21.2.2 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 第2课时　课件　　2025—2026学年沪科版数学九年级上册

21.2 二次函数的图像和性质 第二十一章 二次函数与反比例函数 21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图像和性质 问题 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数 y=x2、y=(x-1)2和 y=(x+1)2 的图象？ 解： 列表： x y=x2 y=(x-1)2 y=(x+1)2 ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 1 1 1 2 -1 -3 1 4 1 9 ··· 0 1 4 16 4 9 0 4 3 9 4 16 -2 4 9 1 ··· ··· 描点、连线， 即得各函数的图象. 探究新知 观察 y=x2、y=(x-1)2和 y=(x+1)2 三个函数的图像，回答下列问题. (1)这三个函数图像的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？ 这三个函数图像都是开口向上； y=x2 顶点坐标是 (0,0), 对称轴是直线x=0； y=(x-1)2 顶点坐标是 (1,0), 对称轴是直线x=1； y=(x+1)2 顶点坐标是 (-1,0), 对称轴是直线x=-1； (2) 对于同一个y值，这三个函数对应的x值之间有什么关系？这三个函数的图像在位置上有什么关系？ 对于同一个y值， y=(x-1)2 所对应的x值 比 y=x2 所对应的x值 y=(x+1)2 所对应的x值 小1. 比 y=x2 所对应的x值 y=x2 y=(x-1)2 1个单位 向右平移 向左平移 1个单位 y=(x+1)2 大1. y=x2 y=(x-1)2 1个单位 向右平移 向左平移 1个单位 y=(x+1)2 顶点 (0,0) 1个单位 向右平移 顶点 (1,0) 向左平移 1个单位 顶点 (-1,0) 对称轴：y轴 即 直线x=0 1个单位 向右平移 向左平移 1个单位 直线x=-1 (3) 当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？ 观察 y=x2、y=(x-1)2和 y=(x+1)2 三个函数的图像，回答下列问题. 当 x=0 时， 函数 y=x2 的最小值是0； 当 x=1 时， 函数 y=(x-1)2 的最小值是0； 当 x=-1 时， 函数 y=(x+1)2 的最小值是0； 【归纳】 只是 . 形状 开口大小 开口方向 位置不同 由图像可知，抛物线y=ax2+k与y=ax2的 、 和 相同， 当h>0时，向 平移； 抛物线y=a(x+h)2 可由抛物线y=ax2 沿 轴方向 平移 个单位得到， 向 平移. 当h 时， x 左 <0 右 抛物线y=a(x+h)2， 方法规律： 左右平移时， x左加右减. 平移时 a 不变 y=a(x+h)2 图像 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 a>0 a<0 h>0 h<0 h>0 h<0 y x o y x o y x o y x o 开口向上 开口向下 越大， 抛物线开口越小； 越小， 抛物线开口越大. (-h,0) 最低点 (-h,0) 最高点 直线 x=-h 即x>-h时， y随x的增大而减小； 即x>-h时， 即x<-h时， y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧， y随x的增大而增大； 在对称轴的左侧， 即x<-h时， y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧， 当 x=-h 时， y最小值=0 当x=-h时， y最大值=0 (-h,0) (-h,0) (-h,0) (-h,0) 在对称轴的左侧， 归纳新知 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 y=- x2 1 3 y=- (x+2)2 1 3 y=- (x-2)2 1 3 抛物线 的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ， 例1、观察第1题所画的图像，并填空： y=- (x+2)2 1 3 当 时，函数值y随x值的增大而增大；当 时，函数值随x值的增大而减小. 开口向上 (-2,0) 直线x=-2 x<-2 x>-2 抛物线 可由抛物线 向 平移 个单位得到. y=- (x+2)2 1 3 y=- x2 1 3 左 2 典例精析 例2、当a>0时，抛物线 y=a(x+h)2 的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 当x=_____时，函数y=a(x+h)2取得最 值= . 当a<0时，抛物线 y=a(x+h)2 的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 当x= 时，函数y=a(x+h)2取得最 值= . 开口向上 (-h,0) 直线x=-h -h 小 0 开口向下 (-h,0) 直线x=-h -h 大 0 知识点1　二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质 1.(2025·合肥包河区期中)二次函数y＝－2(x＋1)2的图象的顶点坐标是(　　) A.(0，－1) B.(0，1) C.(－1，0) D.(1，0) C 随堂练习 2.下列二次函数中，其图象的对称轴为直线 x＝2的是(　　) A.y＝2x2－2 B.y＝－2x2－2 C.y＝2(x－2)2 D.y＝(x＋2)2 C 3.二次函数y＝a(x－1)2的图象可能是(　　) D 4.对于二次函数y＝5(x＋3)2的图象，下列说法不正确的是(　 ) A.开口向上 B.对称轴是直线x＝－3 C.顶点坐标为(－3，0) D.当x＜－3时，函数y随x的增大而增大 D 5.已知二次函数y＝－(x＋1)2图象上的两个点(x1，y1)，(x2，y2)，且x1＞x2＞－1，则y1，y2的大小关系是______.(用“＜”连接) y1＜y2 6.(教材P16练习T5变式)已知抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴为直线 x＝－2，且与抛物线y＝－5x2的形状和开口方向相同. (1)求该抛物线对应的函数表达式； 解：∵直线x＝－2是抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴，∴h＝2. ∵抛物线y＝a(x＋h)2与抛物线y＝－5x2的形状和开口方向相同， ∴a＝－5， ∴该抛物线对应的函数表达式为y＝－5(x＋2)2. 6.(教材P16练习T5变式)已知抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴为直线x＝－2，且与抛物线y＝－5x2的形状和开口方向相同. (2)当x为何值时，函数y随x的增大而增大？ 解：∵抛物线y＝－5(x＋2)2的开口向下， 对称轴为直线x＝－2， ∴当x＜－2时，函数y随x的增大而增大. 7.如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得到的抛物线对应的函数表达式为(　　) A.y＝x2＋1 B.y＝x2－1 C.y＝(x＋1)2 D.y＝(x－1)2 [变式] 第7题中，抛物线y＝x2不动，y轴向右平移1个单位，则抛物线在新坐标系中对应的函数表达式为___________. D y＝(x＋1)2 8.(教材P16练习T4变式)将抛物线y＝－4(x－3)2平移可得到抛物线y＝－4x2，则下列平移方法正确的是(　　) A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位 C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位 C 9.将抛物线y＝x2向右平移m个单位后，得到的抛物线对应的函数表达式为___________(用含有m的式子表示)，若平移后的抛物线经过点(3，1)，则m的值为______. y＝(x－m)2 2或4 10.【数形结合思想】已知抛物线y＝a(x＋h)2可由抛物线y＝－2x2通过平移得到，且对称轴为直线x＝－3. (1)求该抛物线对应的函数表达式； 解：∵抛物线y＝a(x＋h)2可由抛物线y＝－2x2通过平移得到， ∴a＝－2. ∵抛物线的对称轴为直线x＝－3，∴h＝3， ∴该抛物线对应的函数表达式为y＝－2(x＋3)2. 10.【数形结合思想】已知抛物线y＝a(x＋h)2可由抛物线y＝－2x2通过平移得到，且对称轴为直线x＝－3. (2)若该抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，求△AOB的面积. 解：由(1)，得y＝－2(x＋3)2， ∴抛物线顶点A的坐标为(－3，0). 当x＝0时，y＝－2×(0＋3)2＝－18， ∴△AOB的面积为×｜－3｜×｜－18｜＝27. 11.若A(－4，a)，B(－2，b)，C(1，c)为二次函数y＝3(x＋1)2的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.a＜c＜b C 12.若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋2)2上的是(　　) A.(m，n＋2) B.(m＋2，n) C.(m，n－2) D.(m－2，n) D 13.(易错)已知二次函数y＝2(x－h)2，当x＞3时，函数y随x的增大而增大，则h的取值范围是______. h≤3 14.已知二次函数y＝a(x＋h)2的图象经过点(1，h)和点(－3，h). (1)求这个二次函数的表达式； 解：由题意，得抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，∴h＝1. 将(1，1)代入y＝a(x＋1)2，得4a＝1，解得a＝， ∴这个二次函数的表达式为y＝(x＋1)2. 14.已知二次函数y＝a(x＋h)2的图象经过点(1，h)和点(－3，h). (2)将二次函数y＝a(x＋h)2的图象沿x轴平移，怎样平移才能使平移后的抛物线的顶点在直线y＝x－3上？ 解：∵平移前的抛物线的顶点坐标为(－1，0)， ∴沿x轴平移后的顶点的纵坐标为0. ∵平移后的抛物线的顶点在直线y＝x－3上， ∴当y＝0时，x＝3， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3，0). ∵3－(－1)＝4， ∴要将二次函数y＝(x＋1)2的图象沿x轴向右平移4个单位. 15.已知二次函数y＝－(x－h)2(h是常数)，且自变量x的取值范围是2≤x≤5. (1)当h＝3时，函数的最大值是____； 解：∵h＝3， ∴这个二次函数的表达式为y＝－(x－3)2. ∵2≤x≤5， ∴当x＝3时，函数有最大值，最大值为0. 故答案为0. 0 15.已知二次函数y＝－(x－h)2(h是常数)，且自变量x的取值范围是2≤x≤5. (2)若函数的最大值为－1，求h的值. 解：∵二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)的自变量x的取值范围是2≤x≤5，且函数的最大值为－1， ∴若h≥5，则当x＝5时，函数有最大值， 即－(5－h)2＝－1，解得h1＝4(舍去)，h2＝6； 若h≤2，则当x＝2时，函数有最大值， 即－(2－h)2＝－1，解得h3＝1，h4＝3(舍去)； 若2＜h＜5，则函数的最大值为0，与题意不符. 综上所述，h的值是6或1. $$