精品解析：江西省抚州市金溪县实验中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

金溪县实验中学2024—2025学年度下学期期中学生学业水平测试 七年级数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算，正确的结果是 A. B. C. D. 2. 如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 3. 下列成语描述的事件为必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 空中楼阁 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 4. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. 或5 B. 4或 C. D. 无法确定 6. 根据，，， 的规律，则的个位数字是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 若，则__________． 8. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 9. 如图所示，小明在两块含角的直角三角板的边缘画直线和，得到，这是根据________，两直线平行． 10. 口袋中有15个球，其中白球有x个，绿球有2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜；则当x= ________时，游戏对甲、乙双方都公平． 11. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为___________． 12. 已知，点D在的边上，，且的一边与平行，则的度数为______． 三、解答题：（本题共5小题，每小题6分，共30分）． 13. 计算． （1） （2）简便运算： 14. 先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（x﹣3y）（x+3y）+4（xy﹣y2），其中x＝﹣2，y＝1． 15. 如图，已知，，求的度数. 16. 如图是单位长度为1的网格，点的三个点都在格点上，仅用无刻度直尺在网格内按要求完成作图． （1）过点作的平行线l； （2）过点作的垂线，与直线交于点． 17. 规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ①__，__； ②若，则______． （2）若，，，试说明下列等式成立的理由：． 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分）． 18. 如图，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 今年“五一”假期期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖；指向其余数字不中奖． （1）转动转盘中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是多少？ （2）顾客中奖的概率是多少？ （3）“五一”这天有1800人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？ 20. 已知将乘开的结果不含和项． （1）求的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分）． 21. 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题．． 例如：求代数式的最小值． 解：， 当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． （1）配方：______． （2）已知，求的值． （3）用配方法求代数式的最小值． 22. 如图1，直线，另一直线分别交AB、CD于M、N，将射线MA绕点M以每秒2°的速度逆时针旋转到，同时射线NC绕点N以每秒3°的速度顺时针旋转到，旋转的时间为t（）秒． （1）如图2，当秒时，射线与相交于点P，求的度数； （2）如图3，当射线与平行时，求t的值； （3）当射线与互相垂直时，求t的值． 六、解答题（本大题共12分）． 23. 【知识生成】 我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：图1、______；图2、______； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【知识迁移】 （4）若，则的值为多少？． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金溪县实验中学2024—2025学年度下学期期中学生学业水平测试 七年级数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算，正确的结果是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可得出结论． 【详解】解：． 故选：D． 2. 如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 3. 下列成语描述的事件为必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 空中楼阁 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事是必然事件，一定不会发生的事是不可能事件，可能发生可能不发生的事，是随机事件，进行判断即可． 【详解】解：A、旭日东升，是必然事件，符合题意； B、空中楼阁，是不可能事件，不符合题意； C、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； D、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意； 故选A． 4. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、， ，故本选项符合题意； B、， ，不能判断，故本选项不符合题意； C、， ，不能判断，故本选项不符合题意； D、， ，不能判断，故本选项不符合题意． 5. 如果关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. 或5 B. 4或 C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据是一个完全平方式判断出该完全平方式为，再根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， ∴m=-3或5． 故选：A． 【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．解题的关键是利用平方项来确定这两个数． 6. 根据，，， 的规律，则的个位数字是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，根据所给式子得出规律，令，，求出，得出个位数的规律即可解答． 【详解】解：由题意知：， ， ， 所以，， 令，，则有： ， 因为以2为底的乘方的运算结果个位数字按2，4，8，6循环，且余2， 所以的个位数字为4， 则的个位数字为3． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 8. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 9. 如图所示，小明在两块含角的直角三角板的边缘画直线和，得到，这是根据________，两直线平行． 【答案】内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据“内错角相等，两直线平行”判断即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等． 10. 口袋中有15个球，其中白球有x个，绿球有2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜；则当x= ________时，游戏对甲、乙双方都公平． 【答案】3 【解析】 【分析】游戏是否公平, 关键要看游戏双方获胜的机会是否相等, 即判断双方取胜的概率是否相等, 或转化为在总情况明确的情况下, 判断双方取胜所包含的情况数目是否相等. 【详解】解:由题意甲从袋中任意摸出一个球, 若为绿球则获胜; 甲摸出的球放回袋中, 乙从袋中摸出一个球, 若为黑球则获胜可知, 绿球与黑球的个数应相等, 也为2x个, 列方程可得 x+2x+2x=15, 解得x=3, 故答案为3. 【点睛】本题考查的是概率的计算. 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率, 概率相等就公平, 否则就不公平. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 11. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质的运用，三角形内角和定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．折叠得到，，再根据，可得． 【详解】解：∵把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知，点D在的边上，，且的一边与平行，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】需要分三种情况讨论：；，且位于上方；，且位于下方，根据平行线的性质分别求解即可． 【详解】①如图所示，． ∵， ∴． ②如图所示，，且位于上方． ∵， ∴． ∴． ③如图所示，，且位于下方． ∵， ∴． ∴． 综上所述，或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和角的运算，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 三、解答题：（本题共5小题，每小题6分，共30分）． 13. 计算． （1） （2）简便运算： 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和平方差公式是解题关键． （1）先计算有理数的乘方、负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可得； （2）先将式子转化为，再利用平方差公式计算即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（x﹣3y）（x+3y）+4（xy﹣y2），其中x＝﹣2，y＝1． 【答案】3x2+6y2，18 【解析】 【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算化简进而得出答案． 【详解】解：原式＝4x2+y2﹣4xy﹣（x2﹣9y2）+4xy﹣4y2 ＝4x2+y2﹣4xy﹣x2+9y2+4xy﹣4y2 ＝3x2+6y2， 当x＝﹣2，y＝1时， 原式＝3×（﹣2）2+6×12 ＝12+6 ＝18． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号，合并同类项的法则是关键． 15. 如图，已知，，求的度数. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的判定推出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠3+∠4=180°，代入求出即可． 【详解】解：∵ ∴． ∴， ∵ ∴. 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补.反之亦然． 16. 如图是单位长度为1的网格，点的三个点都在格点上，仅用无刻度直尺在网格内按要求完成作图． （1）过点作的平行线l； （2）过点作的垂线，与直线交于点． 【答案】（1） 如图，直线即为所求， （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了画平行线、作垂线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将直线向右平移至过点即可得到直线； （2）根据格点的特征结合垂线的定义作出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ①__，__； ②若，则______． （2）若，，，试说明下列等式成立的理由：． 【答案】（1）①3，5；②2； （2） 解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是正确理解题题目所给新定义，明确运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数乘方的运算方法，以及同底数幂的运算法则． （1）根据题目所给您新定义进行解答即可； （2）根据题意可得，，，则，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，5； ②根据题意可得： ， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【小问2详解】 略 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分）． 18. 如图，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据已知可得，从而可以判断； （2）首先求出，再得到，根据平行线的性质可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ，， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法并判断出是解题的关键． 19. 今年“五一”假期期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖；指向其余数字不中奖． （1）转动转盘中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是多少？ （2）顾客中奖的概率是多少？ （3）“五一”这天有1800人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？ 【答案】（1），，；（2）；（3）225人 【解析】 【分析】（1）分别找到8 和2，6和1，3，5的分数即可得到概率； （2）找到8，2，6，1，3，5份数之和占总份数的多少即为中奖的概率， （3）先求出获得一等奖的概率，从而得出获得一等奖的人数． 【详解】解：（1）P（一等奖）=， P（二等奖）=，P（三等奖）= （2） 8 ，2，6，1，3，5 份数之和为 6， ∴转动圆盘中奖的概率为：； （3）∵获得一等奖的概率是， ∴“五一”这天有 1800 人参与这项活动，估计获得一等奖的人数为：（人 ）． 【点睛】本题主要考查了古典型概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ，难度适中． 20. 已知将乘开的结果不含和项． （1）求的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组等知识，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题关键． （1）先计算多项式乘以多项式，再根据结果中含和项的系数等于0建立方程组，解方程组即可得； （2）先计算多项式乘以多项式，再将的值代入计算即可得． 【小问1详解】 解： ， ∵将乘开的结果不含和项， ∴，， 解得，． 【小问2详解】 解： ， 将，代入得：原式． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分）． 21. 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题．． 例如：求代数式的最小值． 解：， 当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． （1）配方：______． （2）已知，求的值． （3）用配方法求代数式的最小值． 【答案】（1） （2）1 （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、平方的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征以及利用平方非负性解题是关键． （1）观察二次三项式的形式，依据完全平方公式，判断是否符合完全平方式结构来配方． （2）把等式左边的式子通过拆项，凑成两个完全平方式的和，再利用平方的非负性求出、的值，进而计算 ． （3）将代数式通过添项凑成完全平方式，结合平方的非负性确定最小值． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 解： 平方数具有非负性，两个非负数的和为，则这两个非负数都为 ， ， 【小问3详解】 解： 当时，代数式的最小值是 22. 如图1，直线，另一直线分别交AB、CD于M、N，将射线MA绕点M以每秒2°的速度逆时针旋转到，同时射线NC绕点N以每秒3°的速度顺时针旋转到，旋转的时间为t（）秒． （1）如图2，当秒时，射线与相交于点P，求的度数； （2）如图3，当射线与平行时，求t的值； （3）当射线与互相垂直时，求t的值． 【答案】（1） （2）秒 （3）秒或54秒 【解析】 【分析】（1）过点P作，则，利用平行线的性质得，，再利用角的和差关系可得答案； （2）根据平行线的性质得，则，解方程即可； （3）分两种情形：或，分别解答即可． 【小问1详解】 解：过点P作，如下图． ∵， ∴， ∴，． ∵当秒时， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 【小问3详解】 解：①， ∴（秒）； ②， ∴（秒）． 综上所述，t的值为18秒或54秒． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义等知识，旋转的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分）． 23. 【知识生成】 我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：图1、______；图2、______； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【知识迁移】 （4）若，则的值为多少？． 【答案】（1）， （2） （3）4 （4）13 【解析】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形求值． （1）由图1中阴影部分即为边长为的正方形，图2中阴影部分即为边长为的正方形即可得解； （2）由大正方形的面积阴影部分面积个长和宽分别为，的长方形面积即可得解； （3）由题意可得，，，套用完全平方公式求得后即可 求得三角形的面积； （4）利用完全平方公式变形即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分即为边长为的正方形，图2中阴影部分即为边长为的正方形， 图1阴影部分面积表示为； 图2阴影部分面积表示为． 故答案为：；； （2）依图得，阴影部分即为边长为的正方形，大正方形的边长为， 大正方形的面积阴影部分面积个长和宽分别为，的长方形面积， ． （3）由图形可得，，， ， ， ； （4），， ． 故答案为：13． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $