【第三章 一次方程（组） 06讲 二元一次方程组的解法】暑假小升初衔接2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第三章 一次方程（组） 06讲 二元一次方程组的解法 目录 【知识点1. 代入消元法】…………………………………………………………… 1 【知识点2. 加减消元法】…………………………………………………………… 4 【题型1. 代入消元法】……………………………………………………………… 6 【题型2. 加减消元法】……………………………………………………………… 7 【题型3. 二元一次方程组的特殊解法】…………………………………………… 8 【题型4. 二元一次方程组的错解复原问题】……………………………………… 10 【题型5. 构造二元一次方程组求解】……………………………………………… 12 【题型6. 已知二元一次方程组的解的情况求参数】……………………………… 13 【题型7. 方程组相同解问题】……………………………………………………… 15 【课后作业】…………………………………………………………………………… 16 知识清单 1、代入消元法 如例1，把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把这个代数式代入另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代入前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元一次方程组的解。 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法。 巩固基础 1. 用代入消元法解下列方程 知识清单 2、加减消元法 如例3，把一个方程进行适当变形后，再加上（或减去）另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原二元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解。 这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法。 解二元一次方程组的基本思路： 消去一个未知数（简称消元），得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，求出一个未知数的值，接着再去求另一个未知数的值。 代入消元法和加减消元法是两种求解方程组的方法，应根据具体情况灵活选择。 巩固基础 1. 用加减消元法解下列方程 直击考点 题型1. 代入消元法 1. 用代入消元法解下列方程 题型2. 加减消元法 1. 用加减消元法解下列方程 题型3. 二元一次方程组的特殊解法 例1．关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．阅读材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法． 请用换元法解方程组： (1)若方程组的解是，则方程组的解是 ； A．       B．        C．        D． (2)已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数） 变式1．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 变式2．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则（   ） A．1 B．2 C． D． 变式3．知识呈现：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：设，原方程组可变为 解方程组，得即解得 解决问题： （1）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________； （2）已知、满足方程组,求的值； 灵活运用： （3）已知、、满足方程组,求的值． 题型4. 二元一次方程组的错解复原问题 例1．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例2．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 例3．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 变式1．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 变式2．对于方程组，小周回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小周的回忆，把方程组复原出来． 变式3．已知关于的二元一次方程组． (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解满足等式，求的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于的方程组时，将中的看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，求的值． 题型5. 构造二元一次方程组求解 例1．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 例2．某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买爱的教育、边城的数量分别为（    ） A．15，10 B．10，15 C．12，13 D．13，12 例3．在等式中，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)当时，求x的值． 变式1．两名初三学生被允许参加高中学生举行的象棋比赛，每个选手都同其他每个选手比赛一次，胜得一分，和得半分，输得零分．若两名初三学生共得8分，每个高中学生都和高中其他同学得到同样的分数，则参赛的高中学生人数为（   ） A．7 B．9 C．14 D．7或14 变式2．小明运用七年级上册的知识设计了一台数值转换机，只要依次输入两个整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，则最后输出的结果是13； ②若将这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示一个结果．在所有的结果中，最大值是11，最小值是； ③若将三个互不相等的正整数x，y，5按照任意顺序一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m．若m的最小值是，那么m的最大值可能是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 变式3．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 题型6. 已知二元一次方程组的解的情况求参数 例1．若关于x，y的方程组的解满足，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 例2．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 例3．已知关于的方程组，若方程组的解互为相反数，求的值． 变式1．在解关于x，y的二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m与n之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 变式2．已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． 其中结论正确的序号是（   ） A．①②③ B．①④ C．①③④ D．③④ 变式3．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 题型7. 方程组相同解问题 例1．已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为(   ) A． B． C． D． 例2．关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 例3．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 变式1．已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 变式2．已知关于的方程组和有相同的解，求的值． 变式3．已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·福建漳州·期中）用加减消元法解方程组，若先消去，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如果的解是方程的一个解，则m的值是（　　） A． B．1 C．0 D． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）如图，小颖用两种方法在两个天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，两个天平都保持平衡．若“■”与“●”的质量分别为x，y，则x，y之间的数量关系是（     ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·河南·专题练习）若满足方程组的互为相反数，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组，给出下列结论： ①若方程组的解为，则；②当时，的值互为相反数；③若，则；④的值与的值无关． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．（24-25七年级下·贵州黔西·阶段练习）方程组的解为则被遮盖的两个数，分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．2，4 D．1，5 7．（2025七年级下·河南·专题练习）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2021 8．（24-25七年级下·重庆·期中）对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 11．（24-25七年级下·四川巴中·期中）若，则可列方程组为： ， ， ． 12．（24-25七年级下·山东临沂·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为 ． 13．（24-25七年级下·河南新乡·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 ． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知方程组，则 （用只含的代数式表示） 15．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同，则 ． 16．（24-25六年级下·上海·期末）关于的方程组有无数组解，则 ． 17．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知为正整数，且方程组的解，均为整数，则的值是 ． 18．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 19．（24-25七年级下·江苏南通·期中）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于 ． 20．（24-25七年级下·山东淄博·期中）已知关于的二元一次方程组，下列结论中正确的是 ． ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． 三、解答题 21. 用合适的方法解下列方程 22．（24-25六年级下·上海·阶段练习）已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 23．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）对于未知数为、的二元一次方程组，如果方程组的解、满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 24．（24-25七年级下·山东聊城·期中）若关于二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 25．（24-25八年级下·江西九江·期中）已知，关于，的二元一次方程组． (1)求该方程组的解（用含的式子表示）； (2)若该方程组的解是非负数，不大于3，求整数的最小值． 26．（2025·湖南长沙·模拟预测）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），若该方程组的解x，y满足，则称这个方程组为“和美方程组”． (1)下列方程组是“和美方程组”的是_____________；（只填写序号） ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“和美方程组”，求的值； (3)若对于任意实数，关于x，y的方程组都是“和美方程组”，求的值． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料“轮换式方程组的解法”，然后解题． 材料：在解方程组时，我们可以先，得，再，得，最后重新组成方程组解得 请你根据材料中的方法解方程组： 28．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 29．（2025七年级下·广东·专题练习）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得解为，试求的值． 30．（24-25七年级下·福建·阶段练习）我们把关于x、y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程：二元一次方程组，叫做关于x、y共轭二元一次方程组.例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于x、y共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组. (1)若关于x、y的方程组，为共轭方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x、y的值满足下列表格： 则这个方程的共轭二元一次方程是 . (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为 . (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请化简. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组） 06讲 二元一次方程组的解法 目录 【知识点1. 代入消元法】…………………………………………………………… 1 【知识点2. 加减消元法】…………………………………………………………… 6 【题型1. 代入消元法】……………………………………………………………… 10 【题型2. 加减消元法】……………………………………………………………… 12 【题型3. 二元一次方程组的特殊解法】…………………………………………… 15 【题型4. 二元一次方程组的错解复原问题】……………………………………… 20 【题型5. 构造二元一次方程组求解】……………………………………………… 25 【题型6. 已知二元一次方程组的解的情况求参数】……………………………… 30 【题型7. 方程组相同解问题】……………………………………………………… 34 【课后作业】…………………………………………………………………………… 39 知识清单 1、代入消元法 如例1，把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把这个代数式代入另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代入前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元一次方程组的解。 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法。 巩固基础 1. 用代入消元法解下列方程 解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，得， ∴原方程组的解是 解：， 由②得， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为： 解：， 把①代入②得，， 解得，， 把代入①得，， ∴原方程组的解为 解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为 解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为 解：， 将②代入①，得，解得：， 将代入②，得， 原方程组的解为 解： 将②代入①，得． 解这个一元一次方程，得． 将代入②，得． 所以原方程组的解是 解； 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为 解：， 把②代入①，得， 解得③， 把③代入②，得， 原方程组的解是 解： 将①代入②中，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 原方程组的解为 解： 把①代入②，得   解得， 把代入①，得   所以原方程组的解是 解： 把①代入②，得． 解得 把代入①，得． 所以原方程组的解为 解： 把①代入②可得出， 解得：， 把代入①可得出， 则方程组的解为： 解：， 整理得 由②得， 把③代入①，得， 去括号，得， 解得：， 将代入②，得， 解得：， ∴原方程组的解为 解：即， 将代入得， ， ， 将代入①中，得， 解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是 解：， 把①代入②得，， ∴， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以原方程组的解是 解： 把代入，得： 把代入，得 所以方程组的解为 解： 将①代入②，得， 解得. 将代入①，得， 所以方程组的解是 解：， 由①得③， 把③代入②，得．解得， 把代入③，得， 原方程组的解为 解：， 把①代入②，得：， 解得：， 把代入①，得， 所以原方程组的解是 解：， 把①代入②得，， 解得， 把代入①得，， ∴原方程组的解为 解： 将②代入①，得： ， 解得：， 将代入②，得： ， 解得： 原方程组的解为 解： ，得 将代入，得 将代入①，得 ∴原方程组的解为 知识清单 2、加减消元法 如例3，把一个方程进行适当变形后，再加上（或减去）另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原二元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解。 这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法。 解二元一次方程组的基本思路： 消去一个未知数（简称消元），得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，求出一个未知数的值，接着再去求另一个未知数的值。 代入消元法和加减消元法是两种求解方程组的方法，应根据具体情况灵活选择。 巩固基础 1. 用加减消元法解下列方程 解：原方程组可变形为， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解是 解：把方程组整理为：， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴方程组的解为： 解：， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为 解：， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为 解：， ，得，解得：， 将代入②，得，解得 原方程组的解为 解： ②，得．  ③ ③①得， ． 将代入②，得， 所以原方程组的解是 解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为 解： ，得③ ，得 解得， ， 把代入②，得   解得，   所以原方程组的解是 解： ，得 ，得 解得． 把代入②，得 解得． 所以原方程组的解为 解： 把方程组变形为： 由①②，得：， 解得：， 把代入①可得出， 解得： 则方程组的解为： 解：， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， ∴原方程组的解为 解：， 得， ， ， 将代入①中，得， ， 解：， 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， 所以原方程组的解是 解： 得： 得： 把代入得： 所以方程组的解为 解：原方程组整理为 得： 得： 得： 把代入得： 所以方程组的解为 解：， ，得， 解得． 将代入①，得． 所以原方程组的解是 解：， 由得，， 解得， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为 解： ①×2，得：③， ②+③，得：， 解得：， 将代入②得： ， 解得：， 原方程组的解为 直击考点 题型1. 代入消元法 1. 用代入消元法解下列方程 解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解这个方程，得， 把代入③，得， 所以这个方程组的解是 解： 把①代入②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为 解： ， 把②代入①得， 解得， 把代入②得， 方程组的解为 解：， 由①得，，③ 把代入②得，， 解得，， 把代入③得，， 所以，方程组的解为 解：方程组整理为 把②代入①得，， 拟，方程组的解为 解：， 由①得， 把③代入②得， ∴， 解得 把代入③，得 ∴原方程组的解为 解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为 解：原方程组可化为：， 把代入②，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为： 解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为 解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为： 解： 把代入，得：，解得：； 把代入，得：； ∴方程组的解为： 解：将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为 解： 将①直接代入②，得 解得： 将代入①，得 解得： 方程组的解为： 解： ， 把②代入①，得， 去括号，得， 解得：， 把代入②，得， ∴方程组的解为 解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 去括号，得， 解得：， 把代入③，得， ∴方程组的解为 题型2. 加减消元法 1. 用加减消元法解下列方程 解： ，得 ，得 将代入①，得 ∴原方程组的解为 解： ①②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为 解： ①②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为 解：整理得： ①②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为 解：， ①②得， 解得， 把代入①得， ， 方程组的解为 解：， 则化简得， 得， 解得， 将代入②，得， ∴， ∴原方程组的解为 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为 解：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为： 解： 得：，解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为： 解：， ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为： 解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 方程组的解集为 解：①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为 解：得 解得： 将代入②，得 解得： 方程组的解为： 解：， ①×2得③， ②-③得， 解得， 把代入①得， 解得， 原方程组的解为 题型3. 二元一次方程组的特殊解法 例1．关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次方程的能力及二元一次方程的解的概念．由题意联立，求出的值并代入即可得出的值． 【详解】解：二元一次方程组的解满足， 联立，解得， 把代入，可得， 解得． 故选：D． 例2．阅读材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法． 请用换元法解方程组： (1)若方程组的解是，则方程组的解是 ； A．       B．        C．        D． (2)已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）结合题干所给例子，利用换元法解方程组即可； （2）结合题干所给例子，利用换元法解方程组即可． 【详解】（1）解：设，，则方程组可变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴， ∴， 故选：D； （2）解：∵， ∴， 设，，则方程组可变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， 解得． 变式1．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了解二元一次方程组的代入消元法，把②代入①即可得出x、y的关系． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得， 故选：C． 变式2．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键．利用关于的二元一次方程组的解为得到即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， 把关于满足二元一次方程组可化为可看作关于和的二元一次方程组， ， ， 故选：B． 变式3．知识呈现：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：设，原方程组可变为 解方程组，得即解得 解决问题： （1）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________； （2）已知、满足方程组,求的值； 灵活运用： （3）已知、、满足方程组,求的值． 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为的解为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】解：（1）设， ，即， ， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）， 设，， ， 可转化为， 解关于，的二元一次方程组，得，， ； （3）设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 题型4. 二元一次方程组的错解复原问题 例1．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： ， 把代入得：， 联立得：，解得：， 由，得到， 故选：A． 例2．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入中求得b的值，再将代入中解得a的值即可． 【详解】解：将代入，得， 解得：； 将代入得， 解得：. 故选：D． 例3．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【分析】根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解．本题考查了 二元一次方程组的错解复原问题，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【详解】解：∵甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为， 把代入，得， ∴ ∴， 把代入，得， ∴ ∴， ∴． 变式1．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值. 【详解】把代入方程②中得 解得 把代入方程①中得 解得 故选：A 变式2．对于方程组，小周回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小周的回忆，把方程组复原出来． 【分析】本题考查二元一次方程组的解．根据题意，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将代入第二方程得到m的值． 【详解】解：方程组为． 由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程的解， 则有，解之，得． 又因方程组的解是， 所以，， 解得，． 故所求方程组为． 变式3．已知关于的二元一次方程组． (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解满足等式，求的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于的方程组时，将中的看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，求的值． 【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，读懂题意，掌握二元一次方程组解法是解决问题的关键． （1）将代入原方程组，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案； （2）由加减消元法解二元一次方程组得到、，由方程组的解满足等式，将、代入，得到关于的一元一次方程求解即可得到答案； （3）在（2）的条件下，，根据题意，将代入关于的方程组求解得到，再将代入关于的方程组求解得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 整理得， 由①②得， ； 将代入①得， ； 当时，这个方程组的解为； （2）解：， 整理得， 由①②得， ； 将代入①得， ； ，解得； （3）解：在（2）的条件下，， 是关于的方程组的解， ； 是关于的方程组的解， ， 解得， 综上所述，， ． 题型5. 构造二元一次方程组求解 例1．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 例2．某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买爱的教育、边城的数量分别为（    ） A．15，10 B．10，15 C．12，13 D．13，12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设购买爱的教育x本，边城y本，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设购买爱的教育x本，边城y本， 根据题意有：， 解得：， 则购买爱的教育15本，边城10本， 故选：A． 例3．在等式中，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)当时，求x的值． 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．解题关键是掌握消元的思想． （1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值． （2）由（1）中结果可得x，y的关系式，把代入解方程即得x值． 【详解】（1）解：∵中，当时，；当时，， ∴， 解得：， （2）解：由（1）知，， ∴， ∴当时，， 解得． 变式1．两名初三学生被允许参加高中学生举行的象棋比赛，每个选手都同其他每个选手比赛一次，胜得一分，和得半分，输得零分．若两名初三学生共得8分，每个高中学生都和高中其他同学得到同样的分数，则参赛的高中学生人数为（   ） A．7 B．9 C．14 D．7或14 【分析】本题主要考查二元方程的应用，根据意义列出方程是解题的关键． 设高中生有人，高中生每人得分．由题意可得：，即，然后再运用列举法即可解答． 【详解】解：设高中生有人，高中生每人得分． 由题意可得：， ． 当时，，符合题意； 当时，不是0.5的整数倍，不符合题意； 当时，，符合题意． 故选D． 变式2．小明运用七年级上册的知识设计了一台数值转换机，只要依次输入两个整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，则最后输出的结果是13； ②若将这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示一个结果．在所有的结果中，最大值是11，最小值是； ③若将三个互不相等的正整数x，y，5按照任意顺序一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m．若m的最小值是，那么m的最大值可能是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】本题考查的是数字的变化规律，二元一次方程组的应用，通过列举计算并验证是解题的关键．根据有理数的减法法则计算即可判断①；利用和计算，可求得最大值和最小值，可判断②；分六种情况讨论，可判断③． 【详解】解：①根据题意， ，故①正确； ②将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入， ， ， 则最大值为11，最小值为，故②正确； ③，，5是三个互不相等的正整数， 若，则，，即，， 此时，（舍去）； 若，同理得：，（舍去）； 若，则，，即，，无解， 若，同理得：无解； 若，则，，即，，解得：，； 若，同理得：，； 故③正确． 综上，正确的有①②③， 故选：A． 变式3．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，计算即可求出所求． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； （2）解：∵， ∴①， ∵， ∴②， 得 ∴． 题型6. 已知二元一次方程组的解的情况求参数 例1．若关于x，y的方程组的解满足，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组．先解方程组得到，再代入，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：解方程组，得， ∵， ∴， 解得． 故选：B 例2．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．求出，再根据解为正整数进行分析即可． 【详解】解： 由②得，③ 把③代入①，得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当15时，． 则所有满足条件的整数之和为8． 故选：C. 例3．已知关于的方程组，若方程组的解互为相反数，求的值． 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，相反数的应用，解答此题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件． 令，可得，，再根据方程组的解互为相反数，可得，求解即可． 【详解】解：， ，得， ，得， ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即． 变式1．在解关于x，y的二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m与n之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了加减消元法，解题关键是掌握加减消元法． 直接利用加减消元法求解，结合可直接消去未知数y，得出m与n之间的数量关系． 【详解】解：， ，得， 可直接消去未知数y， 所以， 故选：C． 变式2．已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． 其中结论正确的序号是（   ） A．①②③ B．①④ C．①③④ D．③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．根据方程组的解法可以得到，①令，即可求出a的值，验证即可；②由①得，而，将代入验证得出答案；③④根据方程组的解得到，即可判断． 【详解】解：， 得，解得， 把代入（1）得，解得， ∴原方程组的解为， 当x，y的值互为相反数时，则， 解得：，故①正确； 原方程组的解满足， 当时，， 而方程的解不满足，故②错误； ∵， ∴，即的值始终不变，故③正确； ∴，故④正确； 故选：C． 变式3．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 题型7. 方程组相同解问题 例1．已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为(   ) A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键．依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ， 解得：， 把分别代入与得：， 解得：； 故选：D． 例2．关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【分析】这道题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的概念，解题的关键是通过重新联立方程组求出两个方程组的公共解．将两个方程组中的方程与重新联立方程组成方程组，求出相同解，然后将这个解代入到方程和方程中，得到关于和的方程组，最后解这个方程组，得到和的值，然后计算即可． 【详解】解：解方程组，解得， 将代入方程组，得， 解这个方程组得，， ， 故选：C． 例3．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【分析】本题考查了方程组相同解问题，加减消元法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出，即可作答． （2）先把代入得，再相加得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴ ，得 解得， 把代入，得， 解得， ∴这个相同的解为； （2）解：由（1）得， 把分别代入， ∴， 把上式两式子相加得， ∴． 变式1．已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了解含参二元一次方程组，先求出方程组的解为，求出、的表达式，由得出、等式，求出正整数解，即可求解；能熟练求解含参二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：解方程组得： ， ， 解得：， ， ， 整理得：， ，均为正整数， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 的值为、、，共个； 故选：A． 变式2．已知关于的方程组和有相同的解，求的值． 变式3．已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组． （1）联立，利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入含有a，b的方程得到方程组再求解即可； （3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得， 这个相同的解是； （2）解：将代入含有a，b的方程得： ， 解得：， ∴a，b的值分别为6，4； （3）解：正确，理由如下： 将代入中，得： ， ∴无论m取何值，都是方程的解． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·福建漳州·期中）用加减消元法解方程组，若先消去，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查加减消元法解方程组．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：若先消去，则得，． 故选：A． 2．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如果的解是方程的一个解，则m的值是（　　） A． B．1 C．0 D． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解的定义，先利用加减消元法求出原方程组的解， 再把原方程组的解代入到方程中求出m的值即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵的解是方程的一个解， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）如图，小颖用两种方法在两个天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，两个天平都保持平衡．若“■”与“●”的质量分别为x，y，则x，y之间的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等式的性质，首先设“▲”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系． 【详解】解：设“▲”的质量是， 根据第一个天秤可得：， 根据第二个天秤可得：，即 把代入， 得到：， 故选：D． 4．（2025七年级下·河南·专题练习）若满足方程组的互为相反数，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【分析】本题考查解含参数二元一次方程组，由加减消元法求出，再由互为相反数得到关于的一元一次方程，求解即可得到答案．熟练掌握二元一次方程组、一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①＋②得：， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组，给出下列结论： ①若方程组的解为，则；②当时，的值互为相反数；③若，则；④的值与的值无关． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程求出的值即可判断①；把代入方程组，两方程相加求出的值可判断②；把两方程相加求出，进而代入求出的值即可判断③；解方程组求出方程组的解，再求出的值即可判断④，综上即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：①把代入，得， ∴，故①正确； ②当时，方程组为， ，得， ∴，即的值互为相反数，故②正确； ③， ，得， ∴， 若，则， ∴，故③正确； ④解方程组，得， ∴， ∴的值与的值无关，故④正确； 综上，结论正确的是①②③④， 故选：． 6．（24-25七年级下·贵州黔西·阶段练习）方程组的解为则被遮盖的两个数，分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．2，4 D．1，5 【分析】本题考查了一元二次方程组的解的概念和解方程，解题的关键是理解方程组的解的定义，并且会代入求值． 把的值代入原方程组中的第二个方程，解方程求出的值，把和的值代入原方程组中的第一个方程，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为， ∴， ∴为， 故选：D． 7．（2025七年级下·河南·专题练习）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2021 【分析】将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得． 把代入方程组中，得， ①＋②，得． ∴． 故选B． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新定义，列出二元一次方程组，进行求解即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选A． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把方程组变形为，再根据方程组的解为进行求解即可． 【详解】解：将方程组变形得 ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程和方程中，求得，再将、代入，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 得：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ∴，解得，①结论正确； 当时，方程组为，方程为， 解得： 将代入中，得：， 方程组的解是方程的解，②结论正确； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：A． 二、填空题 11．（24-25七年级下·四川巴中·期中）若，则可列方程组为： ， ， ． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 先根据绝对值的非负性，得到二元一次方程组，再用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴可得， ， 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， 故答案为：；3；2． 12．（24-25七年级下·山东临沂·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为 ． 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义，求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到二元一次方程组，两个方程相减后，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ，得：； 故答案为：4． 13．（24-25七年级下·河南新乡·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 ． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键． 先把两方程相减，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 得：， 则 ， ， 解得：． 故答案为：4． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知方程组，则 （用只含的代数式表示） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．消去k，然后再求出结果即可． 【详解】解：， 得：， 整理得：． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同，则 ． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 联立不含与的方程组成方程组求出与的值，代入剩下的方程求出与的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：联立得：， 得：，即， 把代入①得：， 解得：， 代入得：， 解得：， 则， 故答案为：0． 16．（24-25六年级下·上海·期末）关于的方程组有无数组解，则 ． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，得，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知为正整数，且方程组的解，均为整数，则的值是 ． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解出、，再根据解的情况求出的值即可． 【详解】解：解方程组，得， 为正整数， 必为正整数， 又、均为整数， 为和的公约数， 或， 解得：（舍去）或， ， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【分析】本题考查含参的二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键，根据甲将①中的看成了它的相反数解得的值，代入可得到，的值，再根据乙抄错②中的得到的值，代入可得到的值，结合两个式子的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲将①中的看成了它的相反数解得，代入原式得到：， ∴③，， ∵乙抄错②中的解得，代入原式的①得到：， ∴④， ∴， 解得： ∴， 故答案为：5． 19．（24-25七年级下·江苏南通·期中）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于 ． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组求解的步骤． 将代入②可求的值，将代入①可求的值，然后求解即可． 【详解】解： 将代入得， 解得， 将代入①得， 解得， ， 故答案为：4． 20．（24-25七年级下·山东淄博·期中）已知关于的二元一次方程组，下列结论中正确的是 ． ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 解方程组得到，根据相反数的定义，得到，进而求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，得到，即可判断②结论；解方程组得到，即可判断③结论；得到即可判断④结论． 【详解】解： 得：， 的值互为相反数， ， ， 解得：， 故结论①正确； 当时， 原方程组为， 解方程组得， ， ， 故结论②正确； 得， ，是定值， ∴无论取什么实数，的值始终不变， 故结论③正确； 故结论④错误， 综上所述，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 21. 用合适的方法解下列方程 解：， 由①，得：③， 把③代入②，得：，解得：， 把代入③，得：，解得：； ∴原方程组的解为： 解： 由①，得：③， 把③代入②，得：，解得：； 把代入③，得：，解得：； ∴原方程组的解为： 解： 由①，得：③， 把③代入②，得：，解得：， 把代入③，得：，解得：， ∴方程组的解为： 解：， ，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：； ∴方程组的解为： 解：， 由①得③， 把③代入②解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为 解： 把②代入①，得，解得：． 把代入②，得， 所以该方程组的解为 解：①×3，②×2，得， ③-④得：， 解得：， 把代入②，得：，解得：， 所以该方程组的解为 解： ， 由①，得③． 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 故原方程组的解是 解：， ，得， 解得． 把代入①，得， 解得， 故原方程组的解是 解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是 解：， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入①，得 ， ∴ 解：， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴ 解： 把②代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 所以原方程组的解是 解：由②，得， 将代入①，得， 解得：， 将代入②，得， 解得：， 所以方程组的解为 解：， 由①得， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：， ∴原方程组的解为 解：整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为 解： 把代入得， 解得， 将代入得， 原方程组的解为 解： 得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为 解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴ 解：， ，得 ， ∴， ∴把代入①，得 ， ∴， ∴ 解：， 把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为： 解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为： 解：， 把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为 解：， 得：③， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为 解：， 由②得，③， 把③代入①得，， 解得， 把代入③，得， ∴方程组的解是 解：， ①得，③， ②得，④， ③+④得，， 解得， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解是 解：， 由①，得：③； 把③代入②，得：，解得：； 把代入③，得：； ∴方程组的解为： 22．（24-25六年级下·上海·阶段练习）已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 【分析】此题考查同解方程组的意义，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题． 首先把和联立方程组，求得x、y的数值，再进一步代入原方程组的另一个方程，再进一步联立关于a、b的方程组，进一步解方程组求得答案即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与同解， ∴解方程组，得：， 把代入方程组， 得：， 解得：，． ∴． 23．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）对于未知数为、的二元一次方程组，如果方程组的解、满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【分析】本题考查了解方程组，绝对值方程的新定义问题，熟练解方程组，灵活应用新定义是解题的关键． （1）先求得方程组的解，验证方程组的解是否满足，满足，具有“邻好关系”，反之，不具有； （2）先求得，再根据新定义，解绝对值方程即可． 【详解】（1）解： x与y具有“邻好关系”， 理由：， ，得， ∴． ∴x与y具有“邻好关系”． （2）， ，得， ∴． ∵x与y具有“邻好关系”， ∴， ∴或 ∴或． 24．（24-25七年级下·山东聊城·期中）若关于二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法，理解二元一次方程组的解以及整体求解方法是解答的关键．先根据二元一次方程组的解求得m、n值，进而求解关于a、b的二元一次方程组即可求解． 【详解】解：∵关于二元一次方程组的解是， ∴，解得， ∴所求方程组为， 得， 将代入②中，得， 解方程组，得， 故所求方程组的解为． 25．（24-25八年级下·江西九江·期中）已知，关于，的二元一次方程组． (1)求该方程组的解（用含的式子表示）； (2)若该方程组的解是非负数，不大于3，求整数的最小值． 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）加减消元法求解可得； （2）根据题意列出关于a的不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解： ，得，解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为 ； （2）解：∵，， ∴， 解得， ∴，      ∴整数的最小值为0． 26．（2025·湖南长沙·模拟预测）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），若该方程组的解x，y满足，则称这个方程组为“和美方程组”． (1)下列方程组是“和美方程组”的是_____________；（只填写序号） ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“和美方程组”，求的值； (3)若对于任意实数，关于x，y的方程组都是“和美方程组”，求的值． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“和美方程组”的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得由得或．再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：由定义可知①④的解x，y满足，①④是“和美方程组”； 由②解得满足 ∴②是“和美方程组”； 由③解得不满足 ∴③不是“和美方程组”． 故答案为：①②④； （2）解方程组 关于x，y的方程组是“和美方程组”， ， 解得； （3）是“和美方程组”， ． 由得或． ①当时，代入， 得， ． 为任意实数， ； ②当时，代入，得， ． 为任意实数， ． 综上所述，的值为或． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料“轮换式方程组的解法”，然后解题． 材料：在解方程组时，我们可以先，得，再，得，最后重新组成方程组解得 请你根据材料中的方法解方程组： 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，根据系数互换的两个二元一次方程组成的方程组，先进行相加，相减运算，把系数进行化简后，再利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：，得 ．③ ，得 ．④ 解方程组，得 所以原方程组的解为 28．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）将方程②变形，得，利用整体代入法进行求解即可； （2）利用加减消元法，消去，整体思想，求出的值即可． 【详解】（1）解： 将方程②变形，得， 即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得， 方程组的解为 （2） ，得，即， ． 29．（2025七年级下·广东·专题练习）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得解为，试求的值． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求代数式的值；把代入①中求出a的值，再把 代入②中求出b的值即可，再代入代数式解答即可． 【详解】解：， ∵甲看错了b，求得的解为， ∴把代入①得，，解得； ∵乙看错了a，求得的解为， ∴把 代入②得，，解得b， 当，时，． 30．（24-25七年级下·福建·阶段练习）我们把关于x、y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程：二元一次方程组，叫做关于x、y共轭二元一次方程组.例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于x、y共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组. (1)若关于x、y的方程组，为共轭方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x、y的值满足下列表格： 则这个方程的共轭二元一次方程是 . (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为 . (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请化简. 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题时要熟练掌握并能灵活运用加减消元计算是关键. （1）依据题意，由定义可得 ，求出，的值即可； （2）依据题意，将代入得到，从而可得二元一次方程为 ，进而可以判断得解； （3）依据题意，使用加减消元法计算即可得解； （4）依据题意，方程组是共轭方程组，从而，即可得到，进而可得然后代入计算解题. 【详解】（1）解：由定义可得： ， ， ∴， ， 故答案为：，； （2）解：将， 代入， 得，解得， ∴二元一次方程为， ∴共轭二元一次方程为：， 故答案为：； （3）解： ①②得： ， 即③， ①③得： ， 解得， 将代入③得， ∴方程组的解为： ， 故答案为： ； （4）解：∵由定义可得 ∴ ∵方程组是共轭方程组， ∴， ①②得， ， 又∵方程组的解是， ，即， . 18 学科网（北京）股份有限公司 $$