第1章 三角形几何拓展之最值篇（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

第1章 三角形几何拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、垂线段最短 【解惑】如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质解答即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，线段的值最小， ∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴线段的最小值为， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，平分，垂足为，，是射线上的一个动点，则线段的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由垂线段最短可知，当时，线段有最小值，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段有最小值， 平分，，， ， 即线段的最小值是4， 故选：B． 2．如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图，   平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 3．如图所示，在中，若，的平分线交于点D，且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线段最短，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时根据角平分线的定义可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵的平分线交于点D，，， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 类型二、将军饮马 【解惑】如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，为上任意一点，则的最小值为（   ） A．5 B．7 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点间线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可得，即，根据即可得到答案． 【详解】解：连接，如图 为的垂直平分线，为上任意一点 ， 的最小值为11． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，中，，，，，且，，在同一条直线上，点在直线上，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．17.5 【答案】C 【分析】本题考查轴对称一最短路线问题，含三角形的性质，全等三角形的性质．连接，可证明，然后推出的最小值为，最后求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴有最小值为的长． 故选：C． 2．在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称、最短线路问题、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟知两点之间线段最短．作A关于的对称点，连接，，与相交于点P，得，，由已知求得，得到为等边三角形，则，则的长度就是的最小值． 【详解】解：如图，作A关于的对称点，连接，，与相交于点P， 由轴对称得，，， ，， ，， ， 为等边三角形， ， ， 的最小值是6． 故答案为：6． 3．如图，在中，，，，平分，点F为的中点，E是上的动点，则和的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，含角直角三角形的性质，两点之间线段最短，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先证明点B，点F关于轴对称，再推出和的最小值是的长，从而解决问题． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴点B，点F关于轴对称， 如图，连接， ∵点B，点F关于轴对称， ∴， ∴， ∴和的最小值是的长， ∴， ∴和的最小值是6， 故答案为：6． 类型三、三点共线 【解惑】如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点，连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接， ∴， ∴， ∴点P就是使的值最大的点， 已知为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的内角和等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．作点关于的对称点，连接，可以得到，即可得到当点在同一直线上时，有最大值，此时，根据题意得到，根据即可求出的度数． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 则， 此时， 当点在同一直线上时，有最大值， 此时， 当的最大值是时， ， ， ， 由题意得和关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故选B． 2．如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值；由三角形三边之间的关系可得，，进而可得，由绝对值的意义可得，由此即可得出的最大值；综上，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； ，， ， ， 的最大值为； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形三边之间的关系，三线合一，三角形的面积公式，线段中点的有关计算，绝对值的意义等知识点，找出点关于直线的对称点为点以及熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故答案为：8，8． 类型四、两动一定 【解惑】如图，在中，，平分，，点P、Q分别为边，上的动点，连接，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、直角三角形的性质，作交于，交于，作于，由角平分线的性质可得，，从而可得此时的值最小，再由直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，作交于，交于，作于， ， ∵平分，， ∴，， ∴当点B，P，E三点共线时， ，此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 故选：C． 【融会贯通】 1．中，，，，是的角平分线，点，分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上取一点，使，连接、，证明后由全等三角形性质得到，推得最小值即为，最后根据含的直角三角形特征得到长即可得解． 【详解】解：在上取一点，使，连接、， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ，，， ， 的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、含的直角三角形的特征、垂线段最短，解题关键是根据全等三角形性质推得的最小值为． 2．如图，在中，，，的面积是，边的垂直平分线分别交，边于点，．若点，分别为线段，边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 如图所示，过点作于点，交于点，连接，根据三角形面积的计算得到，由垂直平分线的性质得到，，根据垂线段最短，得到当点三点共线，且垂直于时，的值最小，即最小值为的值，由此即可求解． 【详解】解：∵，，，如图所示，过点作于点，交于点，连接， ∴，即， 解得，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 根据垂线段最短，得到当点三点共线，且垂直于时，的值最小，即最小值为的值， ∴的最小值为， 故答案为：8 ． 3．如图，在中，，，，是边上的中线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段的性质，线段垂直平分线的性质．由等腰三角形中三线合一，可得垂直平分，进而可得，，由垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值． 【详解】解：中，，是边上的中线， ， 垂直平分， ， ， 由垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值， 如图，过点B作于点Q，交于点P，此时取最小值， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 类型五、周长最小值——将军饮马 【解惑】如图，等腰的底边长为3，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由题意点B关于直线的对称点为点A，推出的长为的最小值即可． 【详解】解：如图，连接． 是等腰三角形，点D是边的中点， ， ， ， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， 的长为的最小值， ∴的周长最短为， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值为3，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为3， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，两点间线段最短，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接，若，的周长是． （1）的长是 ． （2）若P是直线上一点，则周长的最小值是 ． 【答案】 7 17 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称——最短路线问题．解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． （1）根据垂直平分线的性质得，的周长是，，即可求的长度； （2）当点P与点M重合时，周长的最小，即为的周长． 【详解】解：（1）∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． ∵，的周长是， ∴． 故答案为：7； （2）当点P与点M重合时，的周长最小． 理由：∵，， ∴当点P与点M重合时，， 此时的最小值等于的长， ∴周长的最小值． 故答案为：17． 3．如图，等腰的底边长为4，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为： ． 【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长，三线合一求出的长即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵腰的垂直平分线分别交边于E，F点，点M为线段上一动点， ∴， ∴的周长， ∵等腰的底边长为4，面积是，点D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴的周长最小值为：； 故答案为：． 类型六、周长最小值——双对称 【解惑】如图，已知，是内部的一点，且，，分别是，上的动点，则的周长最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 作点关于、的对称点，分别作点关于的对称点，关于的对称点；连接， ，，根据题意求得的度数，进而证明是等边三角形，从而求解； 【详解】解：作点关于、的对称点，分别作点关于的对称点，关于的对称点；连接， ，， 根据轴对称的性质可知: ，， 此时的周长； 即当、为上述所作的交点时, 的周长取得最小值，最小值为的长度； 因为点与关于对称，点与关于对称，所以是的垂直平分线，是的垂直平分线； 根据轴对称的性质可知：，， 已知，则； 由轴对称的性质可知：， 在中，，， 所以是等边三角形； 根据等边三角形的性质，三边相等，所以，即周长的最小值为； 故选：A 【融会贯通】 1．如图，，P为内一点，A为上一点，B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键． 如图：作P点关于的对称点，连接，此时的周长最小为，求出即可． 【详解】解：如图：作P点关于的对称点，然后连接，    ∵点与点P关于直线对称，点与点P关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知：， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，点是内一定点，点和点分别是射线和射线上的动点，，当周长取得最小值时，的度数为 ．    【答案】/120度 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，分别作点P关于的对称点C、D，连接，，由轴对称的性质可得，，，，则可证明当四点共线时，最小，即此时的的周长最小，再证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，．    ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，； ∵点P关于的对称点为D， ∴，， ∴的周长， ∴当四点共线时，最小，即此时的的周长最小， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，，M，N分别为射线，上的动点，P为内一点，连接，，． 当周长取得最小值时，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路线问题，分别作点P关于，的对称点C、D，连接，分别交于M，交于点N，的周长最小值为，然后得到等腰中，，即可得出． 【详解】解：如图所示：分别作点关于，的对称点C、D，连接，分别交于M，交于点N． 则，，， 根据轴对称的性质，可得，， 则的周长最小为点C、M、N和D四点共线，最小值为， ∴， 在等腰中，， 则， 故答案为：． 类型七、面积最大值 【解惑】如图，在四边形中，平分，，，，面积的最大值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形的中线性质．通过作辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形和直角三角形的性质，找到面积的最大时的条件是解题的关键． 延长，交的延长线于点E，根据角平分线的性质得到，，从而可知是等腰三角形，则有，再通过边的等量代换得到．当时，面积最大，面积最大，此时求出面积即可得到面积的最大值． 【详解】解：延长，交的延长线于点E． 平分，于点D， ，， ， ，是的中点，． ， ． 当时，面积最大，面积最大， 此时， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，中，，是的角平分线，且于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，延长交于点H．设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交延长线于点H．设交于点O， ∵， ∴， ∴， ∵（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故选：D． 2．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长、交于点，首先利用“ASA”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：在中，， ， 解得； 如下图，延长、交于点， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ． 故答案为：；． 3．如图，在中，点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，过点作 于，由轴对称性质得，，即，从而有，则，进而即可求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵点是边的中点，, ∴，， ∵将沿折叠至，点的对应点为， ∴，，即， ∴， ∴， 当，即点与点重合时， 的面积最大，最大面积为 ， 故答案为：． 类型八、四点共线 【解惑】如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠的性质和等边三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最大值为19， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，，在的同侧，，，，为的中点．若，则长的最大值是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点． ， ， ， ， ， 为等边三角形 ， 的最大值为， 故选：D．    【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题 2．如图，点C、D在线段的同侧，，，，M是的中点，，则长的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．先由线段中点的定义得到，作点关于的对称点，作点关于的对称点，则由轴对称图形的性质可得的长，再证明为等边三角形得到的长，根据即可解决问题． 【详解】解：∵M是的中点，， ∴， 如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点， ∴，， ， ， ， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴当四点共线时，有最大值，且的最大值为， 故答案为：． 3．如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形 ∵， ∴的最大值为14， 故答案为：14． 类型九、其他最值 【解惑】如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点，证明，，那么，当点共线时，取得最小值，记交于点，可证明，则此时，可得为等边三角形，则，由关于对称，得到，那么由，即可求解． 【详解】解：连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值，如图： 记交于点， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴此时， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，难度较大解题的关键在于将进行转化． 【融会贯通】 1．如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，由角平分线想到作垂线是解题的关键．作于E，于G，于H，连接，由角平分线性质定理得，再由角平分线的判定知，点C在的平分线上，则可求得；当′于，则，即的最小值为，此时点C与重合，从而求得此时的度数． 【详解】解：如图，作于E，于G，于H，连接， ∵平分，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴平分，即点C在的平分线上， ∴， ∵， ∴， 如图，作于，则， 即的最小值为，此时点C与重合， ∴， ∴， ∴当线段取最小值时，的度数为， 故选：B． 2．如图，在中，，点D是边上一动点，过点D作，交于点E，则线段长度的最小值为 ． 【答案】4 【分析】要想求出长度的最小值，把转化成，只需要求出的最小值即可，根据垂线段最短，当时最小，再根据含的直角三角形的性质即可解决此题． 【详解】取的中点F，连接，过点F作于点． 则． 当时最小，最小，此时点D与G重合． ∵ ． 设 在中 ∴ ∴， ∴ ， ∴线段长度的最小值为4． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，解决此题的关键是要想到把转化成． 3．如图，在等边三角形中，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，证明确定点P的运动轨迹，利用垂线段最短，结合等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵等边三角形中，， ∴，，， ∵线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值， 过点D作于点M， ∴当P与M重合时，取得最小值， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 类型十、最短路径的应用 【解惑】马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，则是最短路线．能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，， ∴，， ∴， 根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为， ∴所走路线即为． 【融会贯通】 1．综合与实践． 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连结，我只要说明． 请完整地写出小亮的求解过程． 【解决问题】（2）如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）      【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）作点关于的对称点，连接，与的交点即为点E、F． 【详解】解：（1）根据题意可知：，， ，， ， ∴作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方； （2）如图所示． 2．最短路径问题： 例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点． 应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. （1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C． （2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长． 【答案】(1)见解析；（2）10 【详解】试题分析：作点关于的对称点，关于的对称点，连接,与相交于两点，连接,即为所求． 试题解析：作点关于的对称点，关于的对称点，连接,与相交于两点，连接,即为所求． 此时线段的长度即为周长的最小值 连接 由对称性知： 为等边三角形 所以三角形的最小周长为10. 点睛：属于将军饮马问题，依据是：两点之间，线段最短. 3．【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】解：【分析问题】        两点之间，线段最短 【解决问题】图见解析． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． （1）通过作对称点，将将军饮马问题转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再结合三角形三边关系证明路径最短； （2）作点关于草地的对称点，作点关于河的对称点，连接即为最短路径． 【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。 故答案为：        两点之间，线段最短； （2）如图，即为最短路径． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形几何拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、垂线段最短 【解惑】如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，平分，垂足为，，是射线上的一个动点，则线段的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 3．如图所示，在中，若，的平分线交于点D，且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 类型二、将军饮马 【解惑】如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，为上任意一点，则的最小值为（   ） A．5 B．7 C．11 D．13 【融会贯通】 1．如图，中，，，，，且，，在同一条直线上，点在直线上，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．17.5 2．在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，则的最小值是 ． 3．如图，在中，，，，平分，点F为的中点，E是上的动点，则和的最小值是 ． 类型三、三点共线 【解惑】如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为 ，的最大值为 ． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 类型四、两动一定 【解惑】如图，在中，，平分，，点P、Q分别为边，上的动点，连接，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．中，，，，是的角平分线，点，分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，的面积是，边的垂直平分线分别交，边于点，．若点，分别为线段，边上的动点，则的最小值为 ． 3．如图，在中，，，，是边上的中线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 类型五、周长最小值——将军饮马 【解惑】如图，等腰的底边长为3，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【融会贯通】 1．如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接，若，的周长是． （1）的长是 ． （2）若P是直线上一点，则周长的最小值是 ． 3．如图，等腰的底边长为4，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为： ． 类型六、周长最小值——双对称 【解惑】如图，已知，是内部的一点，且，，分别是，上的动点，则的周长最小值等于（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，P为内一点，A为上一点，B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，点是内一定点，点和点分别是射线和射线上的动点，，当周长取得最小值时，的度数为 ．    3．如图，，M，N分别为射线，上的动点，P为内一点，连接，，． 当周长取得最小值时，则的度数为 ． 类型七、面积最大值 【解惑】如图，在四边形中，平分，，，，面积的最大值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 【融会贯通】 1．如图，中，，是的角平分线，且于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 2．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 3．如图，在中，点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为 ． 类型八、四点共线 【解惑】如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 【融会贯通】 1．如图，，在的同侧，，，，为的中点．若，则长的最大值是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图，点C、D在线段的同侧，，，，M是的中点，，则长的最大值是 ． 3．如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为 ． 类型九、其他最值 【解惑】如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点D是边上一动点，过点D作，交于点E，则线段长度的最小值为 ． 3．如图，在等边三角形中，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 类型十、最短路径的应用 【解惑】马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【融会贯通】 1．综合与实践． 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连结，我只要说明． 请完整地写出小亮的求解过程． 【解决问题】（2）如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）      2．最短路径问题： 例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点． 应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. （1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C． （2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长． 3．【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$