精品解析：北京市朝阳区2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

北京市朝阳区2024~2025学年度第二学期期末质量检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题50分和非选择题100分 第一部分（选择题共50分） 一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为非零实数且，则（ ） A. B. C D. 3. 2025北京书市的主展场设在朝阳公园，公园内设置了十大展区，分别是：主题出版物展区､出版精品展销区､京津冀及其他地区文旅展示区､“旧书新知”专区､实体书店街区､儿童精品阅读区､特价书展销区､潮卖场､阅读新场景区和动漫电竞区.某市民决定从这些展区中选出两个不同展区分别安排在上､下午进行深度游览体验，则该市民不同的安排种数为（ ） A. 45 B. 90 C. 100 D. 180 4. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 40 B. -40 C. 10 D. -10 5. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在某场半程马拉松比赛上，10位选手的竞赛成绩（单位：小时）分别为：，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 2.5 B. 2.6 C. 2.8 D. 2.9 7. 青少年近视是现阶段社会广泛关注的健康问题之一.已知某地区高中､初中､小学在校学生数之比为，为了解该地区中小学生的近视情况，采用按比例分配的分层随机抽样方法，得到高中在校学生近视率为，初中在校学生近视率为，小学在校学生近视率为，则该地区中小学生总体近视率估计为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，其导函数为，则“”是“恰有两个极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. -1 10. 现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是（ ） A. B. C D. 第二部分（非选择题共100分） 二､填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 函数的定义域是__________. 12. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设为该运动员连续射击3次的中靶次数，则__________. 13. 若且，则最大值为__________；的最小值为__________. 14. 某校数学建模社团共有10名成员，其中高一男生3人，女生2人，高二男生2人，女生3人，现从中选出4人组成一支队伍参加建模比赛，要求队伍中至少有2名女生且所有女生都来自同一年级，则不同选法共有__________种. 15. 设实数，函数则__________；若存在实数使得方程恰有三个不同的实数解，则的一个取值为__________. 16. 对任意的，定义函数.给出下列四个结论： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③当且时，； ④当且时， 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 某鸟禽馆有三类鸟，该馆计划为这些鸟建立生态园.为了合理规划，该馆先建设一个小型试验园，包括浆果植物区､昆虫丰富区和水体区，在馆内随机抽取100只鸟放置在小型试验园中进行观察，在某一时刻这些鸟的分布情况见下表： 浆果植物区 昆虫丰富区 水体区 A类 30只 2只 18只 B类 2只 6只 2只 C类 5只 2只 33只 用频率估计概率. （1）从该馆内随机抽取1只鸟，估计这只鸟是类鸟的概率； （2）此刻从小型试验园的昆虫丰富区随机抽取3只鸟，设为其中C类鸟的只数，求的分布列和数学期望； （3）为了解该馆内这三类鸟的生存状况，现从馆内随机抽取只鸟进行健康检查，要求其中至少有1只B类鸟的概率大于0.5，根据表中数据，写出的最小值.（只需写出结论，参考数据：） 19. 已知函数图象经过点. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 20. 设函数和函数的定义域都是实数集，对任意的实数，定义集合且. （1）若，求集合中元素的最小值； （2）若，求证：对任意的，集合中不存在正数. 21. 设为正整数，已知集合，其中.若存在，使得中存在三个不同的数满足，则称集合具有性质. （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）若集合具有性质，且，求的值； （3）若集合满足且，求证：集合具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市朝阳区2024~2025学年度第二学期期末质量检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题50分和非选择题100分 第一部分（选择题共50分） 一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并运算的定义即可求解. 【详解】由， 故， 故选：D 2. 已知为非零实数且，则（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断ABC；利用指数函数性质判断D. 【详解】对于ABC，取，满足，而，ABC错误； 对于D，由，得，因此，D正确. 故选：D 3. 2025北京书市的主展场设在朝阳公园，公园内设置了十大展区，分别是：主题出版物展区､出版精品展销区､京津冀及其他地区文旅展示区､“旧书新知”专区､实体书店街区､儿童精品阅读区､特价书展销区､潮卖场､阅读新场景区和动漫电竞区.某市民决定从这些展区中选出两个不同展区分别安排在上､下午进行深度游览体验，则该市民不同的安排种数为（ ） A. 45 B. 90 C. 100 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】理解题意，只需用排列数即可表示该市民不同的安排种数. 【详解】依题意，该市民只需从这十大展区中选出两个并在上午和下午进行排序即可， 故不同的安排种数为. 故选：B. 4. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 40 B. -40 C. 10 D. -10 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二项展开式的通项，根据题意要求确定的值，代入通项即可求得. 【详解】的展开式的通项为， 依题意需使，解得，故的系数是. 故选：A. 5. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 6. 在某场半程马拉松比赛上，10位选手的竞赛成绩（单位：小时）分别为：，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 2.5 B. 2.6 C. 2.8 D. 2.9 【答案】C 【解析】 【分析】先将这组数据从小到大排序，根据百分位数的定义即可确定答案. 【详解】将竞赛成绩按照从小到大顺序排列为：， 因，则这组数据的第75百分位数是第8个数据，即2.8. 故选：C. 7. 青少年近视是现阶段社会广泛关注的健康问题之一.已知某地区高中､初中､小学在校学生数之比为，为了解该地区中小学生的近视情况，采用按比例分配的分层随机抽样方法，得到高中在校学生近视率为，初中在校学生近视率为，小学在校学生近视率为，则该地区中小学生总体近视率估计为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，可得该地区高中､初中､小学在校学生数所占比例和近视率，利用全概率公式计算即得. 【详解】依题意，该地区高中､初中､小学在校学生数所占的比例分别为， 而采用分层随机抽样方法得到的高中､初中､小学在校学生近视率分别为，，， 故该地区中小学生总体近视率估计为. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，其导函数为，则“”是“恰有两个极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的实数根，与极值点的关系，即可结合必要充分条件的定义求解. 【详解】当时，由于，令，则或者， 当时，即，此时在恒成立， 此时的定义域单调递增，此时无零点，故充分性不成立， 若恰有两个极值点，则在上有两个不相等的实数根， 则，，且时，解得且，故必要性成立， 故选：B 9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出当时的解析式，再求出及目标值. 【详解】当时，，令，则，， 因此当时，，由函数是上的奇函数，， 得，则，解得， 所以. 故选：C 10. 现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出当时的所有结果，利用古典概率及条件概率公式求解判断BC；利用期望、方差的定义计算判断CD. 【详解】设蓝色骰子掷出的点数为，同时抛掷这三枚骰子，在的条件下，出现的 结果有：，共10个， 对于A，等价于，只有1个结果，， ，，A错误； 对于B，的结果有，， 的结果有，，B错误； 对于C，的可能取值为，， 因此，C正确； 对于D，，同理， ，D错误. 故选：C 第二部分（非选择题共100分） 二､填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有意义，得到不等式组，求解并正确表示即得. 【详解】函数有意义，等价于， 解得且， 故该函数的定义域为：. 故答案为：. 12. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设为该运动员连续射击3次的中靶次数，则__________. 【答案】2.7 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】根据题意可知, 故， 故答案为：2.7 13. 若且，则的最大值为__________；的最小值为__________. 【答案】 ①. 8 ②. 4 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可求得的最大值；对于，采用消元法将其化成，求出的范围再确定其最小值即可. 详解】当或时，； 当时，由，解得，当且仅当时，取得最大值为8； 因，由可得，故得， 即当时，最小值为4. 故答案为：8；4 14. 某校数学建模社团共有10名成员，其中高一男生3人，女生2人，高二男生2人，女生3人，现从中选出4人组成一支队伍参加建模比赛，要求队伍中至少有2名女生且所有女生都来自同一年级，则不同选法共有__________种. 【答案】45 【解析】 【分析】利用组合计数问题，结合两个基本原理列式求解. 【详解】选2名女生有（种）；选3名女生有（种）， 所以不同选法共有45种. 故答案为：45 15. 设实数，函数则__________；若存在实数使得方程恰有三个不同的实数解，则的一个取值为__________. 【答案】 ①. 0 ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】因，将代入解析式易求得；对于第二空，应将问题转化为与函数有3个交点的情况，利用求导，配方分析函数在两段区间上的图象特征求得参数的范围即得答案. 【详解】由题意，； 对于 当时，的对称轴为，因，故函数在上单调递增， 图象恒过点，此时最多与函数有一个交点； 当时，，， 由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，也是最大值，即， 当时，，当时，，如图所示， 依题意，要使方程恰有三个不同的实数解，需使与函数有3个交点， 由图知，必须满足，解得，故可取. 故答案为：0；（答案不唯一） 16. 对任意的，定义函数.给出下列四个结论： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③当且时，； ④当且时，. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据的定义，结合作差法即可求解①，举反例即可求解②，根据组合数的性质即可求解③,根据的定义，代入化简即可求解④. 【详解】对于①，，则， 当时，时， 当且时，，故，即，故①对， 对于②, ，则 ，故②错误， 对于③，当且时，， 故，故；则③正确， ④当且时， ，故④正确， 故答案为：①③④ 三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求解分式不等式，再根据交集运算求解即得； （2）将集合的不等式按照参数分类讨论其解集，利用集合间的包含关系得到不等式，分别求解后综合考虑即可. 【小问1详解】 由可得或，即或， 当时，，故； 【小问2详解】 由或可得， 当时，，由可得，解得； 当时，满足，故符合题意； 当时，，由可得，解得. 综上，可知实数的取值范围是. 18. 某鸟禽馆有三类鸟，该馆计划为这些鸟建立生态园.为了合理规划，该馆先建设一个小型试验园，包括浆果植物区､昆虫丰富区和水体区，在馆内随机抽取100只鸟放置在小型试验园中进行观察，在某一时刻这些鸟的分布情况见下表： 浆果植物区 昆虫丰富区 水体区 A类 30只 2只 18只 B类 2只 6只 2只 C类 5只 2只 33只 用频率估计概率. （1）从该馆内随机抽取1只鸟，估计这只鸟是类鸟的概率； （2）此刻从小型试验园的昆虫丰富区随机抽取3只鸟，设为其中C类鸟的只数，求的分布列和数学期望； （3）为了解该馆内这三类鸟的生存状况，现从馆内随机抽取只鸟进行健康检查，要求其中至少有1只B类鸟的概率大于0.5，根据表中数据，写出的最小值.（只需写出结论，参考数据：） 【答案】（1）； （2）分布列见解析，； （3）7. 【解析】 【分析】（1）利用表格中数据，求出古典概率即可. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）求出只鸟全是非类鸟的概率，利用对立事件的概率公式，结合对数的运算即可求解. 【小问1详解】 由表格中数据知，100只鸟中类鸟的只数为， 所以从该馆内随机抽取1只鸟，这只鸟是类鸟的概率估计为. 【小问2详解】 的所有可能值为：0，1，2， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 【小问3详解】 的最小值为7.理由如下： 由表格中数据知，随机抽取的100只鸟中类鸟有10只，非类鸟有90只，故可以估计该馆内随机抽到已知类鸟的概率为，非类鸟的概率为， 则抽到的只鸟都为非类鸟的概率为，， 此时至少有1只B类鸟的概率为，即， 则， 两边取对数可得，即， 代入，则 则当故， 所以当至少有1只B类鸟的概率大于0.5时，的最小值为7. 19. 已知函数的图象经过点. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据直线点斜式求解， （2）求导，对分类讨论，结合导函数的正负即可求解函数的单调性， （3）根据（2）的单调性，结合对分类讨论，即可求解函数的最值求解. 【小问1详解】 代入可得，解得， 当时，所以， 又， 故切线方程为，即 【小问2详解】 定义域为， ， 令解得或， 当时，此时，此时在上单调递增， 当时，令，则或，令，则， 故的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，令，则或，令，则， 故的单调递减区间为，的单调递增区间为， 【小问3详解】 当时，有（2）知：在上单调递增， 所以当时，， 当时，，由（2）知：在上单调递增， 所以当时，， 当时，，由（2）可知在上单调递减， 所以，矛盾， 综上可得 20. 设函数和函数的定义域都是实数集，对任意的实数，定义集合且. （1）若，求集合中元素的最小值； （2）若，求证：对任意的，集合中不存在正数. 【答案】（1）1 （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出并构造函数，利用导数求出最小值即可得解. （2）构造函数，利用导数求出此函数的单调区间，再按分类求出的最大值，进而利用导数证明该最大值小于0即可. 【小问1详解】 依题意，， 令，求导得， 函数在上单调递增，， 所以集合中元素的最小值是1. 【小问2详解】 设， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ①当时，在的最大值为， 令，求导得， 函数在上单调递减，，因此， 则当时，集合中不存在正数； ②当时，在的最大值为， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，，因此， 则当时，集合中不存在正数， 所以对任意的，集合中不存在正数. 21. 设为正整数，已知集合，其中.若存在，使得中存在三个不同的数满足，则称集合具有性质. （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）若集合具有性质，且，求的值； （3）若集合满足且，求证：集合具有性质. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）384； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用集合新定义验证即可. （2）确定元素大小关系，利用集合新定义用表示并求和，进而求出4个元素即可 （3）根据给定条件，利用反证法推理得证. 【小问1详解】 集合具有性质，理由如下： 令，当时，， 所以集合具有性质. 【小问2详解】 不妨设，对任意，，则， 由集合具有性质，则存在，使得， 又，因此， ，则， 即，显然为正偶数，又，于是，， 所以. 【小问3详解】 不妨设，假设集合不具有性质， 即对任意，中不存在三个不同的数满足， 考虑，则不存在三个不同的正整数满足， 即至多存在两个不同的正整数满足， 由，得至多有两个1，两个2，…，两个， 因此， 于是与矛盾， 所以假设不成立，即集合具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$