第二章 直线与圆的位置关系 单元测试 2024--2025学年浙教版九年级数学下册

浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试 一、选择题 1.已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 2.如图，边长为4cm的正方形ABCD，点F为正方形的中点，点E在FA的延长线上，EA＝4cm，⊙O的半径为1cm，圆心O从点E出发向点F运动，小明发现：当EO满足①3＜EO＜5；②3≤EO≤5；③EO＝4+；④EO＝4+时，⊙O与正方形ABCD的边只有两个公共点，你认为小明探究的结论中正确的有（　　） A.①③ B.②③ C.②④ D.①③④ 3.卡塔尔世界杯小组赛，一粒制胜球（如图）射门前是否出底线成为球迷讨论的热点，裁判依据VAR图判定该球并未出界，VAR图中的圆与直线a的位置关系为（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 4.如图，有一个直径为10cm的圆形工件，上下有两条水平弦，AB＝CD＝8cm，这两弦及圆弧包围的部分（阴影部分）是核心．探测仪按1cm/秒的速度从上至下移动，探测线沿水平方向扫描工件，从与圆相切时开始计算时间，记为t（秒），那么扫描核心的时间t的范围是（　　） A.1≤t≤5 B.3≤t≤6 C.2≤t≤8 D.1≤t≤7 5.如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（　　） A.PA＝PB B.∠APO＝20° C.∠OBP＝70° D.∠AOP＝70° 6.如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（　　） A.70° B.90° C.60° D.45° 7.如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（　　） A.5 B.10 C.7.5 D.4 8.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（　　） A.32° B.48° C.60° D.66° 9.如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC＝2，CD＝3，DB＝6，则△PAB的周长为（　 　） A.6 B.9 C.12 D.14 10.要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（　　） A.三边高线的交点 B.三个角的平分线的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三边中线的交点 11.已知三角形内的一个点到它的三边距离相等，那么这个点是（　　） A.三角形的外心 B.三角形的重心 C.三角形的内心 D.三角形的垂心 12.如图，AB是半圆⊙O的直径，点C在半圆上，I是△ABC的内心，连AI、BI、OI，OI⊥BI，下列结论：①∠AIO＝45°；②BI＝2OI；③；④AB+BC＝2AC．其中正确的结论个数有（　 　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 13.在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是 　 　，⊙A与y轴的位置关系是 　  　． 14.如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，4），⊙M的半径为2．若圆心M从点O开始沿x轴移动，当OM＝　　时，⊙M与直线AB相切． 15.如图①是清明上河园中供人们游玩的古代的马车．如图②是马车的侧面示意图，车轮⊙O的直径为AB，车架AC经过圆心O，地面水平线CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．小明测出车轮的直径AB＝1米，BC＝2米，则AD的长为 　　米 16.如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于E，PA＝6，则△PDC的周长为　  　． 17.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝　  　． 三、解答题 18.在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°．若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，求r的取值范围． 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径画圆，如果⊙C与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围． 20.已知，AB为⊙O的直径，点E为弧AB任意一点，如图，AC平分∠BAE，交⊙O于C，过点C作CD⊥AE于D，与AB的延长线交于P． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若∠BAE＝60°，求线段PB与AB的数量关系． 21.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E，连接DB、BC、CA． （1）求证：∠BDC＝∠BCE； （2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE； （3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 22.如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD． 求证：OD＝CD． 浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 【答案】A 【解析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断． ∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交， ∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：A． 2.如图，边长为4cm的正方形ABCD，点F为正方形的中点，点E在FA的延长线上，EA＝4cm，⊙O的半径为1cm，圆心O从点E出发向点F运动，小明发现：当EO满足①3＜EO＜5；②3≤EO≤5；③EO＝4+；④EO＝4+时，⊙O与正方形ABCD的边只有两个公共点，你认为小明探究的结论中正确的有（　　） A.①③ B.②③ C.②④ D.①③④ 【答案】A 【解析】如图1中，当⊙O经过点A时，易知OE＝3或5，当3＜OE＜5时，⊙O与正方形ABCD的边只有两个公共点，如图2中，当⊙O与正方形ABCD的边相切时，设切点为M、N，连接OM．易知OA＝，此时OE＝4+，由此即可判断． 如图1中，当⊙O经过点A时，易知OE＝3或5， ∴当3＜OE＜5时，⊙O与正方形ABCD的边只有两个公共点 如图2中，当⊙O与正方形ABCD的边相切时，设切点为M、N，连接OM． 易知OA＝，此时OE＝4+， ∴当OE＝4+时，⊙O与正方形ABCD的边只有两个公共点． 综上所述，当3＜OE＜5或OE＝4+时，⊙O与正方形ABCD的边只有两个公共点， 故①③正确， 故选：A． 3.卡塔尔世界杯小组赛，一粒制胜球（如图）射门前是否出底线成为球迷讨论的热点，裁判依据VAR图判定该球并未出界，VAR图中的圆与直线a的位置关系为（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 【答案】A 【解析】通过观察发现，足球所在的圆与直线a只有一个公共点，可知VAR图中的圆与直线a相切，于是得到问题的答案． ∵足球所在的圆与直线a只有一个公共点， ∴VAR图中的圆与直线a相切， 故选：A． 4.如图，有一个直径为10cm的圆形工件，上下有两条水平弦，AB＝CD＝8cm，这两弦及圆弧包围的部分（阴影部分）是核心．探测仪按1cm/秒的速度从上至下移动，探测线沿水平方向扫描工件，从与圆相切时开始计算时间，记为t（秒），那么扫描核心的时间t的范围是（　　） A.1≤t≤5 B.3≤t≤6 C.2≤t≤8 D.1≤t≤7 【答案】C 【解析】如图作OE⊥AB于H交⊙O于E，交CD于F．想办法求出EH、EF即可解决问题． 如图作OE⊥AB于H交⊙O于E，交CD于F． ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH＝4， ∵OA＝5， ∴OH＝＝3， ∴EH＝OE﹣OH＝5﹣3＝2， ∵AB＝CD，AB∥CD，OF⊥CD， ∴OH＝OF＝3， ∴EF＝8， ∴扫描核心的时间t的范围是2≤t≤8， 故选：C． 5.如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（　　） A.PA＝PB B.∠APO＝20° C.∠OBP＝70° D.∠AOP＝70° 【答案】C 【解析】根据切线长定理得A，B是正确的；再根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余得D是正确的；根据切线的性质定理得C错误． ∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，∠A＝∠B＝90°， ∴∠OBP＝∠OAP， ∴C是错误的． 故选：C． 6.如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（　　） A.70° B.90° C.60° D.45° 【答案】B 【解析】由于AD、DC、CB都是⊙O的切线，根据切线长定理知：∠ADO＝∠CDO，∠DCO＝∠BCO；而AD∥BC，则2∠ODC和2∠OCD互补，由此可求得∠DOC的度数． ∵DA、CD、CB都与⊙O相切， ∴∠ADO＝∠ODC，∠OCD＝∠OCB； ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°； ∴∠ODC+∠OCD＝（∠ADC+∠BCD）＝×180°＝90°，即∠DOC＝90°； 故选：B． 7.如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（　　） A.5 B.10 C.7.5 D.4 【答案】A 【解析】由切线长定理，可知：AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，用未知数设AF的长，然后表示出BD、CF的长，即可表示出BE、CE的长，根据BE+CE＝5，可求出AF的长． 设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9﹣x，CE＝CF＝CA﹣AF＝6﹣x， 则有9﹣x+6﹣x＝5，解得x＝5，即AF的长为5． 故选：A． 8.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（　　） A.32° B.48° C.60° D.66° 【答案】D 【解析】根据切线长定理可知CA＝CD，求出∠CAD，再证明∠DBA＝∠CAD即可解决问题． ∵CA、CD是⊙O的切线， ∴CA＝CD， ∵∠ACD＝48°， ∴∠CAD＝∠CDA＝66°， ∵CA⊥AB，AB是直径， ∴∠ADB＝∠CAB＝90°， ∴∠DBA+∠DAB＝90°，∠CAD+∠DAB＝90°， ∴∠DBA＝∠CAD＝66°， 故选：D． 9.如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC＝2，CD＝3，DB＝6，则△PAB的周长为（　 　） A.6 B.9 C.12 D.14 【答案】D 【解析】由切线长定理可求得PA＝PB，PC＝PD；根据PC、DB的长，即可求出PA、PB的长；易证得△APB∽△DPC，因此两三角形的周长比等于相似比，由此可求出△PAB的周长． 根据切线长定理可得：PD＝PC＝2，DB＝6 ∴AP＝BP＝4 ∵PA＝PB，PC＝PD，即＝2 ∵∠APB＝∠DPC ∴△ABP∽△CDP 易得△CDP的周长是7，所以△PAB的周长是2×7＝14． 故选：D． 10.要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（　　） A.三边高线的交点 B.三个角的平分线的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三边中线的交点 【答案】B 【解析】因为三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆，所以在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心为该三角形的内心，即该三角形三个角的平分线的交点，于是得到问题的答案． ∵三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆， ∴在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形三个角的平分线的交点， 故选：B． 11.已知三角形内的一个点到它的三边距离相等，那么这个点是（　　） A.三角形的外心 B.三角形的重心 C.三角形的内心 D.三角形的垂心 【答案】C 【解析】根据三角形内心的定义求解． ∵三角形内的一个点到它的三边距离相等， ∴以这个点为圆心，以这个点到三角形一边的距离为半径的圆与三角形各边都相切， ∴那么这个点是三角形的内心． 故选：C． 12.如图，AB是半圆⊙O的直径，点C在半圆上，I是△ABC的内心，连AI、BI、OI，OI⊥BI，下列结论：①∠AIO＝45°；②BI＝2OI；③；④AB+BC＝2AC．其中正确的结论个数有（　 　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】由AB是半圆⊙O的直径，可得∠C＝90°，由I是△ABC的内心，可求，则∠AIB＝135°，∠AIO＝45°，可判断①的正误；如图，延长IO到E，使IO＝OE，连接AE，证明△BOI≌△AOE（SAS），则可证BI＝2OI，进而可判断②的正误；由勾股定理得，，进而可判断③的正误；如图，延长BI交AC于F，证明△AIF≌△AIO（ASA），则IF＝IO，设IF＝OI＝a，则BI＝2a，BF＝3a，由勾股定理得，，证明△BIO∽△BCF，求得，由勾股定理得，，计算求解可判断④的正误． ∵AB是半圆⊙O的直径， ∴∠C＝90°，∠CAB+∠CBA＝90°， ∵I是△ABC的内心， ∴，， ∴， ∴∠AIB＝180°﹣（∠BAI+∠ABI）＝135°， ∵OI⊥BI， ∴∠BIO＝90°， ∴∠AIO＝∠AIB﹣∠BIO＝45°，①正确，故符合要求； 如图，延长IO到E，使IO＝OE，连接AE， ∵IO＝OE，∠BOI＝∠AOE，BO＝AO， ∴△BOI≌△AOE（SAS）， ∴∠AEI＝∠BIO＝90°，AE＝BI， ∴∠IAE＝45°＝∠AIE， ∴AE＝IE＝2OI， ∴BI＝2OI，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，，③正确，故符合要求； 如图，延长BI交AC于F， ∴∠AIF＝90°﹣∠AIO＝45°＝∠AIO， ∵∠AIF＝∠AIO，AI＝AI，∠IAF＝∠IAO， ∴△AIF≌△AIO（ASA）， ∴IF＝IO， 设IF＝OI＝a，则BI＝2a，BF＝3a， 由勾股定理得，， ∵∠OBI＝∠FBC，∠BIO＝90°＝∠BCF， ∴△BIO∽△BCF， ∴，即，解得，， 由勾股定理得，， ∵， ∴AB+BC＝2AC，④正确，故符合要求； 故选：D． 二、填空题 13.在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是 　 　，⊙A与y轴的位置关系是 　  　． 【答案】相切，相交 【解析】解方程x2﹣2x﹣15＝0得到⊙A的半径为5，于是得到⊙A的半径＝圆心A到x轴的距离，即可得到结论． 解方程x2﹣2x﹣15＝0得，x1＝5，x2＝﹣3， ∴⊙A的半径为5， ∵⊙A的圆心坐标为（3，5）， ∴点A到x轴的距离为5，点A到y轴的距离为3， ∴⊙A的半径＝圆心A到x轴的距离，⊙A的半径＞圆心A到y轴的距离， ∴⊙A与x轴的位置关系是相切，⊙A与y轴的位置关系是相交， 故答案为：相切，相交． 14.如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，4），⊙M的半径为2．若圆心M从点O开始沿x轴移动，当OM＝　　时，⊙M与直线AB相切． 【答案】或 【解析】当点M在点A的左侧，设⊙M与直线AB相切于点D，连接MD，则△ADM∽△AOB，得＝＝，求得AM＝AB＝，则OM＝OA﹣AM＝；当点M′在点A的右侧，设⊙M′与直线AB相切于点E，连接M′E，可证明△AEM′≌△ADM，得AM′＝AM＝，OM′＝OA+AM′＝3+＝，于是得到问题的答案． 作OC⊥AB于点C， ∵A（3，0），点B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵∠AOB＝90°， ∴AB＝＝＝5， 当点M在点A的左侧，设⊙M与直线AB相切于点D，连接MD，则AB⊥MD， ∴∠ADM＝∠AOB＝90°， ∵∠DAM＝∠OAB， ∴△ADM∽△AOB， ∴＝＝＝， ∴AM＝AB＝， ∴OM＝OA﹣AM＝3﹣＝； 当点M′在点A的右侧，设⊙M′与直线AB相切于点E，连接M′E，则AB⊥M′E， ∴∠AEM′＝∠ADM＝90°， ∵∠EAM′＝∠DAM，EM′＝DM， ∴△AEM′≌△ADM（AAS）， ∴AM′＝AM＝， ∴OM′＝OA+AM′＝3+＝， ∴当OM＝或OM′＝时，⊙M与直线AB相切， 故答案为：或． 15.如图①是清明上河园中供人们游玩的古代的马车．如图②是马车的侧面示意图，车轮⊙O的直径为AB，车架AC经过圆心O，地面水平线CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．小明测出车轮的直径AB＝1米，BC＝2米，则AD的长为 　　米 【答案】 【解析】连接OD，作AE⊥CD延长线于点E，可证△COD∽△CAE，可得AE的长，根据勾股定理可得CD，CE，DE的值，在直角△ADE中，运用勾股定理即可求解． 如图所示，连接OD，延长CD，作AE⊥CD延长线于点E， ∵CD与⊙O切与点D， ∴OD⊥CD，且AE⊥CE， ∴AE∥OD， ∴△COD∽△CAE， ∴， ∵AB＝1m是直径， ∴，则，AC＝AB+BC＝1+2＝3， ∴， 在Rt△COD中，， 在Rt△ACE中，， ∴， ∴在Rt△AED中，， ∴AD的长为， 故答案为：． 16.如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于E，PA＝6，则△PDC的周长为　  　． 【答案】12 【解析】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB即可得出答案． ∵CA，CE都是圆O的切线， ∴CA＝CE， 同理DE＝DB，PA＝PB， ∴三角形PDC的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12． 故答案为：12． 17.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝　  　． 【答案】65° 【解析】设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α，根据内心得∠DAB＝α，∠ABE＝β，利用三角形内角和定理即可求得α+β＝65°，即可求得答案． 设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠DAB＝α，∠ABE＝β， ∴∠CAB+∠ABC+50°＝2α+2β+50°＝180°， ∴α+β＝65°， 则∠DBE＝α+β＝65°． 故答案为：65°． 三、解答题 18.在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°．若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，求r的取值范围． 【答案】解：过点C作CD⊥AB于点C， ∵Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°， ∴CD＝， ∴以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，r的取值范围是：r≥2.4． 【解析】 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径画圆，如果⊙C与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围． 【答案】解：由勾股定理得：AB＝10cm， 分为两种情况：①如图1，当⊙C与AB相切时，只有一个公共点，则CD⊥AB， 由三角形的面积公式得：S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD， 故6×8＝10×CD， 所以CD＝4.8cm，即r＝4.8cm． ②如图2，当R的范围是6cm＜r≤8cm时，⊙C和AB只有一个公共点． 综上所述，r＝4.8cm或6cm＜r≤8cm． 【解析】 20.已知，AB为⊙O的直径，点E为弧AB任意一点，如图，AC平分∠BAE，交⊙O于C，过点C作CD⊥AE于D，与AB的延长线交于P． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若∠BAE＝60°，求线段PB与AB的数量关系． 【答案】（1）证明：连OC，BC，如图， ∵∠1＝∠2， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠OCA， ∴∠2＝∠OCA． ∴AD∥OC． 又∵CD⊥AE， ∴OC⊥CD． ∴PC是⊙O的切线． （2）解：若∠BAE＝60°，则∠1＝30°，∠P＝30°． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°． ∴∠3＝60°，则△OBC为等边三角形，即BC＝AB． 而∠3＝∠P+∠4，所以∠4＝30°， ∴BC＝BP． ∴PB＝AB． 【解析】 21.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E，连接DB、BC、CA． （1）求证：∠BDC＝∠BCE； （2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE； （3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）证明：连接OC，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵直线CE为⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， ∵∠OCB+∠ACO＝90°，∠OCB+∠BCE＝90°， ∴∠ACO＝∠BCE， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵∠CAO＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠BCE； （2）证明：如图， ∵F点为AC的中点， ∴DF⊥AC， 即DF垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∵CD⊥AB， ∴AB平分CD， 即AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴AC＝CD＝AD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠CAD＝60°， ∴∠BAC＝∠BAD＝30°， ∴∠BOC＝∠BOD＝60°， ∵OB＝OD， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°， ∵∠BOC＝∠OBD， ∴DG∥OC， ∵OC⊥CE， ∴DG⊥CE； （3）解：图中阴影部分面积＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×62＝6π﹣9． 【解析】 22.如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD． 求证：OD＝CD． 【答案】证明：如图，连接OC， ∵点O是△ABC的内心， ∴∠CAD＝∠BAD，∠OCA＝∠OCB， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠COD＝∠CAD+∠OCA＝∠BAD+∠OCB， ∠DCO＝∠BCD+∠OCB， ∴∠COD＝∠DCO， ∴△DCO是等腰三角形， ∴OD＝CD． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$