精品解析：浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

镇海中学2024学年第二学期期末考试 高一数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：C. 2. “关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 3. 在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 4. 有一个质地均匀的骰子，连续投掷两次， 表示事件“第一次投掷正面朝上的点数是6”，表示事件“第二次投掷正面朝上的点数是5”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是7”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是8”，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的定义逐一验证即可. 【详解】由题意有，，， 所以，故A错误；，故B错误； ，故C错误；，故D正确. 故选：D. 5. 已知直三棱柱为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最小时，得到在平面的交线上，故取值最小时，三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案. 【详解】由题意可得， 取值最小时，其在平面内，其在平面的交线为如图所示的圆弧. 故取值最小时，三点共线，通过点作于， 则，又，故， 所以，解得，从而， 因此. 故选：C. 6. 若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k. 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为（舍去第四象限的点）， 所以与两点所在直线，与垂直，故. 故选：D. 7. 已知长方形，将沿着折起得到三棱锥，当点在底面的投影恰好落在直线上时，此时点到面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点在底面的投影为，且，由题意求得，设到平面的距离为，利用，可求得点到面的距离. 【详解】作出示意图如图所示，点在底面的投影为，且， 所以平面，又平面，所以平面， 过作于，连接，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，，又， 所以，所以，所以， 又， 在中，可得， 在中，， 设到平面的距离为， 由，可得， 所以，解得. 故选：B. 8. 已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（ ） A. B. C. 11 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积运算可证，，由向量三角不等式可得，求出得解. 【详解】由题，，， 所以 ， 同理，， 由向量三角不等式，， 又， ，当且仅当与共线反向时，取等号， 所以最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据对立事件的定义即可判断，对于B根据交事件的性质即可判断，对于C先求，进而得，根据概率的乘法公式即可判断，对于D利用独立事件的定义即可判断. 【详解】对于A：由，若，则事件与事件不是对立事件， 若，则事件与事件互为对立事件，故A错误； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D：若 ，所以，即， 所以，所以事件与事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 10. 在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在平面上 B. 若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，当时，可得，可判断A；平面，可得的值最大时，与面所成角最小，可判断B；利用等体积法可求得最小值判断C；求得轨迹长可判断D. 【详解】对于A，当时，可得，所以， 所以点在平面上，故A正确； 对于B，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，且时，点在直线上，到平面的距离为定值， 要使与面所成角最小，则的值最大，由题意， 故，直线与所成角无限趋于零，故正切值无限趋于零，故B错误； 当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离， 由勾股定理可得，， ， 由余弦定理可得， 所以，所以， 设到平面的距离为，由， 得，所以， 解得，故C错误； 当，即在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆组弧， 圆弧交于点，可得，所以， 所以，所以， 当在表面内时，由，所以的轨迹是以为圆心， 2为半径的圆的，所以轨迹长度为， 在平面内的轨迹与在内的相同为， 在平面内轨迹是以为圆心，4为半径的圆的，所以轨迹长度为， 所以若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为，故D正确. 故选：AD. 11. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．则下列选项正确的是（ ） A. 若被直线分隔，则 B. 若直线是曲线的分割线，则 C. 曲线存在分隔线 D. 曲线，有且仅有一条过原点的分隔线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据题意列出不等式即可求解；对于B、C和D，画出图像即可求解. 【详解】对于A，由题意得， 所以，故A正确； 对于B， 如图，函数的图像是函数的分割线， 所以若直线是曲线的分割线，则，故B正确； 对于C，因为曲线是封闭曲线， 所以曲线不存分隔线，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以，当时，， 因为，所以， 如图为函数大致图像，所以为分割线，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线．若，则实数的值为________________． 【答案】2 【解析】 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 13. 已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出过的直线方程，然后求出反射后的直线的方程，最后利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出半径的值. 【详解】因为一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分， 所以该直线经过圆心. 所以该直线的斜率为. 所以该直线的方程为，倾斜角为. 因为该直线碰到直线后反射，那么射出的直线与轴的夹角为， 中，当时，， 从而射出的直线的斜率为，且射出的直线经过点. 所以射出的直线方程为，即. 又该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心到该直线的距离为圆的半径， 即. 故答案为：. 14. 已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意以为原点建立空间直角坐标系，过作交与，设，可得，，，且，再利用即可求解. 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，过作交与， 设，， ，， 设，， 又和为异面直线，所以， 直线的一个方向向量为， ，设异面直线和所成角为， 则， 又，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个不透明袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号0，1，2，3，4．从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为，记，且． （1）求事件“”发生的概率； （2）求事件“”发生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由坐标表示向量的数量积结合古典概率求解可得； （2）由坐标表示向量的模长结合古典概率求解可得. 【小问1详解】 ， 所以或， 又不放回的依次取出2个球共有 共20种情况， 所以事件“”发生的概率为. 【小问2详解】 ，， 因为，所以， 所以共14种情况符合， 所以事件“”发生的概率为. 16. 如图，在四面体中，，． （1）求二面角的平面角的大小； （2）求异面直线与间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，由已知可得，可得为二面角的平面角，求解即可； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得异面直线与的公垂线的方向向量，利用向量法可求异面直线与间的距离． 【小问1详解】 取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 又，所以，， 又，所以是等边三角形， 所以，所以二面角的平面角的大小为； 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可知，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，所以平面， 则， 则， 设，且， 则，令，则， 则， 则异面直线与间的距离． 17. 在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）当直线与圆相切时，求实数的值． （3）若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）为点时，为定值 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为 ，由题意可得，且，可求得圆心坐标与半径，进而可求得圆的方程； （2）由题意可得，求解即可； （3）由题意可得直线经过定点，设过的直线与圆的切点为， 可得，当为定点，符合题意. 【小问1详解】 设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上， 则， 因为利用圆经过点和，所以， 两边平方后得， 整理得，又，解得，，所以圆心为， 的以圆的半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为， 由题意可得 的距离为，所以 两边平方，化简得，解得或； 【小问3详解】 直线方程为 即， 由，解得，所以直线经过定点， 又，所以点在圆外， 设过的直线与圆的切点为， 则有，又， 所以 所以当为定点时，为定值. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，． （1）求四棱锥的体积的最大值： （2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题知，则当平面时，四棱锥的体积的取得最大值，然后直接计算即可； （2）根据等体积法求出点点到平面的距离为，利用即可求解； （3）根据题意可证平面，然后以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的夹角，再利用平面与平面夹角与法向量的关系，求出两法向量夹角的余弦值的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 设与相交于点，连接， 因为底面是边长为4的正方形，所以为中点，， 又，所以， 所以当平面时，四棱锥的体积取得最大值， 此时， 所以四棱锥的体积取得最大值. 【小问2详解】 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 由（1）知平面， 又平面，所以， 则，即为等边三角形， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 所以， 解得，故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 ，，即， ，是正方形，， 又平面，所以平面， 所以为原点，为轴，为轴，轴在平面中，建立空间直角坐标系， 设， 则， 设平面的一个法向量， 则， 不妨取，所以， 设平面的一个法向量， 同理可得， ， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 19. 已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 【答案】（1）； （2）（i）过定点，定点坐标为；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）（i）设，写出两点直径式方程，再与圆方程作差即可得到直线方程，分析即可得到定点坐标； （ii）设，，写出相关直线方程，求出，，再写出直线和的方程，联立得到，则得到最短距离. 【小问1详解】 由题意得，则，设， 则， 化简得 【小问2详解】 （i）设， 则以为直径的圆为：. 与方程作差可得直线为：. 即，则，解得. 则过定点. （ii）首先证明一个结论，标准圆， 其圆上任意一点，在该点处的切线方程为， 证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，， 则切线方程为，即。 当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合， 当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合， 综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为. 设，， 则化简直线为：. 过定点，所以有（*） 直线为：，令，则，则 同理，直线为：，则同理得 则直线为： 即 同理直线为： 由，交于可知 两式作差可得 对比（*）式可得 即，即也在直线上. 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2024学年第二学期期末考试 高一数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 2. “关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 3. 在平行六面体中，点为棱中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 有一个质地均匀的骰子，连续投掷两次， 表示事件“第一次投掷正面朝上的点数是6”，表示事件“第二次投掷正面朝上的点数是5”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是7”，表示事件“两次投掷正面朝上的点数之和是8”，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直三棱柱为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（ ） A. 16 B. C. D. 6. 若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知长方形，将沿着折起得到三棱锥，当点在底面的投影恰好落在直线上时，此时点到面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（ ） A. B. C. 11 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则事件与事件相互独立 10. 在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在平面上 B. 若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为 11. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．则下列选项正确的是（ ） A. 若被直线分隔，则 B. 若直线是曲线的分割线，则 C. 曲线存在分隔线 D. 曲线，有且仅有一条过原点的分隔线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线．若，则实数的值为________________． 13. 已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为________________． 14. 已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号0，1，2，3，4．从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为，记，且． （1）求事件“”发生概率； （2）求事件“”发生的概率． 16. 如图，在四面体中，，． （1）求二面角的平面角的大小； （2）求异面直线与间的距离． 17. 在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）当直线与圆相切时，求实数值． （3）若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4正方形，． （1）求四棱锥的体积的最大值： （2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，求平面与平面夹角余弦值的最大值． 19. 已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $