第三章 函数的概念与性质 讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 【目录】 3.1 函数的概念 2 考点一 函数的判断 2 考点二 定义域 6 考点三 相等函数的判断 8 考点四 解析式 10 考点五 函数值 14 考点六 分段函数 16 微专题 函数的图象 20 考点一 平移变换 21 考点二 绝对值在解析式上 23 考点三 绝对值在自变量上 24 考点四 部分含绝对值 27 3.2.1 函数的性质—单调性 31 考点一 定义法判断单调性（单调区间） 32 考点二 图象法判断单调性（单调区间） 33 考点三 复合函数求单调性（单调区间） 35 考点四 利用单调性求参数 40 考点五 利用单调性解不等式 48 考点六 利用单调性比较大小 49 3.2.2 函数的性质—奇偶性 50 考点一 奇偶性的判断 51 考点二 利用奇偶性求解析式 57 考点三 利用奇偶性求参数值 59 考点四 对称性的运用 61 考点五 单调性与奇偶性的综合运用 63 3.3 幂函数 72 考点一 幂函数的判断 74 考点二 幂函数的三要素 75 考点三 幂函数的性质 76 考点四 幂函数的图像 81 微专题 函数的值域与最值 84 方法一 单调性法 84 方法二 图像法 86 方法三 换元法之根式换元 89 方法四 分式型函数之分离常数法 91 方法五 分式型函数之换元法 93 方法六 判别式法 96 3.1 函数的概念 【基础内容与方法】 1．函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应关系，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． （3）函数表示法：函数书写方式为，． （4）函数三要素：定义域、值域、对应关系． （5）相等函数：两个函数只有在定义域和对应关系都相同时，两个函数才相等． 2．基本初等函数的定义域限制 （1）分式中的分母不为0； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0； （3）零指数幂的底数不为0； 注：定义域需用区间或集合的形式写出． 3．基本初等函数的值域 （1）一次函数的值域是R． （2）二次函数的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）反比例函数的值域是． 考点一 函数的判断 【例1】 1.下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义. 故选：C． 2．（多选）下列对应关系是从到的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】映射的判断、函数关系的判断 【分析】根据函数定义进行判断即可． 【详解】根据函数定义，集合中的每一个元素，对应集合中唯一元素． 对于A，符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确； 对于B，A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误； 对于C，A中元素时，B中没有元素与之对应，不是函数，故C错误； 对于D，A中任意元素，在对应关系下，都在集合B中，是从A到B的函数，故D正确； 故选：AD． 【跟踪演练】 1．如图所示，表示函数图像的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项B的图象满足这一点．故选：B． 2．下列各图中能作为函数图像的是（ ）． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【解析】对①②，对于定义域内的任意一个，都有唯一的值与对应，则①②正确； 对③，在内，此时一个有两个值与对应，则③错误； 对④，在内，此时一个有两个值与对应，则④错误； 故选：A 3．判断下列对应是否为函数： （1）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}； （2）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}； （3）x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R. 【答案】（1）不是；（2）是；（3）是 【解析】（1）根据函数概念知，当时，在没有值与对应，所以不是函数； （2）根据函数概念，当时，，所以对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数； （3）根据函数概念，对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数； 考点二 定义域 角度1.具体函数的定义域 【例2-1】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得x≥且x≠2． ∴函数的定义域为．故选：C． 【跟踪演练】 1．函数的定义域是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：，且，得到，且，故选：D 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，可得 ， 所以函数的定义域为 .故选A. 角度2.抽象函数的定义域 【例2-2】已知的定义域为， （1）求的定义域； （2）求的定义域 【答案】（1）（3，5）；（2）. 【解析】（1）的定义域为，，则，即的定义域为； （2）的定义域为；由得，即的定义域为． 抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点： （1）函数的定义域指的是自变量的取值范围； （2）同一对应法则下（ ）内的范围必须一致. 【跟踪演练】 1.设的定义域为，则函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】∵函数的定义域为， ∴函数满足， 解不等式，得，即函数的定义域是，故选A 2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为. 故选：C. 考点三 相等函数的判断 【例3】下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A:， ，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数； 对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数; 对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数; 对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数. 故选A. 判断依据：定义域与对应法则一致. 【跟踪演练】 1．下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号). （1）y＝x－1和y＝； （2）y＝x0和y＝1； （3）f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2； （4）f(x)＝和g(x)＝. 【答案】（4） 【解析】（1）的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数； （2）的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数； （3）两个函数的对应关系不同，故不是同一个函数； （4）因为两个函数的定义域均为，且，故两函数是同一个函数. 故答案为：（4） 2．下列函数；；；与函数是同一函数的是________. 【答案】 【解析】定义域是，所以与函数不是同一函数； 定义域是，所以与函数不是同一函数； ，所以与函数是同一函数； ，所以与函数不是同一函数. 故答案为： 3.下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可. 【详解】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意； B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意； C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意； D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意. 故选：A 考点四 解析式 方法一 待定系数法 【例4-1】（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）或；（2）． 【解析】（1）设，则， 又，所以，，解得或， 因此，或； （2），则， ，即， 即，所以，解得. 因此，. 方法二 换元法 【例4-2】 1.已知，则的解析式为_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 2.已知，求的解析式； 【答案】； 【解析】由题意得：定义域为 设，则 方法三 配方法 【例4-3】 若函数，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知函数值求自变量或参数、已知f（g（x））求解析式 【分析】令，配凑可得，再根据求解即可 【详解】令（或），，，即 方法四 解方程组法 【例4-4】 已知，求的解析式． 【答案】 【解析】由…①得：…② ①②联立消去得： 【总结】 1. 已知函数解析式的类型时，可用待定系数法求其函数解析式； 2. 已知复合函数的表达式时，可用换元法； 3. 当出现换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； 4. 若已知成对出现类型的抽象函数表达式时，则常用解方程组法构造另一个方程，再利用消元法求出. 【跟踪演练】 1.（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【答案】（1）或；（2）；（3） 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）设，可用待定系数法求解析式； （2）令，用换元法求解析式； （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【详解】（1）设， 则. ，解得，或， 或. （2）令，则， ， 即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得，解得. 2.已知函数为二次函数，，，，； (1)求函数的解析式； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求二次函数的解析式 【分析】（1）根据二次函数的性质，由可得的对称轴为，进而待定系数求解即可； （2）由题对恒成立，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）设 因为，， 所以的对称轴为， 因为，， 所以，解得， 所以 （2） 对恒成立 对恒成立 ，当且仅当时取等号， ∴， ， 所求实数k的取值范围为. 考点五 函数值 【例5】若函数，那么（ ） A．1 B．3 C．15 D．30 【答案】C 【解析】由于，当时，，故选C. 【跟踪演练】 1．已知，则（ ） A．15 B．21 C．3 D．0 【答案】D 【解析】根据的解析式，有.故选：D 2．若函数，则______________． 【答案】-1 【解析】当时,故. 故答案为： 3.已知函数，且，则（    ） A．3 B． C．17 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知函数值求自变量或参数 【分析】代入即可求解. 【详解】在中取可得，所以， 故选：A 4．已知，则_________． 【答案】 【解析】，， 所以 故答案为： 考点六 分段函数 角度1.求函数值 【例6-1】 已知函数，则的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得,,,,所以,故选：A. 【跟踪演练】 已知函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求函数值 【分析】根据函数的解析式，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数 ，可得，则. 故选：A. 角度2.求参数值 【例6-2】 已知函数y＝，则使函数值为的的值是（ ） A．或 B．或 C． D．或或 【答案】C 【解析】当时，令，得，解得； 当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去. 综上所述，.故选：C. 【跟踪演练】 已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求m的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)． 【难度】0.85 【知识点】解分段函数不等式、已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（1）将分别代入求解即可； （2）分、分别求解即可； （3）分、分别求解即可. 【详解】（1）解：因为函数， 所以，，； （2）解：当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得． 所以m的值为或； （3）解：当时，，解得，即； 当时，，解得． 所以n的取值范围为. 角度3.分段函数图象 【例6-3】 已知函数的解析式.画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）. 【答案】图象见解析， 【详解】画出函数的图象如图所示：      由图可知，的最大值为，函数的值域为. 【跟踪演练】 1.已如函数 (1)若，求实数的值； (2)作出函数在区间内的图像． 【答案】(1)2或0(2)图象见解析 【难度】0.85 【详解】（1）当时，，解得，满足要求， 当时，,解得或（舍） 综上可得或0 （2）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 2.已知函数 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】解分段函数不等式、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】（1）由分段函数，分别和解即可. （2）由分段函数，分别和解即可. 【详解】（1）当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得. 所以的值为或 （2）当时，，不符合题意， ，且， 解得. 所以的取值集合是. 微专题 函数的图象 【基础内容与方法】 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线．　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．函数图象的变换 (1)平移变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数,无关，上加下减指的是在fx整体上加减. (2)对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； (3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象． ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． (4)翻折变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． 考点一 平移变换 【例1】平移变换 用平移图像的方式作出的图像，并说明函数的值域． 【答案】作图见解析，值域为 【难度】0.85 【知识点】画出具体函数图象、函数图象的应用、函数图象的变换 【分析】由解析式分析出的图像是由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，再根据图像即可得出值域． 【详解】首先作出的图像， 向右平移1个单位得到的图像， 向上平移2个单位得到的图像，    从图像可以看出的值域为． 【跟踪演练】 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图象的变换、函数 【分析】先将目标函数分离常数，再根据函数图像的平移变换即可得解． 【详解】函数， 为了得到函数的图像， 只需将函数的图像，向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 故选：． 考点二 绝对值在解析式上 【例2】探究函数的图象与性质. (1)下表是y与x的几组对应值. … … … … 其中m的值为_______________； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：___________； 【答案】(1)3；(2)见解析；(3)图象关于直线x=1轴对称.（答案不唯一）；(4)t＞1或t=0. 【解析】（1）把x=3代入解析式计算即可得出m的值；（2）画出图象即可；（3）根据图象得出性质；（4）观察图象即可得出结论． 解：（1）当x=3时，y==3，∴m=3； （2）如图所示： （3）图象关于直线x=1轴对称．（答案不唯一） 【跟踪演练】 已知函数，，则的最小值是 ，最大值是 . 【答案】 0 5 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、画出具体函数图象 【分析】画出函数的图象，根据图象判断函数的最值. 【详解】首先画出函数的图象，根据图象可知当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值. 故答案为：； 考点三 绝对值在自变量上 【例3】某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣ m 2 1 2 1 ﹣ ﹣2 … 其中，m＝　 　． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． 【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小 【解析】（1）根据对称可得m=1； （2）画出图形； （3）①写函数的最大值和最小值问题； ②确定一个范围写增减性问题； 解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1， 故答案为：1； （2）如图所示； （3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值； ②当x＞1时，y随x的增大而减小； 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，结合图像作答是解题的关键． 【跟踪演练】 写出函数在什么范围内，随的增大而增大， 随的增大而减小？ 【答案】的单调递增区间是和，单调递减区间是和 【解析】由题意转化条件为，作出函数图象，数形结合即可得解. 由题意，其图象如图所示： 由该函数的图象可得函数的单调递增区间是和，单调递减区间是和. 【点睛】本题考查了分段函数单调区间的确定，考查了二次函数图象与性质及数形结合思想的应用，属于基础题. 考点四 部分含绝对值 【例4】 1.已知函数.将函数写出分段函数的形式，并画出图象. 【答案】，图象答案见解析 【难度】0.85 【详解】当时， 当时， 综上. 其函数图象如图所示： 2.已知函数的图象经过点（，）和（，），完成下面问题： （1）求函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】[来源:Z*xx*k.Com] （1）根据题意，得 解方程组，得 所求函数表达式为． （2）列表如下： x -4 -2 0 1 4 1 描点并连线,函数的图象如图所示， 【跟踪演练】 1.已知函数f（x）=|x﹣1|+1 （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）在上边所给的坐标系中画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域(不要求证明). 【答案】（1）；（2）答案见详解；（3）值域为. 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的值域或最值 【分析】（1）分类讨论去绝对值，即得结果； （2）根据分段函数解析式作图即可； （3）看图写值域即可. 【详解】解：（1）当时，f（x）=|x﹣1|+1，当时，f（x）=|x﹣1|+1，； （2）由（1）中解析式，作图如下： （3）由（2）中f（x）图像可知，值域为. 【点睛】本题考查了分段函数的解析式、图像和值域，属于基础题. 2.已知函数． （1）求作函数的图像； （2）并指出在各个区间上是增函数还是减函数？（不必证明） 【答案】（1）见解析；（2）在上单调递增，在上单调递减. 【难度】0.85 【知识点】图象法表示函数、画出具体函数图象、分段函数的单调性 【解析】（1）由已知得，可作出函数的图像； （2）由图象可得出函数的单调性； 【详解】（1）因为，所以作出函数的图像如下图所示： （2）由图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减. 【点睛】本题考查做分段函数的图象和由图象得出函数的单调性，属于基础题. 3.2.1 函数的性质—单调性 【基础内容与方法】 1．单调性的概念： 一般地，设函数的定义域为， 如果对于定义域内某个区间上 两个自变量的值， （1）当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数， 区间叫做____________； （2）当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数， 区间叫做_____________． 2 . 单调区间的定义：若函数在区间上是增函数或者减函数，则称函数 在这个区间是单调的，区间叫做的单调区间. 3．注意事项： （1）单调性是研究函数某个______上的性质，是________性质（填局部/整体） （2）如果一个函数有多个单调区间，不能写成_________形式． （3）定义中的有以下几个特征：一是任意性，“任意”二字不能去掉；二是有大小，通常令；三是属于同一区间. （4）已知单调求参数范围时，先要使得函数本身有意义. 4.等价定义： ①，若，则在区间上是增函数； ，若，则在区间上是减函数． ②，且，若，则在区间上是增函数； ，且，若，则在区间上是减函数． 5.基本初等函数的单调性 （1）正比例函数 当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数在定义域上是减函数． （2）一次函数 当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数在定义域上是减函数． （3）反比例函数： 当时，函数的单调递减区间是，，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． （4）二次函数： 当，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 当，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 考点一 定义法判断单调性（单调区间） 【例1】求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数. 【答案】证明见详解. 【解析】证明：在区间上任取， 则 因为，故可得；又因为，故可得. 故，即.故在区间上单调递增. 【总结】 （1）取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； （3）定号：判断差的正负或商与的大小关系； （4）得出结论． 【跟踪演练】 已知,用定义证明在区间上是增函数. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【详解】任取，，且， 则， ，，， ，即， 故函数在区间上是增函数． 考点二 图象法判断单调性（单调区间） 【例2】 1.下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2 【答案】B 【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B. 2.求下列函数的单调区间． （1）f（x）＝3|x|； （2）f（x）＝|x2＋2x－3|． 【答案】（1）减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)； （2）增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1，1]． 【解析】（1）由题意，函数，图象如图所示， 所以函数f（x）的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)． （2）令， 作出的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方， 即可得到函数的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]． 3.函数的单调递增区间为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案. 【详解】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 【总结】 1.图象法即画出对应函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． 2.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接 【跟踪演练】 1．（多选）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】根据图像判断函数单调性、复合函数的单调性 【分析】A. 由复合函数单调性原理判断；B.函数在上是先减后增；C. 时，是增函数；D.在上是减函数. 【详解】解：A. 由复合函数单调性原理得在上为增函数,符合题意； B. 的图象对称轴为，所以函数在上是先减后增，所以该选项不符合题意； C. 时，是增函数，所以该选项符合题意； D. 在上是减函数，所以该选项不符合题意. 故选：AC 2.求函数的单调区间. 【答案】增区间:，减区间:， 考点三 复合函数求单调性（单调区间） 【方法原理】 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性． 一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： 1．将复合函数分解成基本初等函数：，； 2．分别确定各个函数的定义域； 3．分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 注意：内外层函数的定义域. 【例3】 1.（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（     ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】复合函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确； 因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断， 所以在上的单调性无法判断，故C错误； 因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误. 故选：AB. 2.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复合函数的单调性、与二次函数相关的复合函数问题、求函数的单调区间 【分析】先求定义域即.令是二次函数,根据二次函数图像即可求得其单调区间,根据复合函数同增异减,即可求得单调递增区间. 【详解】， 即， 得， 定义域为， 又单调递增区间为， 函数的单调递增区间 故选：C. 【点睛】对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性.求单调区间时,要先求函数定义域,单调区间是定义域的子集. 3.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 4.函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复合函数的单调性 【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性即可确定的单调性. 【详解】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为. 由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是. 故答案为：. 【总结】 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 【跟踪演练】 1．（多选）下列函数中满足在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数图像，复合函数同增异减即可判断. 【详解】对于A，反比例函数在上单调递增，错误； 对于B，由于为减函数，在上单调递减，，正确； 对于C，另，则，在为增函数，在为减函数，复合函数同增异减，所以在上单调递减，正确； 对于D，，所以在上单调递增，错误. 故选：BC. 2.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】由复合函数的单调性求解， 【详解】由得或，即的定义域为， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性得，的单调递减区间为， 故选：B 3.函数的单调递增区间为 ． 【答案】和 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再根据复数函数的单调性“同增异减”，即可得到答案 【详解】要使有意义，则，解得且 设，且 则在和单调递减，在和单调递增， 所以的单调增区间为和， 故答案为：和 4.已知函数在R上单调递减，则的单调递增区间为 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，在定义域内找到函数内层函数的递减区间即为答案． 【详解】令所以函数的定义域为 根据复合函数的单调性：同增异减,要找的单调递增区间，即找函数的单调递减区间为, 故选C 【点睛】本题考查复合函数的单调性：同增异减．需要注意的是定义域优先原则．属于基础题． 考点四 利用单调性求参数 角度1.一次函数与反比例 【例4-1】 函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，故选B． 【跟踪演练】 “”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数的单调性求参数值 【分析】由函数单调性可求得，再根据不等式范围大小可判断出结论. 【详解】因为在上是增函数，可得，即， 显然“”能推出“”，反之则不成立， 所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件. 故选：A. 角度2.二次函数 【例4-2】 1．已知 在区间 上是增函数，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5的图象是开口方向朝上，以x＝2﹣a为对称轴的抛物线， 若函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5在区间[4，+∞）上是增函数，则2﹣a≤4，解得a≥﹣2．故选：B． 2.已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 【跟踪演练】 若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，开口向下，对称轴为x=a若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：a<=1；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当a>0时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故a的取值范围是(0,1] 角度3.复合函数 【例4-3】 若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】要考虑函数有意义，即根号下的式子恒大于等于0.然后根据复合函数单调性的判断方法来确定实数的取值范围. 【详解】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增. 且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为. 所以在上单调递增. 要使有意义，则在上恒成立. 当时，，因为，所以，满足，所以符合题意. 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为. 那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意. 综合以上三种情况，实数的取值范围是. 故选:C. 【跟踪演练】 1.“函数在上单调递减”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】充分条件的判定及性质、求函数的单调区间、根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性 【分析】利用幂函数及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】先判定充分性，若在上单调递减， 由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性； 再判定必要性，可举反例，若，则单调递减， 此时的定义域为， 此时在上单调递减，不满足必要性， 综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件. 故选：B 2.已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、根据函数的单调性求参数值、判断二次函数的单调性和求解单调区间、复合函数的单调性 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 3．若函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复合函数的单调性 【分析】由对称轴，且当时，恒成立，可求的取值范围. 【详解】由题可得函数在上单调递减，所以对称轴， 又当时，恒成立，所以，解得. 综上：. 故答案为： 角度4.分段函数 【例4-4】 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、根据分段函数的单调性求参数、分段函数的单调性 【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围. 【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A. 【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键. 【跟踪演练】 1．若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A. 2.函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 3.函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据题意，得到在定义域上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数 因为函数任意且，都有， 所以函数在定义域上为单调递减函数， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 考点五 利用单调性解不等式 【例5】已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】由已知有，即可求取值范围. 【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足， 所以，解得. 故选：D 【跟踪演练】 1.已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果. 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 2.定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 【答案】 减 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【详解】因为函数满足，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由，得或解得． 考点六 利用单调性比较大小 【例6】 已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【跟踪演练】 1.函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 2.已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】比较函数值的大小关系 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 3.2.2 函数的性质—奇偶性 【基础内容与方法】 1.函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 2.判断与的关系时，也可以使用如下结论:如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 3.注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 考点一 奇偶性的判断 方法一 定义法 【例1-1】判断下列函数的奇偶性． （1）f(x)＝2x＋；　　　　　　（2）f(x)＝2－|x|； （3）f(x)＝＋； （4）f(x)＝. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数. 【解析】（1）函数的定义域为，由， 所以函数为奇函数 （2）函数的定义域为由所以函数为偶函数 （3）由，所以函数的定义域为 又，所以函数既是奇函数又是偶函数 （4）由，所以函数的定义域为 因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数. 首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f(x)与f(－x)之间的关系 【跟踪演练】 1.判断下列函数的奇偶性: (1);(2);(3);(4). 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数. 【解析】(1)函数的定义域为{且},定义域不关于原点对称, ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数. (2) 的定义域是. 当时,显然,. ,是奇函数. (3)的定义域为R. ,,. 不是偶函数.又,不是奇函数. 既不是奇函数也不是偶函数. (4) 的定义域为R. , 是偶函数. 2．判断下列函数的奇偶性： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数 【解析】（1）由得，∴函数的定义域为， 不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数． （2）由得，即． ∴函数的定义域是，关于原点对称． 又，∴既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵， ∴是偶函数． 方法二 图像法 【例1-2】 1.判断函数的奇偶性 答案：奇函数 2.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 【跟踪演练】 1.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性、函数图象的变换 【分析】首先推导出，即函数的对称中心为，再根据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可判断. 【详解】因为定义域为， 则，所以函数的对称中心为， 所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数， 该函数的对称中心为，故函数为奇函数. 故选：A. 2.函数的图像关于（    ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】判断函数的奇偶性，即可得解. 【详解】因为定义域为， 且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称. 故选：C 方法三 简单口诀 【例1-3】 函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可. 【详解】令，则,且， 既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误； 令，则,且， 是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误； 故选：C 【总结】函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （2）函数，在它们的公共定义域上有下面的结论： （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇， 为偶函数． 【跟踪演练】 1.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性 【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可. 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误； 故选：C. 2.下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 故选：. 考点二 利用奇偶性求解析式 【例2】 1.已知是上的奇函数，且当时，，则当时，______． 2.已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______． 【答案】（1）（2）f（x）＝x2+2x 【解析】由题意，设，则，则， 因为函数为上的奇函数，则，得， 即当时，. （2）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝x2+2x，又f（x）是偶函数，∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x．故答案为：f（x）＝x2+2x． 【跟踪演练】 1．已知偶函数在时的解析式为，则时，的解式为_______. 【答案】 【解析】当时，，则. 函数为偶函数，此时.故答案为：. 2.已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据函数的奇偶性，求函数解析式． 【详解】函数对一切实数都满足， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以 所以. 故答案为：． 3.如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】运用奇函数定义求解即可. 【详解】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 考点三 利用奇偶性求参数值 【例3】 1.函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________. 2.若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为________. 3.若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（　　） A．1 B．0 C．－1 D．±1 【答案】（1）1（2）1或（3）B 【解析】（1）由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1. （2）：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）， 即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1， 即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a， （3）由题意，函数是定义域R上的奇函数， 根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B. 【跟踪演练】 1．如果定义在区间上的函数为奇函数，则________. 【答案】8 【解析】因为为奇函数由奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点中心对称 即解得 2.若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案. 【详解】由函数为奇函数，可得， 所以， 所以，化简得恒成立， 所以，即, 经验证，定义域关于原点对称，且满足，故； 故选:A． 3.已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由进行求解． 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即， 即， 两边平方，化简可得． 要使上式恒成立，则，即． 故答案为： 4.已知函数是奇函数，且，则 . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由奇偶性求参数 【分析】根据求出，再根据求出即可求出. 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数， 故， 故答案为： 考点四 对称性的运用 【例4】已知函数，且，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、奇偶函数对称性的应用 【分析】依题意可得，令，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质代入计算可得. 【详解】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 【跟踪演练】 1.已知，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】可设，易知是上的奇函数，则，进而可求解；也可利用与列方程组求解. 【详解】方法一：令， 易知是上的奇函数，从而， 又，∴，∴， ∴， ∴． 方法二：由已知条件，得 ①+②得． 又，∴． 故选：A 2.已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】构造，确定函数为奇函数，得到，计算得到答案. 【详解】，设，函数定义域为， ，函数为奇函数，， ，，故. 故选：B. 考点五 单调性与奇偶性的综合运用 考法一 大小比较 【例5-1】若偶函数在上单调递增，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】由偶函数有，结合区间单调性即可得答案. 【详解】由偶函数知：，又在上单调递增且， 所以，即. 故选：D 2.已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【详解】由已知得函数的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．又，所以． 因为，所以． 故，即． 故选：D 【跟踪演练】设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数性质将负值的函数值转化为正值的函数值，再利用在上的单调性即得. 【详解】因是偶函数，故， 又因当时，是增函数，由可得：， 即. 故选：A. 2.已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较函数值的大小关系、函数对称性的应用 【分析】根据题意能得到函数关于直线轴对称，且在上单调递增，然后根据离对称轴的远近比较大小. 【详解】由，时，得函数在上单调递减， 由得函数关于直线轴对称， 所以函数在上单调递增. 又因为（最远离），（最靠近）， 所以. 故选：A 考法二 解不等式 【例4-2】 1.已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】运用奇函数性质可得及单调性性质求解即可. 【详解】因为是定义在的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以， 所以，解得， 故t的范围为. 故选：D. 变式1.已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】分析可知为奇函数，且在内单调递增，根据函数单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为的定义域为，且， 可知函数为奇函数， 当，则， 且的开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增， 由奇函数性质可知在内单调递增， 所以在内单调递增， 若，则， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 2.奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】由奇偶性，单调性结合题意可得答案. 【详解】因奇函数在上单调递增， 则在上单调递增，. 得；. 则或. 故选：C 变式1.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ） A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3] 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据奇函数的性质，并根据函数的单调性求解即可. 【详解】由函数为奇函数，得， 不等式即为， 又在单调递减，∴得，即﹒ 故选：D． 变式2.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 3.已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定函数的单调性，再结合偶函数的性质求解不等式. 【详解】由，都有成立，得函数在上单调递增， 又函数是上的偶函数，则， 因此，解，得或， 解，得，于是， 所以实数m的取值范围为. 故选：B 变式1.已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】由知，在上单调递增，结合偶函数，知其在在上单调递减即可解. 【详解】对，满足， 等价于函数在上单调递增， 又因为函数关于直线对称，所以函数在上单调递减. 则可化为， 解得. 故选：B. 4.若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】先根据函数为偶函数，不等式变形为，由函数在上单调递减，且， 求出在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，且，因为在上单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 当时，则，故， 当时，则，故， 综上：的解集为. 故选：B 变式1.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】确定函数的单调性，考虑和两种情况，将问题转化为或，再根据函数值结合函数单调性得到答案. 【详解】函数是定义在实数集上的偶函数，在区间上是严格减函数， 故函数在上单调递增，且， 当时，由，即，得到或（舍弃），所以， 当时，由，即，得到，所以， 综上所述，或， 故选：B. 变式2.定义在R上的偶函数满足：对任意的，（），都有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据奇偶性和单调性作出函数草图，借助图形分段讨论可得. 【详解】因为函数满足对任意的，（），都有， 所以在上单调递减， 又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增， 又，所以，作函数的草图如图， 所以，当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当或或时，. 综上，不等式的解集为. 故选：C．    3.3 幂函数 【基础内容与方法】 1.幂函数的定义 一般地，R）(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数． 2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量；③指数为常数． 3.幂函数的图象和性质 常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在R上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在R上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 （1）幂函数的形式是R），其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式． （2）在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴． （3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． （4）认识幂函数的图象重点在于掌握其特征．对于R），当时，在第一象限内为双曲线的一支；当时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向右；当时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向上． （5）在判断幂函数的单调性和奇偶性时，可根据相应幂函数的图象进行分析． （6）幂函数R）在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出 考点一 幂函数的判断 【例1】在函数，，，中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以是幂函数； 由于出现系数2，因此不是幂函数； 是两项和的形式，不是幂函数； （），可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B. 【跟踪演练 】 1．下列函数中哪个是幂函数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】幂函数是，，显然，是幂函数. ，，都不满足幂函数的定义，所以A正确．故选：A． 2．下列函数是幂函数的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】形如的函数称为幂函数，据此只有才符合幂函数的定义，故选择D. 考点二 幂函数的三要素 【例2】 1.已知幂函数的图象过点，则______. 【答案】1.5 【解析】因为函数是幂函数，所以，又因为幂函数的图象过点，所以，所以所以，故答案为：1.5 2.（1）函数的定义域是_____，值域是_____； （2）函数的定义域是____，值域是_____； （3）函数的定义域是______，值域是_____； （4）函数的定义域是_____，值域是______. 【答案】R 【解析】（1）的定义域是，值域是； （2）的定义域是，值域是； （3）的定义域是，值域是； （4）的定义域是，值域是； 故答案为：；；；；；；；． 先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项 【跟踪演练】 1.若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________. 【答案】 【解析】设幂函数的解析式为，由于函数图象过点，故有，解得， 所以该函数的解析式是，故答案为：. 2.已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】4 【解析】由题意令，由于图象过点，得， 故答案为：4． 3.若点，均在幂函数的图象上，则实数_____． 【答案】9 【解析】设幂函数为，将代入得，所以， 令，求得. 4.讨论下列函数的定义域、值域. （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）定义域为R，值域为；（2）定义域为，值域为；（3）定义域为，值域为；（4）定义域为R，值域为. 【解析】（1）函数的定义域为R，值域为. （2）因为，所以函数的定义域为，值域为. （3）因为，所以，且，所以函数的定义域为，值域为. （4）因为，所以函数的定义域为R，值域为. 考点三 幂函数的性质 角度1.单调性 【例3-1】已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．2或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再讨论函数是否在上是减函数． 【详解】解：幂函数中， 令，得， 解得或； 当时，，函数，在上是减函数，满足题意； 当时，，函数，在上是增函数，不满足题意； 所以实数． 故选：A． 【跟踪演练】 1.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 2.已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据幂函数的定义与单调性得的值，从而可得不等式为，设函数，结合幂函数的性质列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】由函数为幂函数得，解得或，又 函数在上是减函数，则，即， 所以，所以； 所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 角度2.奇偶性 【例3-2】 1.设，则使函数的定义域为，且为偶函数的所有的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，定义域为，且为奇函数，不符合题意. 函数，定义域为，且为偶函数，符合题意. 函数，定义域为，且为偶函数，符合题意. 函数，定义域为，且为奇函数，不符合题意.故选：D 2.设，则使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】当时，定义域为，不满足题意 当时，定义域为，不满足题意 当时，定义域为，不满足题意 当时，定义域为，且为奇函数，满足题意 当时，定义域为，是偶函数，不满足题意 当时，定义域为，且为奇函数，满足题意 所以，使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为2 故选：B 3.已知幂函数的图象关于原点对称，则实数m的值是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、由奇偶性求参数 【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于原点对称求得的值. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象关于轴对称，不符合题意. 当时，，图象关于原点对称，符合题意. 所以的值为. 故答案为： 【跟踪演练】 1.已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 【答案】 答案不唯一 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据常见幂函数的性质即可求解. 【详解】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ， 又因为 为偶函数， 所以 适合题意． 故答案为: 答案不唯一. 2.已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题意可得：且为偶数，， 解得，且为偶数，， ∴． 故选：C． 3．已知幂函数在单调递增，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据函数是幂函数及单调性得出参数，再结合函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以或，又因为在单调递增，所以，所以， 所以，因为，所以为偶函数， 因为，所以， 所以，所以， 计算得，所以， 所以解集为. 故答案为：. 考点四 幂函数的图像 【例4】 1.已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为： 故选：C. 2.函数恒过一个定点，这个定点坐标是　　; 【答案】 【解析】因为恒过，故恒过故答案为 【跟踪演练】 1．幂函数的大致图象是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】幂函数在是减函数，且为偶函数，故选:C. 2．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是　　 A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【解析】②的图象关于轴对称，②应为偶函数，故排除选项， ①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除 故选：． 3.（多选）下列幂函数中满足条件的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可. 【详解】由题意知,当时,的图象是凹形曲线. 对于A,函数的图象是一条直线,则当时,有,不满足题意； 对于B,函数的图象是凹形曲线,则当时,有,满足题意； 对于C,函数的图象是凸形曲线,则当时,有,不满足题意； 对于D,在第一象限内,函数的图象是一条凹形曲线,则当时,有,满足题意. 故选:BD. 微专题 函数的值域与最值 方法一 单调性法 一、【题型总结】 ▲适用题型：在求函数值域时，能直接判断出函数单调性或者通过对图象的分析可以判断出单调性时. ▲方法原理：先确定函数定义域，再判断出单调性，根据单调性求出值域. 二、【典型例题】 1.求函数的值域. 【答案】 【解析】函数中，分母， 则，故值域为 2.求的值域. 【答案】 【解析】函数，定义域为，，故，即值域为 3.函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】由解析式直接确定函数单调性，即可求解. 【详解】由得定义域为； 因为单调递增，单调递减，所以单调递增； 当，，当时，， 所以函数的值域为， 故选：C. 三、【习题检测】 1.已知函数当，求函数的值域. 【答案】 【详解】由（1）已证：函数在区间上是增函数，故在上也是增函数，则，即，故函数的值域为. 2．函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据函数单调性求出值域. 【详解】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为. 故选：D 3.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 方法二 图像法 一、【典型例题】 1.已知函数，则的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、分段函数的值域或最值 【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【详解】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 1.已知，设，则函数的最小值是（    ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分段函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据题意，将问题转化为分段函数的最小值问题，然后根据函数的单调性求解． 【详解】由，即，解得或； 由，即，解得. 由题意， 则在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值是． 故选：A． 二、【习题检测】 1.已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为 ． 【答案】－4 【难度】0.85 【知识点】画出具体函数图象、函数图象的应用、分段函数的值域或最值 【分析】画出函数图像，找较低图像的最高点. 【详解】画出两函数图像可得，函数与的交点为， 所以， 所以， 故答案为： 2.已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数新定义、分段函数的值域或最值、函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】作出函数的图象，结合图象即可得的最小值. 【详解】如图，在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象，    因为对，，故函数的图象如图所示：    由图可知，当时，函数取得最小值. 故答案为：. 3.（多选）已知函数若的最小值为，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】当时，，当时，，由条件知（否则的最小值不是，所以函数在上单调递减，．又由条件知，解得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．由以上分析知A，C，D正确． 方法三 换元法之根式换元 一、【题型总结】 ▲适用题型：有相同复杂结构求值域题型； ▲方法原理： 1.通过换元将复杂未知的函数结构转化成简便熟悉的函数结构，进行求值域； 2.根式型比如； ，计算出并代回函数中，化简后会变成关于的二次函数，在进行求值域；复杂未知的函数结构转化成简便熟悉的函数结构，进行求值域；比如求函数的值域 令，即，可得函数； 二、【典型例题】 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可． 【详解】根据题意知函数定义域为，令， 所以， 当时，，所以函数的值域为. 故选：C. 三、【习题检测】 函数的最大值为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】首先令，将原函数化为关于t的一元二次函数，利用单调性即可求的最大值. 【详解】令，则，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，所以最大值在出取得，. 故答案为： 方法四 分式型函数之分离常数法 一、【题型总结】 ▲适用题型：针对上下最高次数一致的函数，可以先分离出常数再结合其余方法解决； ▲方法原理：通过分离常数可以降低分子的次数，比如：求的值域 ①分离常数： ②根据可得 2、 【典型例题】 1.已知.求该函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【详解】由（1）知函数在上是增函数. 所以最大值为，最小值为. 2.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 三、【习题检测】 1．函数在的值域是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先分离变形，然后结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增，故，且， 所以函数的值域为； 故答案为： 2.设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】采用分离参数法分析函数的单调性，确定函数的最大、最小值即可求解. 【详解】因为， 因为时，，随着的增大，函数的值越来越小，即函数在上单调递减. 所以，. 所以. 故答案为： 3.（多选）已知函数，下列选项正确的是（   ） A． B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域 D．的图象关于对称 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数图象的变换、判断或证明函数的对称性、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据给定的函数，结合反比例函数的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，函数中，，，A正确； 对于B，函数在上单调递减，在定义域上不单调，B错误； 对于C，由选项B知，当时，，即，C正确； 对于D，函数的图象可以由的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位而得， 函数的对称中心为，因此的图象关于对称，D错误. 故选：AC 方法五 分式型函数之换元法 一、【题型总结】 ▲适用题型：针对上下最高次数不一致的函数，可以先将低次换元再结合其余方法解决； ▲方法原理：比如：求的值域，可先令（注意的范围），再结合其余方法解决. 二、【典型例题】 1.函数的最大值为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、复合函数的最值 【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 令，，因为函数在上单调递增，所以， 即，则， 即函数的最大值为，当且仅当时取等号. 故答案为： 2.函数的值域为 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】令，把已知函数解析式变形，令变形，再由“对勾函数”的单调性求解. 【详解】解：令，， 令，则， 原函数化为， 该函数在上为减函数，在上为增函数， 又当时，，当时，，当时，. ∴函数的值域为， 则函数的值域为. 故选：C. 【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题. 三、【习题检测】 1.函数的值域： 【答案】 【难度】0.65 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. 2．若，则函数在上的值域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域. 【详解】， 任取，，且， 则， 所以， 所以函数在上单调递增， 则，， 所以函数在上的值域是. 故答案为：. 方法六 判别式法 一、【题型总结】 ▲适用题型：在函数求值域时一般建议用在最简分式含二次项，且定义域为R,这样就避免讨论根的分布，直接用判别式处理更方便；如果定义域不为R，若需要讨论根的分布，不建议此法，若不需要复杂讨论依然可考虑此法； ▲方法原理：通过去分母将等式整理成关于x的一元二次方程，利用方程有解转化成方程判别式解题；比如：求值域 ①变形方程：， ②讨论二次项系数： 注意：如果分子分母能因式分解，且能化简，则不适合此法，，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． 二、【典型例题】 求函数的值域． 【答案】． 【解析】由知， 整理得． 当时，方程无解；当时，，即． 故所求函数的值域为． 三、【习题检测】 已知函数. (1)若，求函数在的值域； (2)若，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）通过分离常数法可得，令，则.由对勾函数性质即可求解； （2）根据判别式法即可求解. 【详解】（1）若，则. 令，∵，∴，故. 由对勾函数性质可知，∴. ∴函数的值域为. （2）若，则函数. 因为恒成立，故， 则由可得， 当时，，符合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念与性质 【目录】 3.1 函数的概念 2 考点一 函数的判断 3 考点二 定义域 5 考点三 相等函数的判断 6 考点四 解析式 7 考点五 函数值 9 考点六 分段函数 10 微专题 函数的图象 13 考点一 平移变换 14 考点二 绝对值在解析式上 15 考点三 绝对值在自变量上 16 考点四 部分含绝对值 17 3.2.1 函数的性质—单调性 19 考点一 定义法判断单调性（单调区间） 20 考点二 图象法判断单调性（单调区间） 21 考点三 复合函数求单调性（单调区间） 22 考点四 利用单调性求参数 24 考点五 利用单调性解不等式 27 考点六 利用单调性比较大小 27 3.2.2 函数的性质—奇偶性 28 考点一 奇偶性的判断 29 考点二 利用奇偶性求解析式 31 考点三 利用奇偶性求参数值 32 考点四 对称性的运用 32 考点五 单调性与奇偶性的综合运用 33 3.3 幂函数 36 考点一 幂函数的判断 37 考点二 幂函数的三要素 38 考点三 幂函数的性质 39 考点四 幂函数的图像 40 微专题 函数的值域与最值 42 方法一 单调性法 42 方法二 图像法 43 方法三 换元法之根式换元 44 方法四 分式型函数之分离常数法 44 方法五 分式型函数之换元法 45 方法六 判别式法 46 3.1 函数的概念 【基础内容与方法】 1．函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应关系，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． （3）函数表示法：函数书写方式为，． （4）函数三要素：定义域、值域、对应关系． （5）相等函数：两个函数只有在定义域和对应关系都相同时，两个函数才相等． 2．基本初等函数的定义域限制 （1）分式中的分母不为0； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0； （3）零指数幂的底数不为0； 注：定义域需用区间或集合的形式写出． 3．基本初等函数的值域 （1）一次函数的值域是R． （2）二次函数的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）反比例函数的值域是． 考点一 函数的判断 【例1】 1.下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（多选）下列对应关系是从到的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪演练】 1．如图所示，表示函数图像的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各图中能作为函数图像的是（ ）． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3．判断下列对应是否为函数： （1）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}； （2）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}； （3）x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R. 考点二 定义域 角度1.具体函数的定义域 【例2-1】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【跟踪演练】 1．函数的定义域是( ) A． B． C． D． 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 角度2.抽象函数的定义域 【例2-2】已知的定义域为， （1）求的定义域； （2）求的定义域 抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点： （1）函数的定义域指的是自变量的取值范围； （2）同一对应法则下（ ）内的范围必须一致. 【跟踪演练】 1.设的定义域为，则函数的定义域是___________. 2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点三 相等函数的判断 【例3】下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 判断依据：定义域与对应法则一致. 【跟踪演练】 1．下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号). （1）y＝x－1和y＝； （2）y＝x0和y＝1； （3）f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2； （4）f(x)＝和g(x)＝. 2．下列函数；；；与函数是同一函数的是________. 3.下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点四 解析式 方法一 待定系数法 【例4-1】（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式； （2） 已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 方法二 换元法 【例4-2】 1.已知，则的解析式为_______. 2.已知，求的解析式； 方法三 配方法 【例4-3】 若函数，则______. 方法四 解方程组法 【例4-4】 已知，求的解析式． 【总结】 1. 已知函数解析式的类型时，可用待定系数法求其函数解析式； 2. 已知复合函数的表达式时，可用换元法； 3. 当出现换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； 4. 若已知成对出现类型的抽象函数表达式时，则常用解方程组法构造另一个方程，再利用消元法求出. 【跟踪演练】 1.（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 2.已知函数为二次函数，，，，； (1)求函数的解析式； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 考点五 函数值 【例5】若函数，那么（ ） A．1 B．3 C．15 D．30 【跟踪演练】 1．已知，则（ ） A．15 B．21 C．3 D．0 2．若函数，则______________． 3.已知函数，且，则（    ） A．3 B． C．17 D． 4． 已知，则_________． 考点六 分段函数 角度1.求函数值 【例6-1】 已知函数，则的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【跟踪演练】 已知函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 角度2.求参数值 【例6-2】 已知函数y＝，则使函数值为的的值是（ ） A．或 B．或 C． D．或或 【跟踪演练】 已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求m的值； (3)求不等式的解集． 角度3.分段函数图象 【例6-3】 已知函数的解析式.画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）. 【跟踪演练】 1.已如函数 (1)若，求实数的值； (2)作出函数在区间内的图像． 2.已知函数 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 微专题 函数的图象 【基础内容与方法】 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线．　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．函数图象的变换 (1)平移变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数,无关，上加下减指的是在fx整体上加减. (2)对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； (3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象． ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． (4)翻折变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． 考点一 平移变换 【例1】平移变换 用平移图像的方式作出的图像，并说明函数的值域． 【跟踪演练】 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 考点二 绝对值在解析式上 【例2】探究函数的图象与性质. (1)下表是y与x的几组对应值. … … … … 其中m的值为_______________； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：___________； 【跟踪演练】 已知函数，，则的最小值是 ，最大值是 . 考点三 绝对值在自变量上 【例3】某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣ m 2 1 2 1 ﹣ ﹣2 … 其中，m＝　 　． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． 【跟踪演练】 写出函数在什么范围内，随的增大而增大， 随的增大而减小？ 考点四 部分含绝对值 【例4】 1.已知函数.将函数写出分段函数的形式，并画出图象. 2.已知函数的图象经过点（，）和（，），完成下面问题： （1）求函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象 【跟踪演练】 1.已知函数f（x）=|x﹣1|+1 （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）在上边所给的坐标系中画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域(不要求证明). 2.已知函数． （1）求作函数的图像； （2）并指出在各个区间上是增函数还是减函数？（不必证明） 3.2.1 函数的性质—单调性 【基础内容与方法】 1．单调性的概念： 一般地，设函数的定义域为， 如果对于定义域内某个区间上 两个自变量的值， （1）当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数， 区间叫做____________； （2）当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数， 区间叫做_____________． 2 . 单调区间的定义：若函数在区间上是增函数或者减函数，则称函数 在这个区间是单调的，区间叫做的单调区间. 3．注意事项： （1）单调性是研究函数某个______上的性质，是________性质（填局部/整体） （2）如果一个函数有多个单调区间，不能写成_________形式． （3）定义中的有以下几个特征：一是任意性，“任意”二字不能去掉；二是有大小，通常令；三是属于同一区间. （4）已知单调求参数范围时，先要使得函数本身有意义. 4.等价定义： ①，若，则在区间上是增函数； ，若，则在区间上是减函数． ②，且，若，则在区间上是增函数； ，且，若，则在区间上是减函数． 5.基本初等函数的单调性 （1）正比例函数 当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数在定义域上是减函数． （2）一次函数 当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数在定义域上是减函数． （3）反比例函数： 当时，函数的单调递减区间是，，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． （4）二次函数： 当，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 当，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 考点一 定义法判断单调性（单调区间） 【例1】求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数. 【总结】 （1）取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； （3）定号：判断差的正负或商与的大小关系； （4）得出结论． 【跟踪演练】 已知,用定义证明在区间上是增函数. 考点二 图象法判断单调性（单调区间） 【例2】 1.下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2 2.求下列函数的单调区间． （1）f（x）＝3|x|； （2）f（x）＝|x2＋2x－3|． 3.函数的单调递增区间为 . 【总结】 1.图象法即画出对应函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． 2.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接 【跟踪演练】 1．（多选）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2.求函数的单调区间. 考点三 复合函数求单调性（单调区间） 【方法原理】 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性． 一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： 1．将复合函数分解成基本初等函数：，； 2．分别确定各个函数的定义域； 3．分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 注意：内外层函数的定义域. 【例3】 1.（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（     ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 2.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4.函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【总结】 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 【跟踪演练】 1．（多选）下列函数中满足在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3.函数的单调递增区间为 ． 4.已知函数在R上单调递减，则的单调递增区间为 A． B． C． D． 考点四 利用单调性求参数 角度1.一次函数与反比例 【例4-1】 函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【跟踪演练】 “”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 角度2.二次函数 【例4-2】 1．已知 在区间 上是增函数，则的范围是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪演练】 若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 （ ） A． B． C． D． 角度3.复合函数 【例4-3】 若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪演练】 1.“函数在上单调递减”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 角度4.分段函数 【例4-4】 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 【跟踪演练】 1．若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2.函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五 利用单调性解不等式 【例5】已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪演练】 1.已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 2.定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 考点六 利用单调性比较大小 【例6】 已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪演练】 1.函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 3.2.2 函数的性质—奇偶性 【基础内容与方法】 1.函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 2.判断与的关系时，也可以使用如下结论:如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 3.注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 考点一 奇偶性的判断 方法一 定义法 【例1-1】判断下列函数的奇偶性． （1）f(x)＝2x＋；　　　　　　（2）f(x)＝2－|x|； （3）f(x)＝＋； （4）f(x)＝. 首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f(x)与f(－x)之间的关系 【跟踪演练】 1.判断下列函数的奇偶性: (1);(2);(3);(4). 2．判断下列函数的奇偶性： （1）． （2）． （3）． 方法二 图像法 【例1-2】 1.判断函数的奇偶性 2.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪演练】 1.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2.函数的图像关于（    ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 方法三 简单口诀 【例1-3】 函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【总结】函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （2）函数，在它们的公共定义域上有下面的结论： （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇， 为偶函数． 【跟踪演练】 1.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 2.下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二 利用奇偶性求解析式 【例2】 1.已知是上的奇函数，且当时，，则当时，______． 2.已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______． 【跟踪演练】 1．已知偶函数在时的解析式为，则时，的解式为_______. 2.已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 3.如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 考点三 利用奇偶性求参数值 【例3】 1.函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________. 2.若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为________. 3.若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（　　） A．1 B．0 C．－1 D．±1 【跟踪演练】 1．如果定义在区间上的函数为奇函数，则________. 2.若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 3.已知函数为偶函数，则 ． 4.已知函数是奇函数，且，则 . 考点四 对称性的运用 【例4】已知函数，且，则 ． 【跟踪演练】 1.已知，且，则等于（    ） A． B． C． D．10 2.已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点五 单调性与奇偶性的综合运用 考法一 大小比较 【例5-1】若偶函数在上单调递增，则（    ）． A． B． C． D． 2.已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪演练】设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 考法二 解不等式 【例4-2】 1.已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1.已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 变式1.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ） A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3] 变式2.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1.已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 4.若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 变式1.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式2.定义在R上的偶函数满足：对任意的，（），都有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3.3 幂函数 【基础内容与方法】 1.幂函数的定义 一般地，R）(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数． 2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量；③指数为常数． 3.幂函数的图象和性质 常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在R上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在R上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 （1）幂函数的形式是R），其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式． （2）在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴． （3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． （4）认识幂函数的图象重点在于掌握其特征．对于R），当时，在第一象限内为双曲线的一支；当时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向右；当时，在第一象限内为“抛物线”形，且开口向上． （5）在判断幂函数的单调性和奇偶性时，可根据相应幂函数的图象进行分析． （6）幂函数R）在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出 考点一 幂函数的判断 【例1】在函数，，，中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪演练 】 1．下列函数中哪个是幂函数（ ） A． B． C． D． 2．下列函数是幂函数的是 （ ） A． B． C． D． 考点二 幂函数的三要素 【例2】 1.已知幂函数的图象过点，则______. 2.（1）函数的定义域是_____，值域是_____； （2）函数的定义域是____，值域是_____； （3）函数的定义域是______，值域是_____； （4）函数的定义域是_____，值域是______. 先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项 【跟踪演练】 1.若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________. 2.已知幂函数的图象过点，则______． 3.若点，均在幂函数的图象上，则实数_____． 4.讨论下列函数的定义域、值域. （1）；（2）；（3）；（4）. 考点三 幂函数的性质 角度1.单调性 【例3-1】已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．2或 【跟踪演练】 1.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为 角度2.奇偶性 【例3-2】 1.设，则使函数的定义域为，且为偶函数的所有的值为（ ） A． B． C． D． 2.设，则使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知幂函数的图象关于原点对称，则实数m的值是 【跟踪演练】 1.已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 2.已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知幂函数在单调递增，则关于的不等式的解集为 ． 考点四 幂函数的图像 【例4】 1.已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（ ） A． B． C． D． 2.函数恒过一个定点，这个定点坐标是　　; 【跟踪演练】 1．幂函数的大致图象是( ) A． B． C． D． 2．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是　　 A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 3.（多选）下列幂函数中满足条件的函数是（    ） A． B． C． D． 微专题 函数的值域与最值 方法一 单调性法 一、【题型总结】 ▲适用题型：在求函数值域时，能直接判断出函数单调性或者通过对图象的分析可以判断出单调性时. ▲方法原理：先确定函数定义域，再判断出单调性，根据单调性求出值域. 二、【典型例题】 1.求函数的值域. 2.求的值域. 3.函数的值域为（     ） A． B． C． D． 三、【习题检测】 1.已知函数当，求函数的值域. 2．函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 3.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 方法二 图像法 一、【典型例题】 1.已知函数，则的值域为 . 2.已知，设，则函数的最小值是（    ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 二、【习题检测】 1.已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为 ． 2.已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为，则的最小值为 . 3.（多选）已知函数若的最小值为，则（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 方法三 换元法之根式换元 一、【题型总结】 ▲适用题型：有相同复杂结构求值域题型； ▲方法原理： 1.通过换元将复杂未知的函数结构转化成简便熟悉的函数结构，进行求值域； 2.根式型比如； ，计算出并代回函数中，化简后会变成关于的二次函数，在进行求值域；复杂未知的函数结构转化成简便熟悉的函数结构，进行求值域；比如求函数的值域 令，即，可得函数； 二、【典型例题】 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 三、【习题检测】 函数的最大值为 ． 方法四 分式型函数之分离常数法 一、【题型总结】 ▲适用题型：针对上下最高次数一致的函数，可以先分离出常数再结合其余方法解决； ▲方法原理：通过分离常数可以降低分子的次数，比如：求的值域 ①分离常数： ②根据可得 2、 【典型例题】 1.已知.求该函数在区间上的最大值与最小值. 2.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 三、【习题检测】 1．函数在的值域是 . 2.设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 3.（多选）已知函数，下列选项正确的是（   ） A． B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域 D．的图象关于对称 方法五 分式型函数之换元法 一、【题型总结】 ▲适用题型：针对上下最高次数不一致的函数，可以先将低次换元再结合其余方法解决； ▲方法原理：比如：求的值域，可先令（注意的范围），再结合其余方法解决. 二、【典型例题】 1.函数的最大值为 . 2.函数的值域为 A． B． C． D． 三、【习题检测】 1.函数的值域： 2．若，则函数在上的值域是 ． 方法六 判别式法 一、【题型总结】 ▲适用题型：在函数求值域时一般建议用在最简分式含二次项，且定义域为R,这样就避免讨论根的分布，直接用判别式处理更方便；如果定义域不为R，若需要讨论根的分布，不建议此法，若不需要复杂讨论依然可考虑此法； ▲方法原理：通过去分母将等式整理成关于x的一元二次方程，利用方程有解转化成方程判别式解题；比如：求值域 ①变形方程：， ②讨论二次项系数： 注意：如果分子分母能因式分解，且能化简，则不适合此法，，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． 二、【典型例题】 求函数的值域． 三、【习题检测】 已知函数. (1)若，求函数在的值域； (2)若，求函数在上的值域. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$