-n> 网丽63 :二面角G-0W-B为锐角，“它的余弦值为号 17.()设事件A=“比赛采用三局两胜制甲胜”，则P()= (2)X的所有可能取值为0,1,2， x0-,P心x-生品x=到=号 所以明塑为幻1x音+2×对吕： 方差为0心0=0-登×+0-0×音+口-骨×写器 (3)采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率∫(p)=p2+C2p2(0-p)=p2(3-2p), 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的橛率： g(p)=p3+Cp3Q-p)+Cp'0-p)2=p3(6p2-15p+10) 令gp)-fp)=3p2(2p3-5p2+4p-1=3p2Up-02(2p-), 因为2<p<1时，8p)>心p):所以选择五局三胜对甲有利。 18.()依题意可得：解得2=4，=3，故C的方程为号+号-1 (②@依题意可设直线1的方程为x=m+1(m≠0)，M(,片)，N(五，2)，P(,-h) x=my+1 联立 +芝-1得(3m2+4y+6网-9=0， 41 3 由韦达定理得为+h=一，6m 9 3m2+4'为h=3m+4, 则直线PM的方程为y-为=4+立(x-x), 一名2 即y=为+业x-为+业=当+2x-+业 丙一3为一无为-无( 为+y2 -18m+ -6m 丛+2=(（m+l)h+(m+)2=2my+h+2=3m2+43m2+4=4. 为+2 片+2 片+2 -6m 3m2+4 则直线PM的方程为y=+2(x-4), 一无2 故直线PM过定点(4，O),即P、M、Q三点共线 画M0·2=(4-x)(4-)+=(-3)(%-3)+2=(m2+1)4y-3m(h+h)+9 +小是+黑9-22 3m2+41 因为a0网，所以3斗e0,12e 42. 27 所以M观·0的取值范围为（年12）. 19.0)由fx)=ana-2x,xe(0+).(x-2. ①当a≤0时.'(：)<0，∴1(x)在(0.+m)上单调递减，f()的极值点个数为0. ②消a>0时.◆闭>0.得0<<号 ()在0》单调递端。在(？+o上单调途减。 “)在x=处取得极大值，无极小值，儿)的极值点个数为1. 综上，①当a≤0时.f(x)的极值点个数为0： ②当a>0时，f(x)的极值点个数为1. (2)设().C(22）:(x)是(0，+∞)上的等比左偏函数. xg=√，易知x≠为，不妨设0<x<五2， :回是-2.曲线y=了（冈在点B处切线的斜率=八网]示2， 又kc=f-fl=-血-2， 一丙 2一为 oIn 立-1 <0 :名>为>0，为-为>0，令1=兰，则1>1， 所以-c"2行-小水0， 2-小0>1)四.令g0-号-t>刘. 0立原o ∴8)在+回)上单调递增。六g0)>片-l=0. 结合()式、得a<0,即o的取值范困为(-∞.0). 当a=时.7=nx-2x,2/e2a,+2石na.+2扣 令h+云.则片京器 仅当x>时.>0，()在行+树上单调港增， :0n1=h(an)、a= 1>分4=a)=)0- 2 从而马=o,)》>>h0)=子o,=4(%,)》号，故，> 3 4>1 2 由2)知g0-号-w>(>小.令1=2x>刃 则-加2>oe>.则w<登>刘 又因为31质以，受六 云1侣}安+受m受1.从西-2.-2引. 0,-2<o-2小2o2-2<<2%-2)，n22.即a,<2+,n22. “当n22时，； +)+》2m++周」 2n-安a1 2n+ 又当a=】时，9-号2x1+13,符合上式 <2m+1.