第1章 三角形（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

第1章 三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、两圆一线画等腰直角三角形 【解惑】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【融会贯通】 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 3．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 类型二、一线三等角模型 【解惑】如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【融会贯通】 1．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 2．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 3．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 类型三、手拉手模型 【解惑】如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【融会贯通】 1．如图，在和中，，，．将绕着点旋转． (1)当旋转到图1位置时，正好使得、、三点共线时，求此时的度数； (2)当旋转到图2位置时，连接、，并延长交于点，若，求证：； (3)当旋转到图3位置时，连接、，取中点，连接并延长交于点，求证：． 2．如图，，都是等腰直角三角形，． (1)与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ (2)连接，试判断与的大小关系，并说明理由． 3．如图，已知点是上一点，、都是等边三角形。 (1)吗？为什么？ (2)说明； (3)若绕着点旋转一定的角度（如图2），则上述2个结论还成立吗？（此问只须写出判断结论，不要求说理） 类型四、角平分线与垂直平分线结合 【解惑】如图，已知的角平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为点．求证：． 【融会贯通】 1．如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，垂足分别为点，且．求证：为的角平分线． 2．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． (1)求证：BE＝CF； (2)若AB＝10，AC＝6，则BE＝_____． 3．如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且． (1)求证：为的角平分线； (2)探究，，之间的数量关系并给出证明 类型五、全等三角形动点求t 【解惑】如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，求点F的运动速度． 【融会贯通】 1．如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）（）． (1)用的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 2．如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为， (1)分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长． (2)当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值． 3．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 类型六、等腰三角形动点求t 【解惑】如图，是等边三角形，，点从点开始以的速度向点运动，点从点开始以的速度向点运动，两点同时出发，当有一点到达目标点时另一点也随之停止运动，连接，设运动的时间为，请解答下面的问题： (1)用含的代数式表示：_____，_____； (2)当为何值时，是直角三角形？ 【融会贯通】 1．如图，为等边三角形，，点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点，点第一次相遇时，点，点同时停止运动，设点，点的运动时间为（）秒． (1)当点在上时，______（用含的代数式表示）； (2)当点在上时，求当为等边三角形时的值； (3)点在上时，若为直角三角形，求的长． 2．如图①，在中，，，在中，，边与重合，边在上．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，分别与交于点M，N．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求t的值； (2)当t为何值时，点M在的平分线上？ (3)当点N为的中点时，求t的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形，若存在请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 3．已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点． (1)如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，连接，，设点P运动时间为，()． ①用含t的代数式表示长为 ； ②当时，求的度数； ③当t为何值时，是直角三角形？ (2)当点P在边，点Q在直线BC上的运动，且时，请直接写出、和之间的数量关系，不需证明． 类型七、倍长中线法 【解惑】如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【融会贯通】 1．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 2．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 3．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 类型八、截长补短法 【解惑】问题探究：（1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用：（2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【融会贯通】 1．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 2．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 3．综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 类型九、婆罗摩笈多 【解惑】通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【融会贯通】 1．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 2．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 3．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：    ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请你写出图1中与的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    类型十、等腰三角形的新定义 【解惑】【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【融会贯通】 1．定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． (1)如图1，在“双垂四边形”中，若，则_______； (2)如图2，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，，且，求的长． 2．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 3．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、两圆一线画等腰直角三角形 【解惑】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【详解】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 【详解】解：当为等腰三角形时有两种情况︰为腰和为底． 当为腰时，符合条件的点C有4个即黑点； 当为底时，符合条件的点C也有4个即红点， 所以满足题意的点C的个数为8． 故选：C． 2．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形的底边；②为等腰直角三角形的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点的个数，然后相加即可得到答案． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个； ②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个． 所以使得为等腰直角三角形的点P有6个． 3．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 类型二、一线三等角模型 【解惑】如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 【融会贯通】 1．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 2．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE 【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可； （2）根据（1）的结论，进而可得； （3）方法同（1）证明，进而可得 （4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2） 解：∵， ∴，． 又∵， ∴． （3） 解：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∴，，， ∴ （4） 解：．理由如下： ∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 3．如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案； （2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案． （3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似． 【详解】解：（1）证明：如图1， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE． （3）DE=BE-AD； 如图3，∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90° ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD． 【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 类型三、手拉手模型 【解惑】如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③ 【分析】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论； （2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案； ②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论； ③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①解：根据解析（1）可知，， ， ， 又， ； ②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ， ， ∴， ， 平分； ③解：；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在和中，，，．将绕着点旋转． (1)当旋转到图1位置时，正好使得、、三点共线时，求此时的度数； (2)当旋转到图2位置时，连接、，并延长交于点，若，求证：； (3)当旋转到图3位置时，连接、，取中点，连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线，证明三角形全等． （1）根据，，，得出，证明，得出，证出，根据求解即可． （2）过点作交的延长线于点，证明，得出，结合，得出，证明，即可得． （3）如图延长使，连接，证明，得出，结合，得出，根据，，得出，证明，得出，即可得，根据，得出，即可得，即． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 在和中： ， ， ， ， ， ． （2）证明：过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图延长使，连接， ∵点是中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 2．如图，，都是等腰直角三角形，． (1)与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ (2)连接，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质推出，根据全等三角形的性质以及三角形内角和求解即可． （2）作于点M，于点N．证明，推出是的角平分线即可得到结论． 【详解】（1）解：，．理由： 和都是等腰直角三角形， ． ， ， 即， 将绕点A顺时针旋转后会与完全重合，即， ． 又， ， ，即． （2）解：．理由： 如图，作于点M，于点N． ， ， ． 又， ． ， 是的角平分线， ． 3．如图，已知点是上一点，、都是等边三角形。 (1)吗？为什么？ (2)说明； (3)若绕着点旋转一定的角度（如图2），则上述2个结论还成立吗？（此问只须写出判断结论，不要求说理） 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)成立，不成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明三角形全等是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再由即可证明； （2）由等边三角形的性质可得，，从而得出，由全等三角形的性质可得，利用证明，即可得出结论； （3）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再由即可证明，由已知条件不能证明，故不成立． 【详解】（1）解：， 理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）解：、都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：成立，不成立， 理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ，即， ， 由已知条件不能证明，故不成立． 类型四、角平分线与垂直平分线结合 【解惑】如图，已知的角平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，解题关键是作出合适的辅助线构造全等三角形．根据条件连接，，易证，从而得证． 【详解】证明：连接，， 点在中边的垂直平分线上， ， 是的角平分线，于E，于F， ， 在与中， ， ． 【融会贯通】 1．如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，垂足分别为点，且．求证：为的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，垂直平分线的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线性质定理的逆定理即可得解． 【详解】证明：连接，如图所示： 为的垂直平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的角平分线． 2．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． (1)求证：BE＝CF； (2)若AB＝10，AC＝6，则BE＝_____． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接、，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接、，如图所示： 的垂直平分线过点， ， 点是的角平分线上的点，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 3．如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且． (1)求证：为的角平分线； (2)探究，，之间的数量关系并给出证明 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明≌，可得，再证明≌，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，进一步可得，从而可得． 【详解】（1）证明：连接CD，BD，如图所示： 为的垂直平分线， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， 为的角平分线； （2）解：，理由如下： ≌， ， 又， ， 即， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 类型五、全等三角形动点求t 【解惑】如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，求点F的运动速度． 【答案】点F的运动速度为1或 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 设点的运动速度为，则，由于，则当时，根据“”判断，即；当时，根据“”判断，即，，然后分别解方程求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则， ， ∴当时，根据“”判断， 即，解得：； 当时，根据“”判断， 即，解得：， 综上所述，点的运动速度为1或． 【融会贯通】 1．如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）（）． (1)用的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)； (2)与全等，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了三角形的动点运动问题，全等三角形的判定，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接根据时间和速度表示的长； （）根据“”证明即可； （3）因为点的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，则，，得，，解出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 故答案为：； （2）解：与全等，理由是： 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， 当与全等，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，能够使与全等． 2．如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为， (1)分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长． (2)当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】根据，可以求出，根据点、运动的速度求出它们运动的时间； 点运动到点需要，点运动到点需要，因为，所以，因为，所以，所以，要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明即可． 【详解】（1）解：、， ， 点D的运动时长为， 点E的运动时长为：； （2）解：， ， ， ， ， 在和中， ，， 要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明， 如下图所示 当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； 如下图所示， 当在上，也在上时，即， ， ， ； 当到达，在上时，即， ，， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【点睛】本题考查了三角形上的动点问题和全等三角形的判定．解决本题的关键是根据点、运动的速度和路程，分情况讨论点、在不同的位置上时形成的两个直角三角形的关系． 3．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）分类讨论当和两种情况即可； （2）由题意得，可得，类讨论当和两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：厘米， 当时，； 当时，； （2）解：由题意得：， ∴， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：（舍）； 综上所述：当时，与的面积相等 （3）解：由题意得：是直角三角形， ∴当，即点在上运动时，有与全等 此时， ∴ ∵，； ∴， 解得：； （4）解：分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：； 类型六、等腰三角形动点求t 【解惑】如图，是等边三角形，，点从点开始以的速度向点运动，点从点开始以的速度向点运动，两点同时出发，当有一点到达目标点时另一点也随之停止运动，连接，设运动的时间为，请解答下面的问题： (1)用含的代数式表示：_____，_____； (2)当为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)； (2)当为或时，是直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含 30 度角的直角三角形性质，注意分类讨论． （1）根据已知速度求解即可． （2）分为两种情况：①，②，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：分为两种情况：①， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， 解得：； ②， ， ， ， ， 解得：； ∴当为或时，是直角三角形． 【融会贯通】 1．如图，为等边三角形，，点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点，点第一次相遇时，点，点同时停止运动，设点，点的运动时间为（）秒． (1)当点在上时，______（用含的代数式表示）； (2)当点在上时，求当为等边三角形时的值； (3)点在上时，若为直角三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质、一元一次方程的解法等知识，解题关键是学会用分类讨论思想思考问题，学会构建方程解决问题． （1）当点在上时，直接列式求解即可； （2）当为等边三角形时，可得，此时，即，再进一步进行求解即可； （3）求解当时，两点相遇，当时，点落在上，此时点也在上．当点是的中点时，如图1，当点是的中点时，如图2，再进一步列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：当点在上时， 故答案为：； （2）解：当时，点在上，点在上， 此时可能为等边三角形， 当为等边三角形时， ∵， ∴此时，即， 解得； （3）解：∵，解得：， ∴当时，两点相遇， ∴当时，点落在上，此时点也在上． 当点是的中点时，如图1， ∵是等边三角形， ∴，此时，符合题意． 当点是的中点时，如图2， 则，此时， ，符合题意． 综上所述，当为直角三角形时，的长为或． 2．如图①，在中，，，在中，，边与重合，边在上．如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，分别与交于点M，N．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求t的值； (2)当t为何值时，点M在的平分线上？ (3)当点N为的中点时，求t的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形，若存在请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3) (4)或6或9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平移的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的定义可得，据此可得答案； （2）连接，证明，得到，据此可得答案； （3）连接，由平移的性质可得，可证明垂直平分，则，导角证明，得到，则，据此可得答案； （4）分，和三种情况，根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，∵垂直平分， ∴， 在图①中， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点M在的平分线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由平移的性质可得， ∵，即， ∴， ∵点N为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：当时，过点B作于G， 在图①中，∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点E与点G重合， ∵，， ∴， ∴； 当时，则； 当时，则点F在的垂直平分线上， ∴同理可得， ∴； 综上所述，t的值为或6或9． 3．已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点． (1)如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，连接，，设点P运动时间为，()． ①用含t的代数式表示长为 ； ②当时，求的度数； ③当t为何值时，是直角三角形？ (2)当点P在边，点Q在直线BC上的运动，且时，请直接写出、和之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)①；②；③或秒 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． （1）①根据求解即可； ②利用等边三角形的判定，得出是等边三角形，，进而即可求解； ③利用分类思想，分两种情形：当时，当时，分别根据直角三角形的性质，列出方程，解方程即可； （2）以点P为圆心，以为半径画弧交的延长线于点H，则，，可证，再证明得，进而可求出． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为，， ∴． 故答案为：； ②根据题意得：当时，， ∵等边三角形的边长为， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴； ③由题意知，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴， ∴， 得， 解得； ∴当或秒时，为直角三角形； （2）解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上，即点Q和点C在点P的异侧，如图， 以点P为圆心，以为半径画弧交的延长线于点H，则， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，数学分类思想，构造辅助线，证明三角形的全等是解题的关键． 类型七、倍长中线法 【解惑】如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键；延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； 【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 2．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 【答案】（1）①；②（2）见解析（3） 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵， 由外角定理得：， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 3．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）C （3）见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可． （2）依题意，与（1）同理，得出，再利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）先运用证明，再证明，即可作答． 【详解】解：（1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）如图，延长至点，使，连接． 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴， 又 ∴， ，， ∵， ∴， ， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 类型八、截长补短法 【解惑】问题探究：（1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用：（2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），过程见解析（2）图2：，理由见解析；图3：，理由见解析（3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）对于图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；对于图3：在上截取，使，连接，同图2法进行求解即可； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． （2）对于图2，，理由如下： 在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 对于图3：对于图3，，理由如下：在上截取，使，连接， 同图2法可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，   ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【融会贯通】 1．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 2．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 3．综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型九、婆罗摩笈多 【解惑】通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 【融会贯通】 1．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 2．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 3．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：    ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请你写出图1中与的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），，证明见解析 【分析】（1）先证，推出，再利用三角形三边关系求解； （2）根据可得，即可证明； （3）同（1）可证，得出，，进而可得，推出，可得，，即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， ， 又，， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2），证明如下： 由（1）知， ， ； （3），，证明如下： 如图，延长至点Q使得，连接，延长交于点P，    同（1）可得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上可得，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系的应用等，解题的关键是通过倍长中线构造全等三角形． 类型十、等腰三角形的新定义 【解惑】【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论； （2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴，，， ∴与为均等三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，， ∵是的均等分割线， ∴， 此时，，满足条件； ②当时，， ∴， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，， 则 那么（舍去）， 故的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角形”以及“均等分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． (1)如图1，在“双垂四边形”中，若，则_______； (2)如图2，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，，且，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，理解题中定义是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质推导可证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 2．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 【答案】（1）③ ；（2），证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)18 【分析】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）证明，即可得； （2）延长至点P，使，证明，得到，根据邻补角的定义证明即可； （3）连接，首先得到，然后证明出，推出，然后得到，即可． 【详解】（1）证明：∵和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点， 和都是等腰三角形， ，，， ， 即 ， ； （2）理由如下：如图2，延长至点P，使， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：连接，如图3所示： ，， ， ∵和互为“兄弟三角形”， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， 是公共部分， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$