第3章勾股定理练习　　-2025—2026学年苏科版数学八年级上册

苏科版八上数学第3章勾股定理练习解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理． 根据勾股定理，将梯子、地面和墙面构成的直角三角形中的已知边长代入公式求解． 【详解】解：梯子斜靠于墙时，与地面和墙面形成直角三角形．梯子长度5米为斜边，底端离墙4米为一条直角边． 设梯子顶端到地面的垂直距离为米， 由勾股定理得： （米） 因此，梯子顶端到地面的距离为3米， 故选：B． 2．在中，，，的对边分别为，，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用及代数式的变形，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．通过展开并整理等式，结合直角三角形的性质确定正确选项． 【详解】解：在中，， ， ， 即边为斜边，对应的角， 故选项A说法错误，不符合题意；选项B说法正确，符合题意；选项C说法错误，不符合题意； 又， ， ， 选项D说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键． 根据已知条件以及勾股定理可得，根据正方形的面积即可得到结果． 【详解】解：5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ， 正方形A、C、D的面积依次为4、5、20， ， 故选：C． 4．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（   ） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形A的边长为， 故选：B． 5．依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 根据勾股定理的逆定理对所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可 【详解】解：A．，，，不是直角三角形，故本选项不符合题意； B．，，满足，是直角三角形，故本选项符合题意；   C．，，，不是直角三角形，故本选项不符合题意；   D．，，，不是直角三角形，故本选项不符合题意；   故选：B． 6．如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（   ） A．18 B． C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴“希波克拉底月牙”的面积是：． 故选：C 7．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（    ） A．6，8，10 B．1，，3 C．1，1，2 D．6，7，8 【答案】A 【分析】先依据三角形三边关系（两边之和大于第三边 ）判断每组数能否构成三角形，对于能构成三角形的，再根据勾股定理的逆定理（两较小边的平方和等于最大边的平方 ），判断是否为直角三角形．本题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理内容并能结合三边关系判断能否构成直角三角形是解题的关键． 【详解】选项A，最大边为10，验证 ，而 ，满足勾股定理，能构成直角三角形． 选项B，最大边为3，验证 ，但 ，，不满足勾股定理． 选项C，由于 ，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形． 选项D，最大边为8，验证 ，而 ，，不满足勾股定理． 故选：A． 8．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三线合一，勾股定理的计算，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，过点作于点，，是等腰三角形，，根据点到直线，垂线段最短得到，当时，，此时的值最小，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 根据点到直线，垂线段最短得到，当时，，此时的值最小， ∴， 故选：C ． 9．如图，在的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：．∵，，，∴，则为直角三角形，故该选项符合题意； ．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题 10．有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 【答案】3，2 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据大正方形与小正方形的面积得出关于、的等式求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 小正方形的边长为， 小正方形面积是1， ， ， 大正方形面积是13，即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，2． 11．如图，在中，，，，在数轴上，点A所表示的数为，以点A为圆心，长为半径画弧，在点A右侧交数轴于点D，则点D表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点A为圆心，长为半径画弧，在点A右侧交数轴于点D， ∴， ∴点D表示的数是：， 故答案为：． 12．如图，在中，，是边上的中线．已知，．则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形性质，由相关定理得出线段间数量关系是解题的关键． 根据勾股定理求得，由斜边上中线等于斜边一半求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是边上的中线 ∴． 故答案为：5． 13．直角三角形的两边长为3、4，则第三边为 ． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．分两种情况，边长为4的边是直角边，边长为4的边是斜边，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：当边长为4的边是直角边时，第三边为：， 边长为4的边是斜边时，第三边为：． 故答案为：5或． 14．若，且a，b，c为的三边，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理；根据非负数的性质求得，，，进而根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 故答案为：24． 15．如图，正方形的边长是2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，⋯⋯，按照此规律继续作图，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索以及等腰三角形的性质，先根据题意得出前几个正方形的面积，继而得出第n个正方形的边长为，则，进而求解即可． 【详解】解：由题意得， 第一个正方形的边长为2，则； 第二个正方形的边长为，则； 第三个正方形的边长为，则； 第四个正方形的边长为，则； 第n个正方形的边长为，则； ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，斜边的垂直平分线l交于点D，连接．若，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 先利用勾股定理求出，再利用线段垂直平分线的性质得到，由此即可利用三角形周长公式求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵斜边的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴的周长， 故答案为：17． 17．如图，在中，，点为边的中点，点，分别为边，上的点，且，，连接，，． （1） °； （2）若，则 ． 【答案】 45 【分析】（1）由等腰三角形性质，可以知道，，结合三角形内角和定理，可知道，再结合平角的定义，计算出的度数； （2）延长至点G，使，连接，，先证明，得到，，结合，得到，再证明是直角三角形，最后结合，得到的长度． 【详解】解：（1）在中，， ． ，， ，． ． ． 故答案为：45； （2）如答图，延长至点，使，连接，． 点为的中点， ． 又，， ． ，． 又，， ． ， ． ． ，， ，，． ． ． ． （负值舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 18．如图，四边形的对角线，交于点，且．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的结构特征是解题的关键． 分别在，，由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理得：，， ∴将两式相加得：， 在中，由勾股定理得：， 将两式相加得：， ∴， ∵，， ∴， 解得：（舍负）， 故答案为：2． 19．如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质与判定，由题意得，，由勾股定理可得，则可推出，据此可得，证明，则． 【详解】解：由题意得，， 在中，，则由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)此时物体C升高了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 21．如图，中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为． (1)若点P恰好在的平分线上，求t的值； (2)若点P在边上运动，则当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或5或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）连接，作于点D，由勾股定理可得，由角平分线的性质可得，证明，得到，则，由题意得：，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）分当时，当时，当时，三种情况画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，当P点在的平分线上时，连接，作于点D， ∵， ∴， ∵P点在的平分线上，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； （2）解：当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， 解得． 当时，作于点F， ∴， ∵， ∴， 解得． 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴ ， 解得． 综上所述，当t的值为或5或时，为等腰三角形． 22．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)10 (2)144 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． ，，， ． （2）解：由（1）可知． ，， ，． ． 是直角三角形，． ． 23．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． （1）根据证明过程结合图形即可解答； （2）仿照（1）的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作边上的高于点，则． ∵ 又∵， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．在数学活动课上，老师给出如下问题：在中，，，点和点位于直线异侧，且， 【问题初探】（1）当时， ①如图1，点在的延长线上时，数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．易证是等边三角形，易证，将线段，，之间的数量关系转化为线段，，之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况， ②如图3，点不在的延长线上时，连接，请你直接写出线段，，之间的数量关系； 【类比探究】数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时， ①发现点在的延长线上时，点与点重合（不需要证明）． ②如图4，点不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 【答案】（1）②，证明见解析；（2）②不成立，；（3）的长为或 【分析】（1）②将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，证明是等边三角形，得，证明，可得，证明，根据勾股定理可得结论； （2）将线段绕点A顺时针旋转，得到线，连接．由旋转得 ，，证明，得，证明，根据勾股定理可得结论； 根据题意知点D有两处，如图3，过点C作，交的延长线于点E，证是等边三角形，得，，根据勾股定理求出，，，，从而根据可求出；如图4，过点C作，垂足为点F，求出，，，根据可求出即可求解． 【详解】（1）② 证明：如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴ 即 ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ （2）② 中的结论不成立， 如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． 由旋转可得，， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ 即 ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． （3）如图3，过点C作，交的延长线于点E， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∵在中，， ∴， 在中， ∴ ∴ 由（1）②得， ∴ 如图4，过点C作，垂足为点F， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∵在中，， ∴， 在中， ∴ ∴ 由（1）②得， ∴ 答：的长为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确作出辅助线构造全等三角形，运用直角三角形的性质是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版八上数学第3章勾股定理练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在中，，，的对边分别为，，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（   ） A．3 B．2 C．5 D．4 5．依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（   ） A．18 B． C．24 D．48 7．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（    ） A．6，8，10 B．1，，3 C．1，1，2 D．6，7，8 8．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 9．如图，在的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 10．有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 11．如图，在中，，，，在数轴上，点A所表示的数为，以点A为圆心，长为半径画弧，在点A右侧交数轴于点D，则点D表示的数是 ． 12．如图，在中，，是边上的中线．已知，．则的长为 ． 13．直角三角形的两边长为3、4，则第三边为 ． 14．若，且a，b，c为的三边，则的面积为 ． 15．如图，正方形的边长是2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，⋯⋯，按照此规律继续作图，则的值为 ． 16．如图，在中，，斜边的垂直平分线l交于点D，连接．若，则的周长为 ． 17．如图，在中，，点为边的中点，点，分别为边，上的点，且，，连接，，． （1） °； （2）若，则 ． 18．如图，四边形的对角线，交于点，且．若，，则 ． 19．如图，为直角三角形，，分别以的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 21．如图，中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为． (1)若点P恰好在的平分线上，求t的值； (2)若点P在边上运动，则当t为何值时，为等腰三角形？ 22．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 23．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 24．在数学活动课上，老师给出如下问题：在中，，，点和点位于直线异侧，且， 【问题初探】（1）当时， ①如图1，点在的延长线上时，数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．易证是等边三角形，易证，将线段，，之间的数量关系转化为线段，，之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况， ②如图3，点不在的延长线上时，连接，请你直接写出线段，，之间的数量关系； 【类比探究】数学活动小组还有同学提出将其角度变化进行变式，请你解答． （2）当时， ①发现点在的延长线上时，点与点重合（不需要证明）． ②如图4，点不在的延长线上时，连接，判断（1）②中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【拓展提升】老师在此基础上提出了下面的问题，请你解答． （3）当，点不在的延长线上时，连接，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$