第2章　圆 单元测试　2024—2025学年湘教版数学九年级下册

湘教版九年级下册 第2章　圆 单元测试 一、选择题 1.如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 2.如图，四边形内接于，为的直径，D为弧的中点，过点D作于点E，若，则等于（　　） A. B. C. D. 3.图1是木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点是所在圆的圆心，点离地高度均为，水平距离，则的长为（    ） A. B. C. D. 4.如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（      ） A.内部 B.外部 C.圆上 D.不能确定 5.如图，中，以点A为圆心，r为半径作，当时，与的位置关系是（    ） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 6.如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2cm/s速度向右作匀速运动，经过ts与直线相切，则t为（   ） A.2s B.s或2s C.2s或s D.s或s 7.如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（    ） A.4 B. C. D.5 8.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（     ） A. B. C. D. 9.图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A. B. C. D. 10.如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（    ） A. B. C. D. 11.如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A.72° B.54° C.60° D.36° 12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题 13.如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为     ． 14.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径    ，并且平分弦所对的       ． 15.如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为              ． 16.如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为       ． 17.如图，的半径是4，等边内接于，点D在上，点E在上，且，于点F，则阴影部分的面积是      ． 三、解答题 18.如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长． 19.关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题： （1）求证：关于x的“勾系方程”必有实数根. （2）如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系方程”. ①求的度数， ②直接写出的长.（用含a、b的式子表示） 20.如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）． （1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，求圆心M的坐标； （2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值； （3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围． 21.如图，点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心，已知，求和的度数． 22.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请用直尺和圆规作出Rt△ABC的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若AB＝6，∠A＝30°，请求出扇形AOC的面积． 湘教版九年级下册 第2章　圆 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【答案】B 【解析】弦为，共有3条. 故选：B． 2.如图，四边形内接于，为的直径，D为弧的中点，过点D作于点E，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，连接， ∵为的直径，D为弧的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵，则， ∴是等腰直角三角形，又， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 3.图1是木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点是所在圆的圆心，点离地高度均为，水平距离，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，连接，作半径交于， 则，， 设，则， ， ， 解得：. 故选：D． 4.如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（      ） A.内部 B.外部 C.圆上 D.不能确定 【答案】C 【解析】如图，根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，确定圆心为O， ∵， ∴点M在圆上. 故选：C. 5.如图，中，以点A为圆心，r为半径作，当时，与的位置关系是（    ） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 【答案】B 【解析】∵中，，， ∴， ∵， ∴， 当时，与的位置关系是：相切. 故选：B． 6.如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2cm/s速度向右作匀速运动，经过ts与直线相切，则t为（   ） A.2s B.s或2s C.2s或s D.s或s 【答案】D 【解析】设圆与直线b交于A、B两点， 当O从点P出发以2cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1， 当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切， 当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切． 故选：D． 7.如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（    ） A.4 B. C. D.5 【答案】D 【解析】在Rt△AOB中，，， ∴； ∵，， ∴OC=6， ∴C（0，6）； ∵， ∴A（6，0）； 设直线AC的解析式为， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为； 设的半径为m， ∵与相切， ∴点P的横坐标为m， ∵点P在直线AC上， ∴P（m，-m+6）； 连接PB、PO、PA， ∵与、均相切， ∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m， ∵P（m，-m+6）； ∴△AOP边OA上的高为-m+6， ∵， ∴， 解得m=1， ∴P（1，5）； ∵抛物线过点P， ∴． 故选：D． 8.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接OC，∵OC=OB， ∴∠OCB=∠B， ∵DE⊥AB， ∴∠BDF=90°， ∴∠B+∠DFB=90°， ∵∠EFC=∠BFD， ∴∠B+∠EFC=90°， ∵∠ECF=∠EFC， ∴∠OCB+∠ECF=90°， ∴CE是⊙O的切线． 故选：C． 9.图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为：. 故选：D． 10.如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接， ∵是上半圆的中点， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∵点从点运动到点， ∴点的运动轨迹为一个半圆， ∴点运动的路径长是. 故选：． 11.如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A.72° B.54° C.60° D.36° 【答案】A 【解析】由题意，得：的度数为. 故选：A． 12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】如图，连接， 四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形， 点在上，且是和的角平分线，， ， ， ， 恰好是圆O的一个内接正边形的一边， . 故选：D． 二、填空题 13.如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为     ． 【答案】50° 【解析】是的直径， ， ， 四边形内接于， ， . 故答案为：50°． 14.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径    ，并且平分弦所对的       ． 【答案】垂直于弦；两条弧 【解析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 故答案为：垂直于弦，垂直于弦． 15.如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为              ． 【答案】或 【解析】在中，为边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴边的高， ∵与中线有且只有一个公共点， ∴的半径的取值范围为或． 故答案为：或． 16.如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为       ． 【答案】 【解析】连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ． 17.如图，的半径是4，等边内接于，点D在上，点E在上，且，于点F，则阴影部分的面积是      ． 【答案】 【解析】连接、，是等边三角形， ， ， ， ， 即， ， 即， 在和中， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 过O作于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴阴影部分的面积=弓形的面积 . 故答案为：. 三、解答题 18.如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长． 【答案】解：如图所示，因为AB∥CD，所以过点O作MN⊥AB交AB于点M，交CD于点N，连接OA，OC， 由垂径定理可得AM=， ∴在Rt△AOM中，， ∴ON=MN-OM=1， ∴在Rt△CON中，， ∴. 【解析】 19.关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题： （1）求证：关于x的“勾系方程”必有实数根. （2）如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系方程”. ①求的度数， ②直接写出的长.（用含a、b的式子表示） 【答案】解：（1）证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”， 且，， ， ， ， 方程必有实数根. （2）①，理由如下： 作于，延长交于，连接， ， ， ， ， ， 是“勾系方程”， ， ； ， ； ， ， ， ， ． ②如图所示，过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形， ∴， ∵，则， ∴. 【解析】 20.如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）． （1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，求圆心M的坐标； （2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值； （3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围． 【答案】解：（1）如图所示；M（-1，0）. （2）连接MD，MG，ME， ∵点G为弦EF的中点，EM=FM=， ∴MG⊥EF， ∵EF=4， ∴EG=FG=2， ∴MG==1， ∴点G在以M为圆心，1为半径的圆上， ∴当点G在线段DM延长线上时DG最大，此时DG=DM+GM， ∵DM==5， ∴DG的最大值为5+1=6. （3）设P点的横坐标为x， 当P点位于线段MB及延长线上且P、Q两点间距离等于1，时，， ∴或， 解得|xP|=2+或2-， ∵此时P点在第三象限， ∴x＜0， ∴x=-2-或-2+， 即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为-2-＜x＜-2+； 当P点位于线段BM及延长线上且P、Q两点间距离等于1时，则PQ：AM=|x|：|xM|， ， 解得|x|=， ∵此时P点在第一或二象限， ∴x=±， 即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为-＜x＜； 综上所述，点P横坐标的取值范围为-＜x＜或-2-＜x＜-2+. 【解析】 21.如图，点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心，已知，求和的度数． 【答案】解：如图，在上取点，连接 四边形为的内接四边形， 为的内心， 分别平分 ， ， . 【解析】 22.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请用直尺和圆规作出Rt△ABC的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若AB＝6，∠A＝30°，请求出扇形AOC的面积． 【答案】解：（1）如图即为Rt△ABC的外接圆，圆心为O. （2）∵AB是直径， ∴， ∵∠A=30°， ∴∠B=90∠A=9030°=60°， ∵AB=6，∠B=60°， ∴圆O的半径为3，圆心角∠AOC=120°， ∴扇形AOC的面积为：=3． 答：扇形AOC的面积为3． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$