4.4利用全等三角形测距离　暑假巩固复习练习　　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第四章《三角形》 4.利用全等三角形测距离 知识点复习 利用全等三角形测距离 1. 基本原理：构造全等三角形，将不可测距离转化为可测距离 2. 核心方法：通过全等证明实现距离等量转移 3. 典型应用场景： 测量河宽 测量工件内槽宽（卡钳原理） 实际工程中的不可达距离测量 问题解决策略：特殊化 4. 策略思想：从特殊情形入手，推广到一般情形 5. 实施步骤： 6. 寻找特殊位置或特殊数值 7. 解决特殊情形问题 8. 将解决方法推广转化到一般情形 9. 典型应用： 旋转中重叠面积问题 等边三角形内点到三边距离和问题 复杂几何证明中的特殊情况分析 价值：特殊化策略是解决复杂问题的有效思维工具 知识点练习 一、选择题练习 1．某同学把一块玻璃打碎成4块（如图），现在他打算带一块玻璃片到玻璃店去配一块与原来一样的玻璃，那么他应带（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：若是两个两个三角形两个对应角及夹边相等即“ASA”，那么这两个三角形全等． ①有两个角及夹边，故带④去可以． 故选：D． 2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，我们知道最省事的办法是带第③块去配，这样做的科学依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【解答】解：第一块只保留了原三角形的一个角，第二块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块保留了原来三角形的两个角及夹边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 故选：B． 3．数学兴趣小组计划用一根1.8米的标杆CD测量旗杆AB的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为1.8米，此时测得∠APB＝74°，然后前后移动标杆CD（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得∠CPD＝16°，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为17.4米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（　　） A．15.6米 B．17.4米 C．19.2米 D．21米 【解答】解：∵DC⊥BC，AB⊥BC， ∴∠DCP＝∠B＝90°， ∵∠APB＝74°， ∴∠BAP＝90°﹣74°＝16°＝∠CPD， 在△CPD与△BAP中， ， ∴△CPD≌△BAP（AAS）， ∴AB＝PC＝BC﹣PB＝17.4﹣1.8＝15.6（米）， 答：该旗杆的高度是15.6米， 故选：A． 4．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　） A．AAS B．SAS C．SSS D．以上均不可 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：D． 5．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得DE的长为12m． 那么，河的宽度是（　　） A．8m B．10m C．12m D．15m 【解答】解：从B点沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处， ∴BC＝CD， 由题意知，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD， 在△ABC和△EDC中， ， △ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED＝12， 即河的宽度是12米， 故选：C． 6．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接图1BO，并延长到点D，使OD＝OB；③连接DC，测量DC的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA；③连接EF，测量EF的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【解答】解：方案Ⅰ：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD； 方案Ⅱ：在△AOB与△EOF中， ， ∴△AOB≌△EOF（SAS）， ∴AB＝EF， 故选：D． 7．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm， ∴DE＝DC+CE＝20（cm）， 故选：C． 8．如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB 的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，得到△ABC≌△ADC，再测得AD的长，就是AB的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定△ABC≌△ADC的理由是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【解答】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 故选：A． 9．如图，有一池塘．要测量池塘两端A、B的距离（无法直接测出），两位同学提供了不同的测量方案： 方案Ⅰ：如图①，在平地上取一个可以直接到达A和B的点O，连结AO，并延长到点C，使OC＝OA；连结BO，并延长到点D，使OD＝OB；连结DC，测量DC的长度即可． 方案Ⅱ：如图②，在平地上选定一点E，使AB⊥BE；再选一点F（点A、F在BE的两侧），使EF⊥BE；用视线确定BE和AF的交点G．测出BG、GE、EF的长度，可求得池塘两端A、B的距离． 柳对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【解答】解：方案Ⅰ： 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴CD＝AB； 方案Ⅱ： ∵AB⊥BE，EF⊥BE， ∴∠E＝∠B＝90°， ∵∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△BAG， ∴EG：BG＝EF：AB， ∵BG、GE、EF的长度可以测出， ∴可求出AB的长， ∴可求得池塘两端A、B的距离， ∴方案Ⅰ、Ⅱ都可以． 故选：D． 10．小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.9m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为（　　） A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m 【解答】解：∵点B距离地面的高度为1.5m，点C距离地面的高度是1.6m， ∴点D距离地面的高度为1.5m，点E距离地面的高度是1.6m， ∴DE＝1.6﹣1.5＝0.1（m）， ∵∠BDO＝∠BOC＝90°， ∴∠OBD+∠BOE＝∠BOE+COD＝90°， ∴∠OBD＝∠COD， 在△OBD≌△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.9m，CE＝OD， ∴CE＝OD＝OE+DE＝1.9+0.1＝2（m）， ∴点C到OA的距离CE为2m， 故选：C． 二、填空题练习 11．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带③去，理由是 　ASA　 （填SAS或ASA或AAS或SSS或HL）． 【解答】解：第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，根据三角形全等的判定方法可知，符合全等三角形的判定定理ASA， 故答案为：ASA． 12．如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长AC、BC，到D、E，使CE＝CB，CA＝CD，连接DE，这样就可以利用三角形全等，通过测量DE的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是 　SAS　 ． 【解答】解：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DE， ∴依据是SAS， 故答案为：SAS． 13．如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的三等分点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是 　SSS　 ； 【解答】解：∵点E，F分别是AB，AC的三等分点， ∴， ∵AB＝AC， ∴AE＝AF， 在△AED与△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）， 故答案为：SSS． 14．北关中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙AM的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于AM的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角∠ABM＝55°；然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到∠MDC＝35°，标记此时直杆的底端点D；最后测得DM＝5m，则攀岩墙的高度AM＝　5　 m． 【解答】解：∵∠ABM＝55°，∠AMB＝90°， ∴∠MAB＝180°﹣∠ABM﹣∠AMB＝35°， ∵∠MDC＝35°， ∴∠MAB＝∠MDC， ∵∠AMB＝∠DMC＝90°，AB＝CD， ∴△AMB≌△DMC（AAS）， ∴AM＝DM＝5m． 故答案为：5． 15．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF＝ 　18　 m． 【解答】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴AB＝DE＝8m， ∴BF＝AB+AD+DF＝8+4+6＝18（m）． 故答案为：18． 16．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即OF＝OG），如果点O至地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm，这时小明离地面的高度是 　90cm　 ． 【解答】解：由题意可知，OF＝OG，∠FOC＝∠DOG，∠FCO＝∠GDO＝90°， ∴△FCO≌△GDO（AAS）， ∴FC＝DG， ∵小敏从水平位置CD下降40cm，即DG＝40cm， ∴CF＝40cm， 又∵点O至地面的距离是50cm， ∴这时小明离地面的高度是50+40＝90（cm）， 故答案为：90cm． 17．如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为 　17米　 ． 【解答】解：∵先从B处出发与AB成90°角方向， ∴∠ABC＝90°， ∵BC＝50米，CD＝50米，∠EDC＝90°， ∴BC＝DC， 在△ABC与△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE， ∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE＝17米， ∴AB＝17米． 故答案为：17米． 18．如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E．已知CE＝13cm，细绳OA的长为15cm，则AD的长为 　2　 cm． 【解答】解：由条件可知∠BOD+∠COE＝90°， 又∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠COE＝∠B， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴CE＝OD＝13， 又∵OA＝15， ∴AD＝15﹣13＝2（cm）． 故答案为：2． 19．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，这时测得AB的距离为　27米　 ． 【解答】解：由题意得：CB＝DC，∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE＝27米， 故答案为：27米． 20．方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴B到地面的距离BD＝15m．当海盗船的船头在A处时，AC⊥BD，此时测得点A到地面的距离AE＝9m．当船头从A处摆动到A′处时，A′B⊥AB，则点A′到BD的距离为 　6m　 ． 【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥BD于点F， ∵AC⊥BD，A′B⊥AB， ∴∠FBA′+∠FBA＝∠CAB+∠FBA，∠A′FB＝∠ACB＝90°， ∴∠FBA′＝∠CAB， 在△FBA′和△CAB中， ， ∴△FBA′≌△CAB（AAS）， ∴A′F＝BC， ∵AC⊥BD，BD⊥DE， ∴AC∥DE， ∵AE⊥DE，BD⊥DE， ∴CD＝AE＝9m， ∵BD＝15m， ∴BC＝BD﹣CD＝6m， ∴A′F＝6m， 即点A′到BD的距离为6m． 故答案为：6m． 三、解答题练习 21．如图，有一座锥形小山，小明想用绳子测量小山两端A，B的距离，但绳子无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识帮助小明，回答下列问题： （1）写出测量方案并画出示意图； （2）揭示其中的数学道理． 【解答】解：（1）如图：在AB下方找一点O，连接BO，并延长使BO＝B′O，连接AO，并延长使AO＝A′O，进而测量A′B′的长度，即可求解； （2）在△AOB和△A′OB′中， ， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴AB＝A′B′， ∴量出A′B′的长即可得到小山两端A，B的距离． 22．如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝CB，连结DE并测量出它的长度为8m，求A、B之间的距离． 【解答】解：在△CDE 和△CAB 中， ， ∴△CDE≌△CAB（SAS）， ∴AB＝DE＝8m． 答：A、B之间的距离为8m． 23．如图为某单摆装置示意图，摆线长OA＝OB＝OC，当摆线位于OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，测得OD＝15cm，当摆线位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，求此时摆球到OA的水平距离CE的长（CE⊥OA）． 【解答】解：∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE＝90°， ∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠CEO＝∠ODB＝90°， ∴∠BOD+∠B＝90°， ∴∠COE＝∠B， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴CE＝OD＝15cm， ∴摆球到OA的水平距离CE的长为15cm． 24．如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，∠ABC＝∠DEF＝30°，双翼边缘AB＝DE，点A与点D在同一水平线上，连接AD，AD＝10cm，若想设计通过闸机的物体的最大宽度为72cm，则双翼边缘AB的长度应设计多长． 【解答】解：过点A作AG⊥CB，垂足为G，延长GA交EF于点H， 由题意得：HG⊥EF， ∴∠AGB＝∠DHE＝90°， ∵∠ABC＝∠DEF，AB＝DE， ∴△ABG≌△DEH（AAS）， ∴AG＝DH， ∵通过闸机的物体的最大宽度为72cm，AD＝10cm， ∴AG＝DH31（cm）， 在Rt△ABG中，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AG＝62（cm）， ∴双翼边缘AB的长度应设计为62cm． 25．如图1，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，请说明道理．还有其它测量A，B之间的距离的方法吗？请把设计方案画在图2上，并说明道理． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴∠A＝∠E， 又∵∠ACB＝∠ECD，BC＝CD， ∴△ABC≌△EDC（AAS）， ∴AB＝DE； 其他方法如下： 过点A作AE⊥BF于点E，在BF上截取BE＝DE，过点D作DC∥AB交AE的延长线于点C，则CD＝AB． 证明如下： 由作图可知，∠AEB＝∠CED＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠A＝∠C， 又∵BE＝DE， ∴△AEB≌△CED（AAS）， ∴AB＝CD． 26．如图①是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），BD，CD是两条通往观景台的步行道．小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求∠ABD＝∠ACD．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示． 所测量 AE BE BD CD CF AF 长度/m 15.00 15.00 17.32 17.32 6.00 24.00 小梧将示意图抽象成图②的几何图，并连接AD．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 【解答】解：该广角灯的位置符合要求，理由如下： 如图，连接AD， ∵AC＝AF+CF＝24+6＝30（m），AB＝AE+BE＝15+15＝30（m）， ∴AC＝AB， ∵BD＝17.32m，CD＝17.32m， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠ABD＝∠ACD， ∴该广角灯的位置符合要求． 27．小明与爸爸妈妈在操场上荡秋千．小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他，妈妈用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离BF，CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°． （1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由； （2）请直接写出爸爸在距离地面多高的地方接住小明． 【解答】解：（1）△CGO与△OFB全等． 理由如下： 由题意可知∠BFO＝∠ODC＝90°，OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COG+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°． ∴∠COG＝∠OBF， 在△COG和△OBF中， ， ∴△COG≌△OBF（AAS）； （2）∵△COG≌△OBF， ∴CG＝OF，OG＝BF， ∵BF，CG分别为1.8m和2.2m， ∴FG＝OF﹣OG＝CG﹣BF＝2.2﹣1.8＝0.4（m）， ∵AF＝1.2m， ∴AE＝AF+FG＝1.6（m）， 答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的． 28．小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD． （1）如图1，求证：AC＝BD； （2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝6m，EF＝10m，请求出池塘宽度AC． 【解答】（1）证明：在△OAC和△OBD中， ∴△OAC≌△OBD（SAS）， ∴AC＝BD； （2）解：延长DE，AF交于点B， ∵DE∥AC， ∴∠C＝∠D， 在△OAC和△OBD中， ， ∴△OAC≌△OBD（ASA）， ∴AC＝BD， ∵∠DEF＝120°，∠OFE＝90°， ∴∠BFE＝90°，∠BEF＝60°，∠B＝30°， ∵EF＝10m， ∴BE＝2EF＝20m， ∵DE＝6m， ∴BD＝BE+DE＝26m， ∴AC＝26m， 答：池塘宽度AC为26m． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第四章《三角形》 4.利用全等三角形测距离 知识点复习 利用全等三角形测距离 1. 基本原理：构造 ，将不可测距离转化为 2. 核心方法：通过全等证明实现 3. 典型应用场景： 测量河宽 测量工件内槽宽（卡钳原理） 实际工程中的不可达距离测量 问题解决策略：特殊化 4. 策略思想：从特殊情形入手，推广到一般情形 5. 实施步骤： 6. 寻找特殊位置或特殊数值 7. 解决特殊情形问题 8. 将解决方法推广转化到一般情形 9. 典型应用： 旋转中重叠面积问题 等边三角形内点到三边距离和问题 复杂几何证明中的特殊情况分析 价值：特殊化策略是解决复杂问题的有效思维工具 知识点练习 一、选择题练习 1．某同学把一块玻璃打碎成4块（如图），现在他打算带一块玻璃片到玻璃店去配一块与原来一样的玻璃，那么他应带（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，我们知道最省事的办法是带第③块去配，这样做的科学依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．数学兴趣小组计划用一根1.8米的标杆CD测量旗杆AB的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为1.8米，此时测得∠APB＝74°，然后前后移动标杆CD（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得∠CPD＝16°，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为17.4米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（　　） A．15.6米 B．17.4米 C．19.2米 D．21米 4．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　） A．AAS B．SAS C．SSS D．以上均不可 5．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得DE的长为12m． 那么，河的宽度是（　　） A．8m B．10m C．12m D．15m 6．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接图1BO，并延长到点D，使OD＝OB；③连接DC，测量DC的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA；③连接EF，测量EF的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 7．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 8．如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB 的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，得到△ABC≌△ADC，再测得AD的长，就是AB的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定△ABC≌△ADC的理由是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 9．如图，有一池塘．要测量池塘两端A、B的距离（无法直接测出），两位同学提供了不同的测量方案： 方案Ⅰ：如图①，在平地上取一个可以直接到达A和B的点O，连结AO，并延长到点C，使OC＝OA；连结BO，并延长到点D，使OD＝OB；连结DC，测量DC的长度即可． 方案Ⅱ：如图②，在平地上选定一点E，使AB⊥BE；再选一点F（点A、F在BE的两侧），使EF⊥BE；用视线确定BE和AF的交点G．测出BG、GE、EF的长度，可求得池塘两端A、B的距离． 柳对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 10．小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.9m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为（　　） A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m 二、填空题练习 11．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带③去，理由是 　 　 （填SAS或ASA或AAS或SSS或HL）． 12．如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长AC、BC，到D、E，使CE＝CB，CA＝CD，连接DE，这样就可以利用三角形全等，通过测量DE的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是 　 　 ． 13．如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的三等分点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是 　 　 ； 14．北关中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙AM的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于AM的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角∠ABM＝55°；然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到∠MDC＝35°，标记此时直杆的底端点D；最后测得DM＝5m，则攀岩墙的高度AM＝　 　 m． 15．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF＝ 　 　 m． 16．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即OF＝OG），如果点O至地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm，这时小明离地面的高度是 　 　 ． 17．如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为 　 　 ． 18．如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E．已知CE＝13cm，细绳OA的长为15cm，则AD的长为 　 　 cm． 19．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，这时测得AB的距离为　 　 ． 20．方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴B到地面的距离BD＝15m．当海盗船的船头在A处时，AC⊥BD，此时测得点A到地面的距离AE＝9m．当船头从A处摆动到A′处时，A′B⊥AB，则点A′到BD的距离为 　 　 ． 三、解答题练习 21．如图，有一座锥形小山，小明想用绳子测量小山两端A，B的距离，但绳子无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识帮助小明，回答下列问题： （1）写出测量方案并画出示意图； （2）揭示其中的数学道理． 22．如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝CB，连结DE并测量出它的长度为8m，求A、B之间的距离． 23．如图为某单摆装置示意图，摆线长OA＝OB＝OC，当摆线位于OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，测得OD＝15cm，当摆线位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，求此时摆球到OA的水平距离CE的长（CE⊥OA）． 24．如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，∠ABC＝∠DEF＝30°，双翼边缘AB＝DE，点A与点D在同一水平线上，连接AD，AD＝10cm，若想设计通过闸机的物体的最大宽度为72cm，则双翼边缘AB的长度应设计多长． 25．如图1，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，请说明道理．还有其它测量A，B之间的距离的方法吗？请把设计方案画在图2上，并说明道理． 26．如图①是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），BD，CD是两条通往观景台的步行道．小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求∠ABD＝∠ACD．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示． 所测量 AE BE BD CD CF AF 长度/m 15.00 15.00 17.32 17.32 6.00 24.00 小梧将示意图抽象成图②的几何图，并连接AD．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 27．小明与爸爸妈妈在操场上荡秋千．小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他，妈妈用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离BF，CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°． （1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由； （2）请直接写出爸爸在距离地面多高的地方接住小明． 28．小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD． （1）如图1，求证：AC＝BD； （2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝6m，EF＝10m，请求出池塘宽度AC． 学科网（北京）股份有限公司 $$