第11讲 线段的垂直平分线的性质与判定 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第11讲 线段的垂直平分线的性质与判定 【人教版2024】 【知识点1 线段垂直平分线的定义及性质】 1.定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。（垂直平分线又叫中垂线） 2.性质：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB． 【典题练习】 【例1】如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 【练1】如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，可得到，即可求解． 【详解】解：由题中折叠可知，为线段的垂直平分线， ，故C正确，符合题意， 其余选项均不能证明，不符合题意， 故选：C． 【知识点2 线段垂直平分线的判定】 判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC． 又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． 用数学符号表示为： ∵　PA =PB，∴　点P 在AB 的垂直平分线上． 【典题练习】 【例2】如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上． 先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵边的垂直平分线交于点P， ∴． ∴． ∴点P必在的垂直平分线上． 【练2】如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质． （1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题; （2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 【能力闯关】 【基础关】 1.如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线性质可推出，通过直角三角形性质和三角形外角定义即可求出的度数. 【详解】解： 是的垂直平分线， ， . ，， ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角定义，解题的关键在于熟练掌握线段的垂直平分线性质. 2.如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 3.如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则____________. 【答案】50cm 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 4.如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的外角的性质可得，进而得到，然后在中，利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ， ∴， ， ， 在中，， ∴． 5.如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 【提升关】 6.如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C 7.我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 8.如图，点在的边上，且，则点在线段 的垂直平分线上. 【答案】 【分析】根据到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可直接判断. 【详解】解：∵BC=BD+AD, ∴AD=BC-BD, ∵CD=BC-BD, ∴AD=CD, ∴点D在线段AC的垂直平分线上. 故答案为AC. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理. 9.如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．连接，，证明，则，即可得到答案． 【详解】解：连接，， ∵线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 10.已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质； （1）连结，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出，，证明，即可得出结论； （2）证明，可得，然后求出的周长为，计算即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵D在的中垂线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 线段的垂直平分线的性质与判定 【人教版2024】 【知识点1 线段垂直平分线的定义及性质】 1.定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。（垂直平分线又叫中垂线） 2.性质：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB． 【典题练习】 【例1】如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【练1】如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 【知识点2 线段垂直平分线的判定】 判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC． 又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． 用数学符号表示为： ∵　PA =PB，∴　点P 在AB 的垂直平分线上． 【典题练习】 【例2】如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【练2】如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【能力闯关】 【基础关】 1.如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2.如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 3.如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则____________. 4.如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 5.如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【提升关】 6.如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 7.我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 8.如图，点在的边上，且，则点在线段 的垂直平分线上. 9.如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为 ． 10.已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$