精品解析：重庆市长寿区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（B卷）

长寿区2025年春期高中期末质量监测 高一年级数学 试题（B卷） 注意事项： 1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页. 2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效. 3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写. 4.答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数的定义即可得出结论. 【详解】由题意可知复数的虚部为，即. 故选：B 2. 某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质列式求解即可. 【详解】根据分层抽样可得，解得. 故选：D. 3. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得，所以，， 故选：A 4. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积公式直接得答案. 【详解】因为向量，的夹角为，且，， 则. 故选：A 5. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 6. 若，，，，为空间直线，，为平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，，则 B. ，，，则 C. ，，，则 D. ，是异面直线，则，在内的射影为两条相交直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面垂直的性质和判定定理可以判定ABC都正确，考虑到异面直线在同一平面内的射影不同情况，可知D错误. 【详解】由于两平行线与任意直线所成的角都相等可知A正确； 由平面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知B正确； 由平面平行的性质和线面垂直的性质可得C正确； 由于两异面直线在同一平面内的射影可能是平行直线，相交直线，一条直线和直线外的一点，故D错误， 综上不正确的是D， 故选：D. 7. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 10 9 8 8 6 乙：9 10 7 8 7 7 8 则下列判断正确的是（ ） A. 甲射击的平均成绩比乙好 B. 乙射击的平均成绩比甲好 C. 甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数 D. 甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数、众数、中位数的定义分别求出甲乙两人射击环数的平均数、众数、中位数，然后比大小即可. 【详解】由题意得，甲射击的平均成绩为，众数为8，中位数为8； 乙射击的平均成绩为，众数为7，中位数为8； 故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，故A B错误； 甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故C错误； 甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数，故D正确； 故选：D． 8. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】做出平行线，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】 如图所示，不妨设正方体的棱长为1. 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 在中，， 所以为等边三角形，则， 因此，异面直线与所成的角为. 故选：C. 9. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径为r，分别求出圆柱及球的表面积，即可求出表面积之比． 【详解】设球的半径为r， 则，， 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为， 故选：C. 10. 某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析出总的基本事件数和中奖的基本事件数，再结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回， 连续取2次的基本事件共有种， 取出的2个小球号码之和等于5的基本事件有：，共2种， 取出的2个小球号码之和等于4的基本事件有：，共3种， 取出的2个小球号码之和等于3的基本事件有：，共4种， 所以中奖的概率是. 故选：C. 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理的变形公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 12. 已知是的共轭复数，其中，则=______ 【答案】 【解析】 【分析】求出，再根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 13. 圆台的上下底面半径为2和3，圆台的高为1，则圆台的体积为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式求解即可. 【详解】依题意，圆台上、下底面的面积分别为， 故圆台的体积为， 故答案为： 14. 在四边形中，若，则该四边形的面积为______ 【答案】10 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可知，结合模长公式可求面积. 【详解】因为， 则，且， 可知，所以该四边形的面积为. 故答案为：10. 15. 如图，在矩形中，为的中点，若以向量为基底，则______（用向量表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为： 三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分.） 16. 已知的内角所对边分别为，若，，. （1）求边长的值； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理联立解方程组可得结果； （2）代入三角形面积公式计算即可； 【小问1详解】 由余弦定理得，即， 又,联立解得 故； 【小问2详解】 由（1）知的面积为 17. 已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求： （1）写出这个实验的样本空间； （2）求恰有1件次品的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接列举即可； （2）根据古典概率公式计算即可. 【小问1详解】 记2件次品、3件合格品依次为：， 则样本空间为， 样本空间共有10个样本. 【小问2详解】 恰有1件次品所对应的子集为， 故所求概率为. 18. 如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明即可； （2）易知点到平面的距离等于点到平面的距离，即为. 【小问1详解】 证明：因平面，平面，则， 又，故， 又三棱柱是直三棱柱，所以， 又易知与相交，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为矩形，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 由已知条件平面，即点到平面的距离等于. 在中，, 故 19. 甲、乙两人组成“星对”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投一次，已知甲每次投篮投中的概率为，甲乙两人都投中的概率为.在每轮投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也不影响. （1）求乙每轮投中的概率； （2）求“星对”在两轮活动中投中3个球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的定义列方程即可求得乙每轮投中的概率为； （2）由互斥事件的加法公式计算可得. 【小问1详解】 设甲、乙每轮投中的概率分别为，已知， 则； 即乙每轮投中的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 则“星对”在两轮活动中投中3个球的概率为 . 20. 如图，点E不在平面ABCD上，四边形ABCD是正方形，F为BE的中点. （1）求证：DE平面ACF； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接交于，连接． 因为、分别为、的中点， 所以，平面， 面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用面面夹角的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 则分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间向量坐标系，如图， 则， 即， ，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则 ，即， 取，即平面的法向量， 由， 即二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长寿区2025年春期高中期末质量监测 高一年级数学 试题（B卷） 注意事项： 1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页. 2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效. 3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写. 4.答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 3. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A. B. C. D. 4. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，，为空间直线，，为平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，，则 B. ，，，则 C. ，，，则 D. ，是异面直线，则，在内的射影为两条相交直线 7. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 10 9 8 8 6 乙：9 10 7 8 7 7 8 则下列判断正确的是（ ） A. 甲射击的平均成绩比乙好 B. 乙射击的平均成绩比甲好 C. 甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数 D. 甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数 8. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（ ） A. B. C. D. 10. 某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，则______ 12. 已知是的共轭复数，其中，则=______ 13. 圆台的上下底面半径为2和3，圆台的高为1，则圆台的体积为______ 14. 在四边形中，若，则该四边形的面积为______ 15. 如图，在矩形中，为的中点，若以向量为基底，则______（用向量表示） 三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分.） 16. 已知的内角所对边分别为，若，，. （1）求边长的值； （2）求的面积. 17. 已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求： （1）写出这个实验的样本空间； （2）求恰有1件次品的概率. 18. 如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离. 19. 甲、乙两人组成“星对”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投一次，已知甲每次投篮投中的概率为，甲乙两人都投中的概率为.在每轮投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也不影响. （1）求乙每轮投中的概率； （2）求“星对”在两轮活动中投中3个球的概率. 20. 如图，点E不在平面ABCD上，四边形ABCD是正方形，F为BE的中点. （1）求证：DE平面ACF； （2）若，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $