精品解析：河北省沧州市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题

沧州市2024—2025学年第二学期期末教学质量监测数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 8 D. 10 2. 某校高中有42个班，每个班有50名学生，现从该校高中每班随机选派3名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是（ ） A. 42 B. 50 C. 126 D. 150 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 已知事件A，B，C两两互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ） A. 40米 B. 米 C. 米 D. 60米 7. 在正四棱台中，分别是棱中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数是虚数，且是实数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，这是某地连续10天日平均气温（单位：℃）的折线图，则（ ） A. 该地这10天日平均气温的众数是33℃ B. 该地这10天日平均气温极差是11℃ C. 该地这10天日平均气温70%分位数是33℃ D. 该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差 10. 连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 在正方体中，M，N分别为线段AB，的中点，P为正方形内（包含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点P，使得平面平面CDP C. 存在唯一的点P，使得平面 D. 直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是关于x的方程的根，则______． 13. 已知半径为2的球O与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为______． 14. 赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是AM，BG，CH，DJ，EK，FL的中点，O是正六边形ABCDEF的中心．若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知某校高一年级有1500名学生，为了解该校高一年级学生的课外阅读时间，研究人员从该校高一年级的学生中随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将所得数据按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求频率分布直方图中a，b的值； （2）试估计该校高一年级的学生这周课外阅读时间不低于8小时的人数； （3）试估计该校高一年级学生该周课外阅读时间平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 16. 如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，四边形是菱形，，，． （1）证明：平面平面． （2）求点A到平面的距离． 17. 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局．已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，，，且每局比赛的结果相互独立． （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，且． （1）求A； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求的取值范围． 19. 定义两个多面体的相似度，其中是多面体重合部分的体积，分别是多面体的体积．如图，在三棱锥中，分别是棱PB，PC的中点，直线DF与直线AB交于点G，直线EF与直线AC交于点H． （1）当时，求三棱锥与三棱锥的相似度K． （2）是否存在，使得三棱锥与三棱锥的相似度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沧州市2024—2025学年第二学期期末教学质量监测数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数模长公式计算求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：B. 2. 某校高中有42个班，每个班有50名学生，现从该校高中每班随机选派3名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是（ ） A. 42 B. 50 C. 126 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】由样本量的定义可得答案. 【详解】由题意可知样本量是. 故选：C 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】设，由余弦定理可得最大角为锐角，据此可判断三角形形状. 【详解】由，设， 所以C是的最大内角．因为， 所以，所以C是锐角，则是锐角三角形． 故选：A. 5. 已知事件A，B，C两两互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【详解】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 6. 小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ） A. 40米 B. 米 C. 米 D. 60米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，利用正弦定理和余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：由题可得、、，，， ，即， 故，则，则， 故. 故选：C. 7. 在正四棱台中，分别是棱的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取棱AB的中点H，连接，可得是异面直线与EF所成的角或其补角，作，由正四棱台的侧面积为，可得，据此可得，然后由结合余弦定理可得答案. 【详解】取棱AB的中点H，连接，则， 所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形 所以． 因为E，F分别是棱的中点，所以， 则是异面直线与EF所成的角或其补角． 过作，垂足为G，则. 因为正四棱台的侧面积为，所以， 所以，则． 因为，所以， 即所求值为． 故选：A 8. 已知复数是虚数，且是实数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是实数，可得，则，然后由a的范围可得答案. 【详解】因为是虚数，则， 所以． 因为是实数，所以，解得或． 因为，所以， 则． 因为，且，所以，所以， 所以，则， 即的取值范围是． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，这是某地连续10天日平均气温（单位：℃）的折线图，则（ ） A. 该地这10天日平均气温的众数是33℃ B. 该地这10天日平均气温的极差是11℃ C. 该地这10天日平均气温的70%分位数是33℃ D. 该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABD，由众数，极差，百分位数计算公式可判断选项正误；对于D，由图象数据波动情况可判断选项正误． 【详解】对于A，由图中数据可知该地这10天日平均气温中，33出现2次，其他数据只出现一次， 则该地这10天日平均气温的众数是33℃，A正确； 对于B，该地这10天最高日平均气温为38℃，最低日平均气温为27℃， 则该地这10天日平均气温的极差是38－27＝11℃，B正确； 对于C，将该地这10天日平均气温从小到大排列为27，29，30，31，32，33，33，36，37，38， 因为10×70%＝7，所以该地这10天日平均气温的70%分位数是，C错误； 对于D，由图可知该地前5天日平均气温的波动小于后5天日平均气温的波动， 则该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差，D正确． 故选：ABD. 10. 连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】借助相互独立事件的定义逐项验证即可得. 【详解】，，，， 对A：，， 故与不相互独立，故A错误； 对B：，，有， 故与相互独立，故B正确； 对C：， 故与不相互独立，故C错误； 对D：，，有，’ 故与相互独立，故D正确； 故选：BD. 11. 在正方体中，M，N分别为线段AB，的中点，P为正方形内（包含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点P，使得平面平面CDP C. 存在唯一的点P，使得平面 D. 直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，点P到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，A正确；B选项，作出辅助线，得到是相交关系，所以不存在点P，使得两平面平行；C选项，作出辅助线，证明面面平行，得到当点P在线段BF上时，平面，使得平面的点P有无数个；D选项，作出辅助线，为直线PM与平面ABCD所成的角，结合图形得到的正切的最大值，进而得到正弦值的最大值. 【详解】A选项，设，由正方体的性质可知平面平面， 因为平面，所以点P到平面的距离为定值． 因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值， 即三棱锥的体积为定值，A正确； B选项，连接，则，且，延长相交于， 因为是相交关系，所以不存在点P，使得平面平面CDP，B正确． C选项，延长至点E，使得，连接，记， 连接BF．因为M，N分别为线段AB，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 当点P在线段BF上时，平面，则平面， 使得平面的点P有无数个．C错误； D选项，作，垂足为H，连接MH， 则为直线PM与平面ABCD所成的角． 因，平面平面ABCD，且平面平面， 所以平面ABCD，所以，则． 显然当点P在棱上时，， 当点H与点B重合时，， 即当P与重合时，此时点H与点B重合，， 则，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是关于x的方程的根，则______． 【答案】26 【解析】 【分析】根据实系数方程复根的性质及韦达定理结合复数乘法计算求解. 【详解】由题意可知关于x的方程的另一个根为， 则． 故答案为：. 13. 已知半径为2的球O与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面，应用边长关系及比例关系求边长，最后应用圆锥表面积公式计算求解. 【详解】如图，是该圆锥的轴截面，H为线段AB的中点，O为球O的球心，作，垂足为C，则． 因为为等边三角形，所以，所以， 所以4，所以，所以， 则该圆锥的表面积为． 故答案为：. 14. 赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是AM，BG，CH，DJ，EK，FL的中点，O是正六边形ABCDEF的中心．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接CF，OB，由题意及图形几何性质可得，然后由平面向量基本定理可得答案. 【详解】连接CF，则O为线段CF的中点． 连接OB，易证四边形ABOF，ABCO均为平行四边形，则． 连接EM，则A，M，E三点共线，且， 所以． 由正六边形的性质可得， 则． 因为，结合平面向量基本定理，所以，则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知某校高一年级有1500名学生，为了解该校高一年级学生的课外阅读时间，研究人员从该校高一年级的学生中随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将所得数据按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求频率分布直方图中a，b的值； （2）试估计该校高一年级的学生这周课外阅读时间不低于8小时的人数； （3）试估计该校高一年级学生该周课外阅读时间的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】（1） （2）450人 （3）664小时 【解析】 【分析】（1）应用频率和为1列式求解参数即可； （2）应用频率分布直方图计算频率即可； （3）应用频率分布直方图计算平均数即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，则． 联立解得． 【小问2详解】 由图可知样本中这周课外阅读时间不低于8小时的频率为 则该校高一年级的学生这周课外阅读时间不低于8小时的人数约为． 【小问3详解】 由题意可得该校高一年级学生该周课外阅读时间的平均数的估计值为小时． 16. 如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，四边形是菱形，，，． （1）证明：平面平面． （2）求点A到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据边长关系得出及，再应用线面垂直判定定理证明平面ABCD，最后应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用三棱锥体积公式应用等体积计算点到平面距离即可. 【小问1详解】 证明：取棱的中点E，连接． 因为四边形是菱形，，所以． 因为E是棱AD的中点，所以，则． 因为为等边三角形，且，E是棱AD的中点，所以． 因为，所以，所以． 因为平面，平面，且，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 因为，所以的面积． 由（1）可知平面，且，则三棱锥的体积． 因为，所以的面积． 设点A到平面的距离为d，则三棱锥的体积． 因为，所以， 解得，即点A到平面的距离为． 17. 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局．已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，，，且每局比赛的结果相互独立． （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）3局比赛结束，包含两种情况甲获胜或者乙获胜，分类求解即可； （2）甲获胜包含三类情况，第一类情况是甲连胜2局；第二类情况是前2局比赛中甲获胜1局，且第3局比赛甲获胜；第三类情况是4局比赛后甲最终获胜，包含①甲获胜1局，其他3局平局，②前3局比赛中甲获胜1局，其他2局平局，且第4局比赛甲获胜，③前3局比赛中甲获胜1局，乙获胜1局，其他1局平局，且第4局比赛甲获胜；这三类情况分别求解计算即可. 【小问1详解】 比赛3局结束的情况有以下两种： 第一种情况是前2局比赛中甲获胜1局，且第3局比赛甲获胜，其概率为； 第二种情况是前2局比赛中乙获胜1局，且第3局比赛乙获胜，其概率为． 故比赛3局结束的概率为； 【小问2详解】 甲最终获胜的情况有以下三类： 第一类情况是甲连胜2局，比赛结束，其概率为； 第二类情况是前2局比赛中甲获胜1局，且第3局比赛甲获胜，其概率为； 第三类情况是4局比赛后甲最终获胜，包含①甲获胜1局，其他3局平局，②前3局比赛中甲获胜1局，其他2局平局，且第4局比赛甲获胜，③前3局比赛中甲获胜1局，乙获胜1局，其他1局平局，且第4局比赛甲获胜这三种情况， 甲获胜1局，其他3局平局的概率为， 前3局比赛中甲获胜1局，其他2局平局，且第4局比赛甲获胜的概率为， 前3局比赛中甲获胜1局，乙获胜1局，其他1局平局，且第4局比赛甲获胜的概率为， 故甲最终获胜的概率为． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，且． （1）求A； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积公式结合正弦定理化简，再应用两角和正弦公式化简求解； （2）应用平面向量的数量积运算律结合基本不等式得出，最后应用面积公式计算求解即可； （3）应用正弦定理边角转化，再应用三角恒等变换结合角的范围求解三角函数值域即可解题. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以． 因为，所以， 所以，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以． 因为，且，所以，当且仅当时，等号成立， 则的面积，即面积的最大值为， 【小问3详解】 由正弦定理可得， 则， 故． 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以， 则，即的取值范围为． 19. 定义两个多面体的相似度，其中是多面体重合部分的体积，分别是多面体的体积．如图，在三棱锥中，分别是棱PB，PC的中点，直线DF与直线AB交于点G，直线EF与直线AC交于点H． （1）当时，求三棱锥与三棱锥的相似度K． （2）是否存在，使得三棱锥与三棱锥的相似度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取棱PA的中点M，先利用三角形中位线，线段成比例，线线平行，三角形相似，得出三棱锥、三棱锥E－PDF与三棱锥底面积之间的关系，高之间的关系；再根据锥体的体积公式及多面体相似度公式即可求解. （2）先类比（1）的做法得出；再假设存在满足条件的，建立方程，结合即可求解. 【小问1详解】 设的面积为S，点P到平面ABC的距离为h， 则三棱锥P－ABC的体积． 取棱PA的中点M，连接DM． 因为D，M分别是棱PB，PA的中点， 所以，． 则． 因为， 所以F是线段PM的中点， 则． 因为E是线段PC的中点， 所以点C到平面PAB的距离是点E到平面PAB的距离的2倍， 则三棱锥E－PDF的体积， 所以三棱锥P－ABC与三棱锥F－AGH的重合部分的体积． 因为，且， 所以，即， 所以． 同理可得：，，且， 所以，即， 所以， 所以 则， 则， 所以． 因， 所以点F到平面AGH的距离为， 则三棱锥F－AGH的体积， 故三棱锥P－ABC与三棱锥F－AGH相似度． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以． 因为E是线段PC的中点， 所以点C到平面PAB的距离是点E到平面PAB的距离的2倍， 所以三棱锥E－PDF的体积， 则三棱锥P－ABC与三棱锥F－AGH的重合部分的体积． 因为，且， 所以，即， 所以． 同理可得：，，且， 所以，即， 所以， 所以 则， 则， 所以． 因为点P到平面ABC的距离为h， 所以点F到平面AGH的距离为， 则三棱锥F－AGH的体积， 故三棱锥P－ABC与三棱锥F－AGH的相似度 ． 假设存在满足条件的， 则， 所以， 所以，解得或或． 因为， 所以， 即存在，使得三棱锥P－ABC与三棱锥F－AGH相似度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$