第1章 三角形（中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

第1章 三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、中线平分面积 【解惑】如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【融会贯通】 1．如图，在中，点，，分别是线段，，的中点，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．在中，点D是边上一点，且，连接，点F为中点，连接并延长，交于点E．若，则 3．如图，，，，，，求． 类型二、格点三角形 【解惑】如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【融会贯通】 1．如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，则正方形网格中与成轴对称的格点三角形的个数是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与关于某直线成轴对称的格点三角形一共有 个． 3．阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网络 由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图，已知是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造的角平分线． 方法一：如图①，延长到格点D，使，连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为的角平分线．理由如下： ，． ，． 又点F是的中点， 平分（依据）， 即为的角平分线． 方法二：如图②，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使，连接交于点P，连接，线段即为的角平分线．理由如下： 同一方法可得，． ，，．． ，． 又，． …… 任务： (1)请写出方法一中“依据”的内容：_____________________________________． (2)请将方法二中的说理过程补充完整． (3)如图③④，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，是格点三角形，且，根据材料中的思路，用两种方法作出的角平分线． 类型三、三线夹角问题 【解惑】如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，中，是的平分线，是边上的高线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，AD平分交BC于点D，AE是BC边上的高，，则的度数为 ． 3．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 类型四、面积问题 【解惑】如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（   ） A． B．25 C． D．50 【融会贯通】 1．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 2．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 3．【模型探究】 已知是等腰直角三角形，，．过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． （1）如图1，已知，，连接，则的面积为______； （2）如图2，已知，，连接，则的面积为______． 【方法迁移】 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，．又以为斜边构造，其中，求的面积； 【思路拓广】 （4）如图4，在中，，，．请以为边在左侧构造等腰直角三角形，连接构造，则的面积为_____． 类型五、全等三角形的判定 【解惑】如图，点B、E在线段AD上，，，．求证：． 【融会贯通】 1．如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：． 2．如图，在中，，点D，E在边上，且．过点D，点E作，，分别与CA，BA的延长线交于点F，G．求证：． 3．如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． (1)求证：； (2)求证：． 类型六、垂直平分线的判定 【解惑】如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 2．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 3．风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 类型七、角平分线的判定 【解惑】如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【融会贯通】 1．已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 2．如图，在中，点D是边的垂直平分线上的一点，， 垂足分别为F，G，．求证：平分． 3．如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 类型八、等腰三角形的判定 【解惑】某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【融会贯通】 1．如图，，是边上一点，连接．若，求证：是等腰三角形． 2．如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形．    3．如图，在中，于点，为上一点，是等边三角形，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 类型九、等边三角形的判定 【解惑】如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【融会贯通】 1．已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，． (1)求证；； (2)求证：是等边三角形． 2．在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 3．在中，，点D在边上，过点D作于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在边上，连接，使，若，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作，交于点G，若点G是的中点，求证：是等边三角形． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形（要求A，B，C分别与，，对应）； (2)在图2中，请在直线l上找一点P，使得的周长最小； (3)计算四边形的面积． 【融会贯通】 1．如图，在边长为1个单位长度的正六边形中，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，将线段沿方向平移2个单位长度； (2)在图2中，是上一点，连接，作点关于的对称点． 2．如图，在和中，，，，点D在上．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，作出的平分线； (2)在图（2）中，作出的平分线． 3．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，E均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点E作的平行线，交于点F； (2)如图2，在（1）的条件下，作点A关于的对称点． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、中线平分面积 【解惑】如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质．利用中线的性质“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”即可求解． 【详解】解：∵是的的中线，且的面积为12， ∴， 又∵是的的中线， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，点，，分别是线段，，的中点，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，连接，，，根据三角形的中线平分面积求出，同理得到，，分割法求出的面积即可． 【详解】如图，连接，，， 点，，分别是线段，，的中点， ，， ， 同理，，， ， 故选：C． 2．在中，点D是边上一点，且，连接，点F为中点，连接并延长，交于点E．若，则 【答案】30 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：30． 3．如图，，，，，，求． 【答案】 【分析】此题主要考查在高相等的情况下，三角形的面积之比等于底边长度之比．根据在高相等的情况下，三角形的面积之比等于底边长度之比求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 故． 类型二、格点三角形 【解惑】如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示： ． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，则正方形网格中与成轴对称的格点三角形的个数是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图所示， ，，，与成轴对称 ∴共5个． 故选：B． 2．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与关于某直线成轴对称的格点三角形一共有 个． 【答案】5/五 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示，格点三角形共有5个， 故答案为：5． 3．阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网络 由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图，已知是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造的角平分线． 方法一：如图①，延长到格点D，使，连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为的角平分线．理由如下： ，． ，． 又点F是的中点， 平分（依据）， 即为的角平分线． 方法二：如图②，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使，连接交于点P，连接，线段即为的角平分线．理由如下： 同一方法可得，． ，，．． ，． 又，． …… 任务： (1)请写出方法一中“依据”的内容：_____________________________________． (2)请将方法二中的说理过程补充完整． (3)如图③④，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，是格点三角形，且，根据材料中的思路，用两种方法作出的角平分线． 【答案】(1)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(或等腰三角形“三线合一”) (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】本题主要考查作图——角平分线，涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质和角平分线的判定， （1）根据等腰三角形的性质即可知答案为等腰三角形的三线合一； （2）结合已知可知，即可证明，则有，故结论成立； （3）根据第一问利用等腰三角形的性质可得图③，结合第二问的结论利用三角形全等即可得图④． 【详解】（1）解：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合；(或等腰三角形“三线合一”)； （2）解：， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 即是的角平分线； （3）解：如图③④，即为的角平分线． ． 类型三、三线夹角问题 【解惑】如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项A；利用角平分线的定义判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：A、∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论A正确，故该选项不符合题意； B、∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴结论B正确，故该选项不符合题意； C、∵是的中线， ∴， ∴， 即， ∴结论C正确，故该选项不符合题意； D、∵，但不一定小于， 故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，中，是的平分线，是边上的高线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的角平分线等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形的内角和是可得的度数；是的角平分线，可得的度数；利用是高可得，可求得度数，然后由即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴ ， ∵是边上的高线， ∴， ∴， ∴． 故选： C． 2．如图，在中，AD平分交BC于点D，AE是BC边上的高，，则的度数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及推论，掌握三角形的角平分线、高线的性质及三角形的内角和定理及推论是解决本题的关键． 利用三角形的内角和求出，再利用内角与外角的关系先求出，再求出． 【详解】解：∵平分交于点D，于点E， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9 3．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：， ， 、是角平分线， ， ． 类型四、面积问题 【解惑】如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分，，于点D，， ∴，， ∵的面积是50， ∴， ∴， ∴， ∴，即的周长为， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，作于点E，求出，进而求出面积即可． 【详解】解：作于点E， 平分， 的面积是， 故选：A． 2．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 3．【模型探究】 已知是等腰直角三角形，，．过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． （1）如图1，已知，，连接，则的面积为______； （2）如图2，已知，，连接，则的面积为______． 【方法迁移】 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，．又以为斜边构造，其中，求的面积； 【思路拓广】 （4）如图4，在中，，，．请以为边在左侧构造等腰直角三角形，连接构造，则的面积为_____． 【答案】（1）（2）（3）（4）或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等；掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，并能构建全等三角形是解题的关键． （1）由可判定，由全等三角形的性质得，求出，由三角形的面积，即可求解； （2）由（1）同理可证，同理可求； （3）过作交于，同理可证，由全等三角形的性质得，即可求解； （4）①如，，过作于，作交的延长线于，由可判定，由全等三角形的性质得，求出 ，即可求解； ②，，过作交延长线于，同理可求，即可求解；③如，，过作于，作交的延长线于，同理可求． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）由（1）同理可证：， ， ； 故答案为：； （3）过作交于， ， ， ， ， ， ， （）， ， ； 故答案为：； （4）①如图，，，过作于，作交的延长线于， ， ， ，， ， ， 同理可证：， ，， ， ， ， ， （）， ， ，， ， ， 解得：， ， ； ②如图，，，过作交延长线于， ， ， ， ， （）， ， ； ③如图，，，过作于，作交的延长线于， 同理可求：， ； 综上所述：的面积为或或； 故答案为：或或． 类型五、全等三角形的判定 【解惑】如图，点B、E在线段AD上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 先由得到，利用证明，即可得到． 【详解】证明：因为， 所以． ∵ ∴ 在和中， ∴， 所以． 【融会贯通】 1．如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．由，得到，即可证明． 【详解】证明： ， ， ， 又，， ． 2．如图，在中，，点D，E在边上，且．过点D，点E作，，分别与CA，BA的延长线交于点F，G．求证：． 【答案】见解析； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是找出证明全等的条件；要想证明三角形全等，先找到一组边相等，根据题意易得两组角相等，即可证明全等解决问题； 【详解】解：∵， ∴ 即 ∵，， ∴ ∵，，， ∴ ∴ 3．如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等腰直角三角形，得到，进而得到，再根据，即可得证； （2）根据全等三角形的对应角相等，得到，进而得到，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型六、垂直平分线的判定 【解惑】如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上． 先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵边的垂直平分线交于点P， ∴． ∴． ∴点P必在的垂直平分线上． 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）根据角平分线的性质定理和，，易证，得到，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证． （2）利用割补法求面积得到，即可求解． 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ，， 又， ， ，， 、都在的垂直平分线上， 是的垂直平分线． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，，， 2．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，掌握以上知识的综合运用是关键． （1）先利用角平分线的性质得，利用“”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论． （2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴垂直平分． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用证明和全等，进而解答即可． 此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等解答． 【详解】（1）证明：， 点A在的垂直平分线上， ， 点C在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ， 同理可得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， 是的外角， ， 即， ， ． 类型七、角平分线的判定 【解惑】如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 【融会贯通】 1．已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质． （1）证明，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：于，于， ， 即和均为直角三角形， ，， ， ， 又，， 平分； （2）解：，， 且，， ， ， 又，， ， 2．如图，在中，点D是边的垂直平分线上的一点，， 垂足分别为F，G，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的判定定理是解题的关键． 证明，得到，即可由角平分线的判定定理得出结论． 【详解】证明：∵点D是边的垂直平分线上的一点， ∴， ，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ， ， ，， 平分． 3．如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，于点，由是的平分线，得到 ，再证明是的平分线，得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，如图： ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：如图： ∵ ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 类型八、等腰三角形的判定 【解惑】某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)原始支撑段的长度是8米 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，   ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，，是边上一点，连接．若，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是关键．利用全等三角形的性质得到，再由平行线的性质得到，进一步证明即可． 【详解】证明：， ． ， ， ， 是等腰三角形． 2．如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定，首先根据，，平分，可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，根据等角对等边可证结论成立． 【详解】证明：， ， 又， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 3．如图，在中，于点，为上一点，是等边三角形，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）先求得，再求得，然后利用等角对等边可得答案； （2）先求得，利用直角三角形的性质求得，再利用等边三角形的性质，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 类型九、等边三角形的判定 【解惑】如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先证明，则，所以，从而得到是等腰三角形，再通过三角形内角和定理得，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【融会贯通】 1．已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，． (1)求证；； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，进而求出的度数，进而求出的度数，进而求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 2．在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，即可证明； （2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中，， ； （2）如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． 3．在中，，点D在边上，过点D作于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在边上，连接，使，若，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作，交于点G，若点G是的中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）首先根据和三角形内角和定理得到，然后利用得到，最后根据三角形内角和定理求解即可； （2）首先根据结合三角形内角和定理得到，然后利用，证明出，根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，首先由得到，然后证明出，进而得到，，证明出是等边三角形， 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴． ， ， ， ． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵点G是中点， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形（要求A，B，C分别与，，对应）； (2)在图2中，请在直线l上找一点P，使得的周长最小； (3)计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，无刻度直尺作图，轴对称最短路径问题，轴对称的性质等知识点，熟练掌握画轴对称图形的方法及轴对称的性质是解题的关键． （1）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，于是得解． （3）根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为所求作， 理由如下： 由轴对称的性质可知：， 此时最小，即最小， 最小， 即：的周长最小． （3）解：． 【融会贯通】 1．如图，在边长为1个单位长度的正六边形中，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，将线段沿方向平移2个单位长度； (2)在图2中，是上一点，连接，作点关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查正六边形的性质，平移和轴对称，正确掌握正六边形的性质是解答关键． （1）分别延长，分别交和的延长线于点，，连接，则线段是线段沿方向平移2个单位长度得的； （2）分别连接，设与交于点，连接，并延长，交于点，则点为点关于的对称点． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，点为点关于的对称点． 2．如图，在和中，，，，点D在上．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，作出的平分线； (2)在图（2）中，作出的平分线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）如图，延长交于，作射线，则即为的平分线； （2）如图，连接，连接并延长与交于点，作射线，则即为的平分线； 【详解】（1）解：如图，延长交于，作射线，则即为的平分线； 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的平分线； （2）解：如图，连接，连接并延长与交于点，作射线，则即为的平分线； 理由：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的平分线； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的画图是解本题的关键． 3．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，E均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点E作的平行线，交于点F； (2)如图2，在（1）的条件下，作点A关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行的判定与轴对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段，其与线段相交于点F，此时； （2）由轴对称的性质作出点即可． 【详解】（1）解：如图1， 线段即为所作； （2）解：如图2，点即为所作； 6 学科网（北京）股份有限公司 $$