精品解析：福建省泉州第一中学2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷

泉州一中2024-2025学年第二学期期末考试 初二数学试卷 命题人：苏德谋 审题人：林美婷 李阿华 （考试时间120分钟，试卷总分150分） 注意事项 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名． 2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．在答题卡相应的答题区域内作答． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的识别，解题关键是理解分式的定义． 根据分式的定义，对四个式子逐一分析再作出判断． 【详解】解：，分母为常数，不含字母，属于整式，故A不符合； ，分母为数字2，不含字母，属于整式，故B不符合； ，分母为，含字母，符合分式定义，故C符合； ，分母为数字5，不含字母，故D不符合， 故选：C． 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减、二次根式的化简以及二次根式的除法运算，乘法运算等法则逐一分析即可求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加减、二次根式的化简、二次根式的乘法，除法，掌握相关的运算法则是解题的关键． 4. 甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期5次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，，则四位学生中这5次训练成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握根据方差判断稳定性是解题的关键：①方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量；②方差能够反映所有数据的信息，因而在刻画数据波动情况时比极差更准确：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小． 根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，， ， 四位学生中这5次训练成绩最稳定的是丁， 故选：． 5. 下列函数中，当 时随 的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数及一次函数的增减性．反比例函数：比例系数k大于0时，图象经过第一、三象限，在每个象限内随 的增大而减小；比例系数k小于0时，图象经过第二、四象限，在每个象限内随 的增大而增大．一次函数比例系数k大于0时，随 的增大而增大；比例系数k小于0时，随 的增大而减小．由此可解． 【详解】解：A．，，当 时，函数图像在第四象限，随 的增大而增大，符合题意； B．，，随 的增大而减小，不合题意； C．，，随 的增大而减小，不合题意； D．，，当 时，函数图像在第一象限，随 的增大而减小，不合题意； 故选：A． 6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时 公里，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时公里，根据学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，孔子和学生们同时到达书院，列出分式方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里， 由题意得：， 故选：A． 7. 如图，在 中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：，，， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 故选：A． 8. 已知点的坐标为，点的坐标为．将线段 沿某一方向平移后点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可解决问题． 【详解】解：∵将点的对应点的坐标为， ∴将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点， 点的坐标为向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故选：A． 【点睛】本题考查坐标平移，记住坐标平移的规律是解决问题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 顶点B在x轴上，顶点A在y轴上，若点C坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点C作轴，证明推出，则． 【详解】解：如图所示，过点C作轴， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10. 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，且，作分别交AC、AB于点G、F，P、H分别是AG，BE的中点，则PH的长是( ) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接PF，CF，先证明PF⊥AG，再根据H点为CF中点可得PH为Rt△PFC斜边的中线，即，在矩形EFBC中，利用勾股定理求出CF，则PH可求． 【详解】连接PF，CF，如图， ∵四边形ABCD是正方形，， ∴四边形EFBC是矩形， ∴∠BFE=90°=∠AFE，DE=AF=1， ∵H为BE中点， ∴H在CF上，且也为CF中点， ∵AC为正方形ABCD的对角线， ∴AC平分∠BAD，即∠FAG=∠GAD=45°， ∵△AGF中，∠AFG=90°，∠FAG=45°， ∴∠FGA=45°，即△AGF是等腰直角三角形， ∵P点为AG中点， ∴PF⊥AG，即△PFC是直角三角形， ∵H为CF中点， ∴PH为Rt△PFC斜边的中线， ∴， ∵在矩形EFBC中，EF=BC=4， 又∵AF=1， ∴BF=AB-AF=4-1=3， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形中斜边中线等于斜边的一半等知识，证明△PFC是直角三角形是解答本题的关键． 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卡相应的答题区域内作答． 11. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义，则， 即． 故答案为： 12. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大． 根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可； 【详解】解：∵共有12个数， ∴中位数是第6和7个数的平均数， ∴中位数是； 故答案为：90． 13. 如图，平行四边形 绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，和交于点P，则的度数是________． 【答案】##42度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：平行四边形 绕点逆时针旋转，得到平行四边形， ，，，， ， ，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为4，当时， 的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为4， ∴点B的横坐标为， 由函数图象可得：当或时，反比例函数的图象在正比例函数的图象上方， ∴当时， 的取值范围是：或． 15. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形 ，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形 的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是根据等高得到边相等从而得到菱形． 根据等宽可得四边形 是平行四边形，结合四边形面积即可得到，即可得到四边形 是菱形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴四边形 是平行四边形， ∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 可设两张等宽的纸条的宽为h，则， ∴， ∴四边形 是菱形，        ∴ 故答案为： 16. 如图，直线与 轴、轴交于、两点，的平分线所在的直线的解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，三线合一，求出的坐标，勾股定理求出 的长，构造等腰三角形，求出 点坐标，待定系数法求出 的解析式即可． 【详解】解：∵， ∴当 时，，当时，， ∴， ∴， 取，则：， ∵是的角平分线， ∴垂直平分， ∴ 为的中点， ∴， 设直线的解析式为 ，则：， 解得：， ∴； 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在答题卡相应的答题区域内作答． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在菱形 中，点E，F分别在边和上，且．求证： ． 【答案】证明：∵四边形 是菱形， ∴． 在 和中， ， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的加减运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用 表示），共分为四组： ，下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在组的数据是：82，83，86． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 90 112.2 10% 男生 88 100 200.2 50% 10名男生对《哪吒2》评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的___________，___________，___________； （2）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在 组共有多少人？ 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义求得，进而得出评分在的人数，求得的值； （2）用和分别乘以评分在D组的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，． 出现最多，则， 根据统计表可得满分的有人，则中位数为第 和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，． 则按从小到大排列，第 个数据为，第个数据为， 则 根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为， ∴评分分数为和的人数都是人 ∴，则 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：（人） 【点睛】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与 轴交于点，过点作轴，垂足为，若． （1）求点的坐标及的值； （2）若，求一次函数的表达式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数中的几何意义的应用． （1）在直线中令可求得点坐标；连接，得，根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解； （2）利用勾股定理求出，设，代入反比例函数，求出点坐标，再利用待定系数法，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，令可得，解得， 点坐标为； 连接， 轴， 轴， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的图象在二、四象限， ，即：； 【小问2详解】 点， ， 又， 在中，， 轴， 设， ，即，即， 把代入，得：，解得：， ∴一次函数的解析式为：． 22. 如图，在等腰 中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交 的延长线于E． （1）判断四边形 的形状，并说明理由； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 四边形 是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形 是菱形； （2） 的长为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形 是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴4， 23. 在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元 （2）购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键． （1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可； （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，再列不等式求解m的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元． 根据题意，得， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元， 由题意得：，解得． ，即， ， 随m的增大而增大． 当时，，此时． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 24. 综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线 ：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． （1）直接写出k，b，m的值． （2）如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线 ，于点D，E，连接．设点P的坐标为． ①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示） ②当时，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）①，；②点的坐标为或 （3）点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）把代入，求得，得直线 的解析式为，把代入，求得，得点，将其代入，即可求得的值； （2）①将代入，分别求出 即可求解； ②由两点坐标可得，当时，即，求得，即可； （3）由（2）可知点的坐标为或， 分两种情况，当点的坐标为时，当点的坐标为时，再根据，，，求出，再结合点在线段上，且即可得点点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得：， 即直线 的解析式为：， 把代入，得，解得：， 即， 把代入，得，解得：； 【小问2详解】 ①∵，过点P作y轴的垂线，分别交直线 ，于点D，E， ∴对于，当时，，可得，即：， 对于，当时，，可得，即：， 故答案为：，； ②由①知，，则， ∵， ∴， 当时，即：，解得：或， 此时，点的坐标为或； 【小问3详解】 由（2）可知点的坐标为或， 当点的坐标为时，此时点，则， ∵，点在线段上，且 ∴，即：，解得：， ∴，即， 当点的坐标为时，此时点，则， ∵，点在线段上，且 ∴，即：，解得：， ∴，即； 综上，点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题，图形与坐标，三角形的面积，解题的关键是利用数形结合的思想． 25. 如图，在正方形 中，点 在 边上（不与点，重合）， 于点，交于点 ，点在上，的平分线交于点，连接并延长与 的延长线交于点． （1）求证：； （2）点 在 边上运动时，探究的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由； （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）不变， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由，可证，从而，得； （2）过点 作，与 的延长线交于点 ，连接，证明，得，，再证，得，故平分，； （3）连接，证明，进而证明四边形是平行四边形，得出，，在中，根据勾股定理，即可得证． 【小问1详解】 证明：四边形 是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：的大小不会变化，理由如下： 过点 作，与 的延长线交于点 ，连接，如图： ， ， 又， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分， ； 【小问3详解】 证明：连接， 由（2）知，为定值，且， 是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中2024-2025学年第二学期期末考试 初二数学试卷 命题人：苏德谋 审题人：林美婷 李阿华 （考试时间120分钟，试卷总分150分） 注意事项 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名． 2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．在答题卡相应的答题区域内作答． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期5次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是，，，，且，，，，则四位学生中这5次训练成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 下列函数中，当 时随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时公里，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 8. 已知点 的坐标为，点的坐标为．将线段 沿某一方向平移后点 的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 顶点B在x轴上，顶点A在y轴上，若点C坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，且，作分别交AC、AB于点G、F，P、H分别是AG，BE的中点，则PH的长是( ) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卡相应的答题区域内作答． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 12. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 13. 如图，平行四边形 绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，和交于点P，则的度数是________． 14. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是___________． 15. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形 ，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形 的面积是__________． 16. 如图，直线与轴、轴交于 、两点，的平分线所在的直线的解析式是___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在答题卡相应的答题区域内作答． 17. 计算：． 18. 如图，在菱形 中，点E，F分别在边和上，且．求证： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示），共分为四组： ，下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在组的数据是：82，83，86． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 90 112.2 10% 男生 88 100 200.2 50% 10名男生对《哪吒2》评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的___________，___________，___________； （2）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在 组共有多少人？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点 ，过点作轴，垂足为，若． （1）求点 的坐标及的值； （2）若，求一次函数的表达式． 22. 如图，在等腰 中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交 的延长线于E． （1）判断四边形 的形状，并说明理由； （2）若，求 的长． 23. 在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 24. 综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线 ：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． （1）直接写出k，b，m的值． （2）如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线 ，于点D，E，连接．设点P的坐标为． ①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示） ②当时，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在正方形 中，点 在 边上（不与点 ，重合）， 于点，交于点 ，点在上，的平分线交于点，连接并延长与 的延长线交于点． （1）求证：； （2）点 在 边上运动时，探究的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $