第十七章　因式分解　　课件-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解 17.2用公式法分解因式 第2课时 运用完全平方公式分解因式 昊 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 自基础进阶 1.下列各式中，能运用完全平方公式分解因式的是（D) A.4x2-1 B.4x2+4x-1 C.x2-xy+y2 D.x2-x+ 2.若4x2一(k+1)x+9能用完全平方公式分解因式，则k的值为（ C) A.±6 B.±12 C.-13或11 D.13或一11 34568902B14 心返回目录 3.分解因式： (1) （2023·呼和浩特)2b3-4b2+2b=2b(b-1)2 (2) (2023·宜宾)x3-6x2+9x=x(x-3)2 4.已知y=2,x-3y=3,则2x3y-12x2y2+18y3=36 124568902B4 心返回目录 5.把下列各式分解因式： (1)3a2-2ab+3b2. 解：原式=号（a2-6ab+92)=号（a-3b)2 (2)(x-y)2-6(x-y)+9. 解：原式=（x-y-3)2 (3)x4-18x2y2+81y4 解：原式=(x2-9y2)2=（x十3y)2（x-3y)2 1234689012B14 心返马目录 素能攀升 6.（2023·周口期末)将下列多项式分解因式，结果中不含有因式x+2 的是(C) A.x2-4 B.(x-2)2+8(x-2)+16 C.x3-4x2+4x D.x2+2x 7.下列分解因式正确的是(C) A.a3-a=a（a2-1) B.-x2+4xy-4y2=-（x+2y) 2℃.x3+4x2y+4xy2=x（x+2y)2D.16x2+16x+4=(4x+2)2 89012B14 心返回目录 8.若△ABC的三边长a,b,c满足(a一b)·（b2-2bc+c2)=0, 则△ABC的形状是(A) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 9分解因式：2-42-G=-(绿y2-2x 12345602B4 心返回目录 10.利用因式分解计算：1212+121×158+792=40000 11.分解因式： (1)4x2y2-（x2+y2)2. 解：原式=-[（x2+y2)2-(2xy)21=-（x2+y2+2xy)(x2+ 2 (2y9←-k362(63)2斗36b2. 解：原式=9[(a-b)2-4b(a-b)+4b21=9(a-b-2b)2=9 (a-3b)2. 123456892B4 心返回目录 12. (2024·泰安新泰期末)下面是某同学对多项式(x2一4x十2) (x2 一4x+6)+4进行因式分解的过程： 解：设x2-4x=y, 原式=（y+2)(y+6)+4=y2+8y+16=(y+4)2=（x2-4x 十 解：2设x22)y,则原式=y（y+2)+1=y2+2y+1=（y+1)2 请模街以玉法对多项我(D-2x)（x2一2x十2)十1进行因式分解， 123456890B14 心返回目录 13.阅读材料： 分解因式：（x+y)2+2(x+y)+1. 解：将“x十y”看成整体，令x十y=A,则原式=A2+2A+1=（A +1)2再将“A”还原，得原式=(x+y+1) 2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一 种思想方法 请你用“整体思想”解决问题： (1)分解因式：（x一y)2-2（x-y)+1. 解：(1)原式=(x-y-1)2 (2)分解因式：(a+b)(a+b-4)+4. (2)原式=(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b-2)2 1234568901112国 14 心返马目录专题特训十　灵活选择方法分解因式 第十七章　因式分解 类型一　公式法分解因式的题型 （一） 直接运用公式 1. 把下列各式分解因式： （1） 4（x＋2y）2－9（x－y）2. 解：原式＝（5x＋y）（－x＋7y）. （2） （m＋n）2－6（m＋n）＋9. 解：原式＝（m＋n－3）2. 1 2 3 4 5 6 （二） 先提公因式，再运用公式 2. 把下列各式分解因式： （1） （x－1）＋b2（1－x）. 解：原式＝（x－1）－b2（x－1）＝（x－1）（1－b2）＝（x－1） （1＋b）（1－b）. （2） －3x7＋24x5－48x3. 解：原式＝－3x3（x4－8x2＋16）＝－3x3（x2－4）2＝－3x3（x＋2）2 （x－2）2. 1 2 3 4 5 6 （三） 先展开，再运用公式 3. 分解因式：4x（y－x）－y2. 解：原式＝4xy－4x2－y2＝－（4x2－4xy＋y2）＝－（2x－y）2. 1 2 3 4 5 6 类型二　特殊的因式分解法 （一） 分组分解法 4. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a－3ab－4 ＋6b分解因式. 【观察】 经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式＝（2a－4）－（3ab－6b） ＝2（a－2）－3b（a－2） ＝（a－2）（2－3b） 1 2 3 4 5 6 【挑战】 （2） 请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2分解因式. 解：（1） 原式＝（x2－a2）＋（x＋a）＝（x＋a）（x－a）＋（x ＋a）＝（x＋a）（x－a＋1）. （2） 原式＝（ax－bx）＋（a2－2ab＋b2）＝x（a－b）＋（a－ b）2＝（a－b）（x＋a－b）. 【类比】 （1） 请用分组分解法将x2－a2＋x＋a分解因式. 1 2 3 4 5 6 （二） 拆、添项法 5. 分解因式：x4＋ . 解：原式＝x4＋x2＋ －x2＝ －x2＝（x2＋x＋ ）（x2－x＋ ）. 1 2 3 4 5 6 （三） 换元法 6. 分解因式：（a2＋2a－2）（a2＋2a＋4）＋9. 解：设a2＋2a＝m，则原式＝（m－2）（m＋4）＋9＝m2＋4m－ 2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2＝（a2＋2a＋1）2＝（a＋1）4. 1 2 3 4 5 6 $$17.2　用公式法分解因式 第1课时　运用平方差公式分解因式 第十七章　因式分解 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 有下列多项式：① a2＋b2；② a2－b2；③ －a2＋b2；④ －a2－b2.其 中，能用平方差公式进行因式分解的是（　D　） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 2. x4－1分解因式的结果为（　D　） A. （x4＋1）（x4－1） B. （x4＋1）（x2－1） C. （x2＋1）（x2－1） D. （x2＋1）（x＋1）（x－1） D D 3. （2023·内江）分解因式：x3－xy2＝ ⁠. 4. 若6x＋3y＝4，x－ ＝1，则4x2－y2＝ 　 　. x（x＋y）（x－y）　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 5. 把下列各式分解因式： （1） m2－（2m＋3）2. 解：原式＝（m＋2m＋3）（m－2m－3）＝（3m＋3）（－m－3） ＝－3（m＋1）（m＋3）. （2） （m＋1）（m－9）＋8m. 解：原式＝m2－8m－9＋8m＝m2－9＝（m＋3）·（m－3）. （3） x2（x－y）＋y2（y－x）. 解：原式＝x2（x－y）－y2（x－y）＝（x2－y2）（x－y）＝（x＋ y）（x－y）（x－y）＝（x－y）2（x＋y）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 6. 下列各数中，可以写成两个相邻奇数的平方差形式的是（　A　） A. 520 B. 502 C. 250 D. 205 7. 已知a，b，c是三角形的三边长，则（a－b）2－c2的值（　B　） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 若a＋b＝4，a－b＝1，则（a＋1）2－（b－1）2的值为 ⁠. 9. 已知a＋b＝1，则a2－b2＋2b＋9的值为 ⁠. 10. 若n为任意整数，且（n＋17）2－n2的值总可以被k（k为正整数， 且k≠1）整除，则k的值为 ⁠. 12　 10　 17　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. 利用因式分解简便计算： （1） . 解：原式＝ ＝ ＝ . （2） ＋ ＋…＋ . 解：原式＝ ＋ ＋…＋ ＝－1＋（－1）＋…＋（－1）＝－999. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 12. （2024·无锡梁溪期中）已知4m＋n＝40，2m－3n＝5.求（m＋ 2n）2－（3m－n）2的值. 解：（m＋2n）2－（3m－n）2＝（m＋2n＋3m－n）（m＋2n－ 3m＋n）＝（4m＋n）（3n－2m）＝－（4m＋n）（2m－3n）. 当4m＋n＝40，2m－3n＝5时，原式＝－40×5＝－200. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 如图，工人从一块半径为Rm的圆形板材上，裁下4个半径为rm的 小圆. （第13题） （1） 求涂色部分的面积. 解：（1） 涂色部分的面积为（πR2－4πr2）m2. （2） 若R＝6.8，r＝1.6，求涂色部分的面积（结果保留π）. （2） ∵ R＝6.8，r＝1.6，∴ 涂色部分的面积为π×6.82－π×4×1.62 ＝π×（6.82－3.22）＝π×（6.8＋3.2）×（6.8－3.2）＝36π（m2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 现有一列式子：① 552－452；② 5552－4452；③ 55552－ 44452；…；则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（　D　） A. 1.1111111×1016 B. 1.1111111×1027 C. 1.111111×1056 D. 1.1111111×1017 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. （2023·扬州期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方 差，那么称这个正整数为“神秘数”.如4＝22－02，12＝42－22，20＝62 －42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”. （1） 28是“神秘数”吗？为什么？ 解：（1） 28是“神秘数”.∵ 28＝82－62，∴ 28是“神秘数”. （2） 设两个连续偶数为2k＋2和2k（其中k为非负整数），由这两个 连续偶数构造而成的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ （2） 由这两个连续偶数构造而成的“神秘数”是4的倍数.∵ （2k＋ 2）2－（2k）2＝4k2＋8k＋4－4k2＝8k＋4＝4（2k＋1），又∵ k为非 负整数，∴ 2k＋1为非负整数.∴ 由这两个连续偶数构造而成的“神秘 数”是4的倍数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （3） 若长方形的相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为 “神秘数”. （3） 设长方形的相邻两边长分别为2k＋2，2k，则其周长为2（2k＋2 ＋2k）＝8k＋4＝（2k＋2）2－（2k）2.∴ 该长方形的周长一定为 “神秘数”. （4） 若将三位数中最大的“神秘数”记为a，两位数中最大的“神秘 数”记为b，请写出a＋b的值. （4） 由（2），得8k＋4是“神秘数”.由8k＋4＜1000，得k＜124.5.∴ k的最大整数值为124.∴ a＝8×124＋4＝996.由8k＋4＜100，得k＜12.∴ k的最大整数值为11.∴ b＝8×11＋4＝92.∴ a＋b＝996＋92＝1088. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$17.1　用提公因式法分解因式 第十七章　因式分解 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2025·武汉黄陂期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解 的是（　C　） A. a（a＋1）＝a2＋a B. （a＋1）（a－1）＝a2－1 C. a2－2a＋1＝（a－1）2 D. （a＋1）（a－2）＝a2－a－2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 2. 将多项式x2y（a－b）－xy（b－a）＋y（a－b）提公因式后， 得到的另一个因式为（　B　） A. x2－x＋1 B. x2＋x＋1 C. x2－x－1 D. x2＋x－1 3. （2023·黄石）分解因式：x（y－1）＋4（1－y）＝ ⁠ ⁠. B （y－1）（x －4）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 4. （2025·绵阳安州期末）若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积 为15，则a2b＋ab2的值为 ⁠. 5. 易错题　把下列各式分解因式： （1） 10a4b3－15a4b2＋20a3b4. 解：原式＝5a3b2（2ab－3a＋4b2）. （2） －8x4y＋6x3y2－2x3y. 解：原式＝－2x3y（4x－3y＋1）. 120　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 6. （2023·烟台期末）将多项式m2（a－3）＋m（3－a）分解因式的 结果为（　C　） A. （a－3）（m2＋m） B. （a－3）（m2－m） C. m（a－3）（m－1） D. m（a－3）（m＋1） 7. 已知a－b＝3，b－c＝－4，则a2－ac－b（a－c）的值为 （　D　） A. 4 B. －4 C. 3 D. －3 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 8. 已知x2＋x＝1，则x4＋2x3－x2－2x的值为（　B　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 9. 利用因式分解计算：（－2）101＋（－2）100＋299＝ ⁠. 10. 设P＝a2（－a＋b－c），Q＝－a（a2－ab＋ac），则P ⁠ Q（填“＞”“＜”或“＝”）. B －299　 ＝　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 11. 利用因式分解简便计算： （1） 2025＋20252－2025×2026. 解：原式＝2025×（1＋2025－2026）＝2025×0＝0. （2） 56.2×2025－462×202.5. 解：原式＝562×202.5－462×202.5＝202.5×（562－462）＝ 202.5×100＝20250. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 12. 把下列各式分解因式： （1） （9x＋y）（2y－x）－（3x＋2y）（x－2y）. 解：原式＝3（4x＋y）（2y－x）. （2） （2m＋3n）（2m－n）－n（2m－n）. 解：原式＝2（m＋n）（2m－n）. （3） （x－2y）（x＋3y）－（x－2y）2. 解：原式＝5y（x－2y）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 13. 不解方程组 求7y（x－3y）2－2（3y－x）3的值. 解：原式＝（x－3y）2[7y＋2（x－3y）]＝（x－3y）2（7y＋2x－ 6y）＝（x－3y）2（2x＋y）.把 代入，得原式＝12×6＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 14. 求证：32026－4×32025＋10×32024一定能被7整除. 解：∵ 32026－4×32025＋10×32024＝32024×（32－4×3＋10）＝ 32024×7，且32024为整数，∴ 32026－4×32025＋10×32024一定能被7整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. 新考向·数学文化　（2024·张掖甘州期末）《数书九章》中的秦九 韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.在 现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的 算法.例如：计算当x＝8时，多项式3x3－4x2－35x＋8的值，按照秦九 韶算法，可先将多项式3x3－4x2－35x＋8一步步地进行改写：3x3－4x2 －35x＋8＝x（3x2－4x－35）＋8＝x[x（3x－4）－35]＋8.按改写后 的方式计算与直接计算相比节省了乘法次数，使计算量减少.根据上述 方法，当x＝－8时，多项式x4－4x3＋4x2＋1的值为（　A　） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. 6401 B. 6399 C. －6399 D. －6401 返回目录 16. 阅读因式分解的过程，再解答下列问题： 1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2 ＝（1＋x）[1＋x＋x（x＋1）] ＝（1＋x）2（1＋x） ＝（1＋x）3. （1） 上述因式分解的方法是 ，共用了 次. （2） 1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）2025分解因式 的结果是 ⁠. 提公因式法　 2　 （1＋x）2026　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （3） 按照上述方法分解因式：1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋… ＋x（x＋1）n（n为正整数）. 解：1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n＝（1＋x） [1＋x＋x（x＋1）＋…＋x（x＋1）n－1]＝（1＋x）2[1＋x＋x（x ＋1）＋…＋x（x＋1）n－2]＝…＝（1＋x）n＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $$17.2　用公式法分解因式 第3课时　综合运用提公因式法与公式法分解因式 第十七章　因式分解 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 下列因式分解错误的是（　D　） A. －a2＋4b2＝（2b－a）（2b＋a） B. 2x3y－2xy3＝2xy（x－y）（x＋y） C. x2＋6x＋9＝（x＋3）2 D. 2mx2－4mx＋2m＝2m（x＋1）2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 2. 将－3am2＋12an2分解因式，结果正确的是（　D　） A. （m＋2n）（6an－3am） B. （3am＋6an）（2n－m） C. a（3m＋6n）（2n－m） D. －3a（m＋2n）（m－2n） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 3. 分解因式： （1） 3m2－3＝ ⁠. （2） xy2－x＝ ⁠. （3） ab2－2ab＋a＝ ⁠. （4） 6xy2－9x2y－y3＝ ⁠. 4. 若a＋b＝2，ab＝－3，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为 ⁠. 3（m＋1）（m－1）　 x（y＋1）（y－1）　 a（b－1）2　 －y（y－3x）2　 －12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 5. 分解因式： （1） （2a＋b）2－（a＋2b）2. 解：原式＝（2a＋b＋a＋2b）（2a＋b－a－2b）＝（3a＋3b） （a－b）＝3（a＋b）（a－b）. （2） ax2－4ax＋4a. 解：原式＝a（x2－4x＋4）＝a（x－2）2. （3） xy3－2x2y2＋x3y. 解：原式＝xy（y2－2xy＋x2）＝xy（y－x）2. （4） （x2＋y2）2－4x2y2. 解：原式＝（x2＋y2）2－（2xy）2＝（x2＋y2＋2xy）（x2＋y2－ 2xy）＝（x＋y）2（x－y）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 6. 已知a－b＝3，b＋c＝－5，则代数式ac－bc＋a2－ab的值为 （　C　） A. －15 B. －2 C. －6 D. 6 7. 若a是有理数，则整式a2（a2－2）－2a2＋4的值（　B　） A. 恒大于2 B. 恒为正数 C. 恒为负数 D. 恒等于0 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 对任意整数n，（2n＋3）2－1（　C　） A. 能被2整除，不能被4整除 B. 能被3整除 C. 既能被2整除，又能被4整除 D. 能被5整除 9. 分解因式：a2＋2ab＋2ac＋（b＋c）2＝ ⁠. C （a＋b＋c）2　 10. 已知a，b，c是△ABC的三边长，b2＋2ab＝c2＋2ac，则△ABC 的形状是 . 等腰三角形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，四边形CDEF是边长为b的正方形.如果a＋b＝10，ab＝12，那么涂色部分的面积为 . 32　 （第11题） 12. 已知ab＝－3，a＋b＝2，求a3b＋ab3的值. 解：∵ ab＝－3，a＋b＝2，∴ a3b＋ab3＝ab（a2＋b2）＝ab[（a＋b）2－2ab]＝（－3）×[22－2×（－3）]＝（－3）×（4＋6）＝（－3）×10＝－30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 若a，b，c是△ABC的三边长，判断（a2＋b2－c2）2－4a2b2的正负. 解：∵ （a2＋b2－c2）2－4a2b2＝（a2＋b2－c2＋2ab）（a2＋b2－c2 －2ab）＝[（a2＋2ab＋b2）－c2][（a2－2ab＋b2）－c2]＝[（a＋ b）2－c2]·[（a－b）2－c2]＝（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b＋ c）（a－b－c），又∵ a，b，c是△ABC的三边长，∴ a＋b＋c＞ 0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0.∴ （a2＋b2－c2）2－ 4a2b2＝（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b＋c）（a－b－c）＜ 0.∴ （a2＋b2－c2）2－4a2b2是负的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 已知N＝52×32n＋1×2n－3n×6n＋2，则下列各数中，能整除N的是 （　D　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. （2024·邵阳期末）先阅读材料，再解答问题： 分解因式：（a－b）2－2（a－b）＋1. 解：设a－b＝M，则原式＝M2－2M＋1＝（M－1）2. 再将a－b＝M还原，得到原式＝（a－b－1）2. 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请 你用整体思想解决下列问题： （1） 分解因式：（x＋y）（x＋y－4）＋4. 解：（1） 设M＝x＋y，则原式＝M·（M－4）＋4＝M2－4M＋4＝ （M－2）2.将M＝x＋y还原，得原式＝（x＋y－2）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 求证：当a为正整数时，（a－1）（a－2）（a－3）（a－4） ＋1为整数的平方. （2） 原式＝（a－1）（a－4）（a－2）（a－3）＋1＝（a2－5a＋ 4）（a2－5a＋6）＋1.∵ a为正整数，∴ （a－1）（a－4）＝a2－5a ＋4是整数.设N＝a2－5a＋4，则N是整数.∴ 原式＝N（N＋2）＋1 ＝N2＋2N＋1＝（N＋1）2.∵ N为整数，∴ N＋1为整数.∴ （N＋ 1）2为整数的平方.∴ 当a为正整数时，（a－1）（a－2）（a－3） （a－4）＋1为整数的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$第十七章整合拔尖 第十七章　因式分解 01 知识体系构建 02 高频考点突破 03 综合素能提升 目 录 返回目录 考点一　因式分解的定义 典例1（2025·烟台龙口期中）下列从左到右的变形是因式分解的为（　D　） A. 4x2＋8x－1＝4x（x＋2）－1 B. a2b2＝ C. （a＋b）（a－b）＝a2－b2 D. a2－2a＋1＝（a－1）2 D 返回目录 [变式]（2025·济宁期中）下列从左到右的变形中，是因式分解的为（　B　） A. x2－1＝x B. x2－9＝（x＋3）（x－3） C. x2－4＋3x＝（x＋2）（x－2）＋3x D. （x＋2）（x－2）＝x2－4 B 返回目录 考点二　提公因式法分解因式 典例2　（2025·上海段考）分解因式：x（x－y）2－（y－x）y2 ＝ ⁠. [变式]分解因式：a（a－b）＋2b（b－a）. 解：原式＝a（a－b）－2b（a－b）＝（a－b）（a－2b）. （x2－xy＋y2）（x－y）　 返回目录 考点三　公式法分解因式 典例3　（2024·广元）分解因式：（a＋1）2－4a＝ ⁠. [变式]（2024·济南莱芜模拟）分解因式：4y2－（x＋y）2＝ ⁠ ⁠. （a－1）2　 （x＋ 3y）（y－x）　 返回目录 考点四　十字相乘法分解因式 典例4　阅读材料： 将式子x2－x－6分解因式.这个式子的常数项－6＝2×（－3），一次项 系数－1＝2＋（－3），这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示： 如图，先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再 分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘求 和，使其等于一次项系数. （典例4图） 返回目录 这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”. 请同学们参考上述方法，解答下列问题： （1） 分解因式：x2＋4x－21. （2） 填空：若x2＋px－8可分解为（x＋a）（x＋b）的形式，且a， b均为整数，则整数p的所有可能的值为 ⁠. 解：（1） 原式＝（x＋7）（x－3）. [变式]分解因式： （1） m2－2m－63. 解：原式＝（m＋7）（m－9）. （2） 2x2－x－15. 解：原式＝（x－3）（2x＋5）. 7，－7，2，－2　 返回目录 考点五　因式分解的应用 典例5　求证：若n为正整数，则式子（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋ 1的值一定是某一个整数的平方. 解：∵ （n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1＝（n2＋3n＋2）（n2＋ 3n）＋1，∴ 可令n2＋3n＝A. ∴ 原式＝A（A＋2）＋1＝A2＋2A＋ 1＝（A＋1）2.再把“A”还原，得原式＝（n2＋3n＋1）2.∵ n为正 整数，∴ n2＋3n＋1也为正整数.∴ 式子（n＋1）（n＋2）（n2＋ 3n）＋1的值一定是某一个整数的平方. 返回目录 [变式]观察下列各式： （x－y）（x＋y）＝x2－y2. （x－y）（x2＋xy＋y2）＝x3－y3. （x－y）（x3＋x2y＋xy2＋y3）＝x4－y4. （x－y）（x4＋x3y＋x2y2＋xy3＋y4）＝x5－y5. 请解答下列问题： （1） 填空：（x－y）（x6＋x5y＋x4y2＋x3y3＋x2y4＋xy5＋y6）＝ ⁠ ⁠. x7－y7 返回目录 （2） 若n为不小于2的整数，求证：6n－2n一定能被4整除. 解：（2） ∵ 6n－2n＝（6－2）×（6n－1＋2×6n－2＋…＋2n－1）＝ 4×（6n－1＋2×6n－2＋…＋2n－1），n为不小于2的整数，∴ 6n－1＋ 2×6n－2＋22×6n－3＋…＋2n－1≠0.∴ 6n－2n一定能被4整除. 返回目录 （3） 求 －1019－1018－1017－1016－…－102－10－1的值. （3） 设x＝ －1019－1018－1017－1016－…－102－10－1①，则10x ＝ ×1021－1020－1019－1018－1017－…－103－102－10②.∴ ②－①， 得9x＝ ×1021－ ×1021＋1＝1.∴ x＝ .∴ －1019－1018－1017－ 1016－…－102－10－1＝ . 返回目录 1. （2025·武汉江岸期末）把9mn＋6mn2分解因式，应提取的公因式为 （　C　） A. 3m B. mn C. 3mn D. mn2 2. 若能用完全平方公式将x2＋mx＋25分解因式，则m的值为（　C　） A. 10 B. －10 C. ±10 D. ±5 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. 若A＝x2＋2x－6y，B＝－y2＋4x－11，则A与B的大小关系为 （　A　） A. A＞B B. A＜B C. A≥B D. A＝B 4. 多项式x2＋ax＋12分解因式为（x＋m）·（x＋n），其中a，m， n为整数，则a可以取的值有（　D　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 有一个密码，它的明码是多项式a3－9a，这种形式的明码转密码的 一般方法如下：先将多项式分解因式，再对字母赋值，从而得到各因式 的“因式码”（一般均为两位数的正整数），将这些“因式码”按一定 的顺序排列，生成密码.破解密码的关键是要知道字母的值，以及“因 式码”的排序方法.若设a＝14，则下列不可能是密码的为（　D　） A. 111417 B. 141117 C. 171411 D. 117411 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. 分解因式： （1） －mn＋m2＝ ⁠. （2） 8a4b3＋28ab2c＝ ⁠. （3） （2025·长沙段考） m2－ mn＋ n2＝ 　 　. 7. 若｜x＋y－5｜＋（x－y＋1）2＝0，则x2－y2＝ ⁠. 8. 已知a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝0，则a＋b＋c的值为 ⁠. m（m－n）　 4ab2（2a3b＋7c）　 　 －5　 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. 将下列各式分解因式： （1） x（x－y）＋y（y－x）. 解：原式＝x（x－y）－y（x－y）＝（x－y）（x－y）＝（x－y）2. （2） （x＋y）（x＋y－1）＋ . 解：原式＝（x＋y）[（x＋y）－1]＋ ＝（x＋y）2－（x＋y）＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. （2024·宁波期中）已知a－b＝7，ab＝－12.求： （1） a2b－ab2的值. 解：（1） ∵ a－b＝7，ab＝－12，∴ a2b－ab2＝ab（a－b）＝－ 12×7＝－84. （2） a2＋b2的值. （2） ∵ a－b＝7，ab＝－12，∴ a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝72＋2× （－12）＝49－24＝25. （3） a＋b的值. （3） ∵ a2＋b2＝25，ab＝－12，∴ （a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝25－ 24＝1.∴ a＋b＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. （2024·邯郸一模）嘉嘉和琪琪玩纸片拼图游戏，他们利用如图①所 示的三种类型的纸片可以拼出一些图形来解释某些等式.例如，由图 ②，我们可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2. （1） 用1张边长为a的正方形纸片，6张长、宽分别为b，a的长方形纸 片，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个正方形，则这个正方形的边 长为 ⁠. a＋3b　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 琪琪将5张长为b、宽为a的长方形纸片按照图③所示的方式不重 叠地放在大长方形ABCD内；对大长方形中未被覆盖的两个部分，设左 上方区域的面积为S1，右下方区域的面积为S2.当BC的长变化时，S2－ S1的值始终保持不变，求a与b的数量关系. （第11题） 解：设BC＝x，则S1＝b（x－3a），S2＝2a（x－b）.∴ S2－S1＝ 2a（x－b）－b（x－3a）＝（2a－b）x＋ab.当2a－b＝0时，S2 －S1的值始终不变.∴ 2a＝b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$