第十四章　全等三角形　课件-2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.2　三角形全等的判定 第4课时　尺规作图 第十四章　全等三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2024·大连中山期末）下列尺规作图的语句正确的是（　B　） A. 连接BC，使BC⊥AB B. 以点C为圆心，AB为半径作弧 C. 作直线AB＝3cm D. 连接AD，并且平分∠BAC B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 2. 数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，作一个角 等于已知角.如图，用直尺和圆规过∠AOB的边OB上一点C（如图 ①）作∠DCB＝∠AOB（如图②）.我们可以通过以下步骤作图（顺序 已打乱）：① 过点C，Q作射线CD；② 以点O为圆心，小于OC的长 为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；③ 以点P为圆心，MN为半 径作弧，交上一段弧于点Q；④ 以点C为圆心，OM为半径作弧，交 OB于点P. 下列排序正确的是（　D　） D （第2题） A. ①②③④ B. ④③①② C. ③②④① D. ②④③① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. 有下列作图：① 用直尺和圆规作线段a等于已知线段；② 用直尺和 圆规作一个角等于已知角；③ 用刻度尺和圆规作一条10cm的线段；④ 用直尺和圆规作一个三角形.其中，属于尺规作图的是 （填 序号）. ①②④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 4. 如图，已知△ABC. （1） 【实践与操作】 利用直尺和圆规，在△ABC的边AC上方作 ∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD（尺规作图， 要求保留作图痕迹，不写作法）. 解：（1） 如图所示. （第4题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 【应用与证明】 求证：CD∥AB. （2） 在△CDA和△ABC中， ∴ △CDA≌△ABC. ∴ ∠ACD＝∠CAB. ∴ CD∥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 5. 如图，用尺规作图“过点C作CN∥OA”的实质就是作∠DOM＝ ∠NCE，其作图依据是（　B　） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. 不能用直尺和圆规作出唯一三角形的是（　D　） A. 已知两角和夹边 B. 已知两边和夹角 C. 已知两角和其中一角的对边 D. 已知两边和其中一边的对角 D 7. 如图，已知△ABC，小慧同学利用直尺和圆规作出△A1B1C1与其全 等，根据作图痕迹可知，判定两个三角形全等的依据是 ⁠. （第7题） SAS　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 8. （2024·厦门思明期末）如图，已知线段a和线段b. （1） 尺规作图：求作线段AB＝a＋b，并在线段BA的延长线上，求 作线段AC＝a－b（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）. 解：（1） 如答案图，线段AB，AC即为所求. （第8题答案） （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 若M，N分别为线段AB，AC的中点，求MN的长（用含a，b的 代数式表示）. （2） ∵ AB＝a＋b，AC＝a－b，M，N分别为线段AB，AC的中 点，∴ AM＝ AB＝ ，AN＝ AC＝ .∴ MN＝AM＋AN＝ ＋ ＝a. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图： （第9题） ① 以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N，连 接MN；再以点N为圆心，MN为半径作弧，交前面的弧于点F，连接 NF，作射线BF交AC的延长线于点E. ② 以点B为圆心，BA为半径作弧，交BE于点D，连接CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 请你观察图形，解答下列问题. （1） 由尺规作图可证得△BMN≌△BFN，依据是 ⁠. （2） 求证：△ABC≌△DBC. 解：由（1），得△BMN≌△BFN，∴ ∠ABC＝∠DBC. 由作图可 知，AB＝DB. 在△ABC和△DBC中， ∴ △ABC≌△DBC（SAS）. SSS　 （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 新考法·开放题　已知一个三角形的两条边的长分别是1cm和2cm， 一个内角为40°. （第10题） （1） 请你借助如图所示的图形作出一个满足题设条件的三角形. 解：（1） 如图①所示（作法不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 你是否还能作出既满足题设条件，又与（1）中所作三角形不全 等的三角形？若能，请你用直尺和圆规作出一个这样的三角形；若不 能，请说明理由. （2） 能.如图②，三角形即为所求（作法不唯一，与图①不全等即可）. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （3） 如果将题设条件改为“三角形的两条边的长分别是3cm和4cm，一 个内角为40°”，试探讨满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有多 少个，并作出所有图形. 友情提醒：请在你作的图中标出已知角的度数和已知边的长度.不要求 写作法，保留作图痕迹. （3） 当40°角是边长为3cm与4cm的两边的夹角时，如图③所示的 △ABC；当40°角是3cm边的对角时，如图④所示的△A1B1C1及 △A1B2C1；当40°角是4cm边的对角时，如图⑤所示的△DEF. 综上所 述，共有4个这样的三角形满足条件. （第10题答案） （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$专题特训三　全等三角形中的基本模型 第十四章　全等三角形 类型一　平移模型 1. （2023·衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一 条直线上.有下列四个条件：① AB＝DE；② AC＝DF；③ BE＝CF； ④ ∠ABC＝∠DEF. （1） 请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）. 解：（1） 选择不唯一，如选择的三个条件是①②③. 　（第1题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF. （2） ∵ BE＝CF，∴ BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC 和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF（SSS）. 　（第1题） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型二　轴对称模型 2. （2025·天津西青期中）如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2.求 证：△ABC≌△ADE. 　（第2题） 解：∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC. ∴ ∠BAC＝ ∠DAE. 在△ABC和△ADE中， ∴ △ABC≌△ADE （ASA）. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　共顶点旋转模型 3. 如图，AB⊥AC于点A，AB＝AC，AD⊥AE于点A，AD＝AE. 若∠D＝35°，∠B＝15°，则∠CAE的度数为 ⁠. （第3题） 40°　 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 如图，AE∥BC，AB＝AD，∠BAD＝∠EAC＝∠E. （第4题） （1） 求证：△ABC≌△ADE. 解：（1） ∵ ∠BAD＝∠EAC，∴ ∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋ ∠CAD，即∠BAC＝∠DAE. ∵ AE∥BC，∴ ∠EAC＝∠C. ∵ ∠EAC＝∠E，∴ ∠C＝∠E. 在△ABC和△ADE中， ∴ △ABC≌△ADE（AAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 若∠BAE＝110°，求∠E的度数. （2） ∵ ∠BAE＝110°，AE∥BC，∴ ∠B＝180°－∠BAE＝ 70°.∵ AB＝AD，∴ ∠B＝∠ADB＝70°.∴ ∠BAD＝180°－∠B －∠ADB＝40°.∴ ∠E＝∠BAD＝40°. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　不共顶点旋转模型 5. 如图，点C，E，F，B在同一条直线上，点A，D在BC的异侧， AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D. （第5题） （1） 求证：AB＝DC. 解：（1） ∵ AB∥CD，∴ ∠B＝∠C. 在△ABE和△DCF中， ∴ △ABE≌△DCF（AAS）.∴ AB＝DC. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数. （2） ∵ ∠B＝40°，∠B＝∠C，∴ ∠C＝40°. ∵ △ABE≌△DCF，∴ AB＝DC. ∵ AB＝CF，∴ CD＝CF. 过点C 作CM⊥DF于点M，易得Rt△CMD≌Rt△CMF（HL），∴ ∠D＝ ∠CFD＝ （180°－∠DCF）＝ ×（180°－40°）＝70°. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型五　一线三等角模型 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝ 2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC. 若△ABC的面积为 21，则△CAF与△BDE的面积之和是（　B　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 7. （2024·甘肃改编）如图，在△ABE和△BCD中，AB⊥BC，AB＝ BC，CD⊥BD，AE⊥BD，则线段AE，DE，CD之间的数量关系 是 ⁠. （第7题） DE＋CD＝AE　 1 2 3 4 5 6 7 8 类型六　对角互补且一组邻边相等的半角模型 8. （1） 如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD. 请直接写出线 段EF，BE，FD之间的数量关系： ⁠. EF＝BE＋FD　 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°， E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，问题（1）中 的结论是否仍然成立？请判断并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：（2） 问题（1）中的结论EF＝BE＋FD仍然成立.理由：如图 ②，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG. ∵ ∠ABC＋∠D＝ 180°，∠ABG＋∠ABC＝180°，∴ ∠ABG＝∠D. 在△ABG和 △ADF中， ∴ △ABG≌△ADF（SAS）. ∴ AG＝AF， ∠1＝∠2.∴ 易得∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝ ∠BAD＝∠EAF. ∴ ∠EAG＝∠EAF. 在△AEG和△AEF中， ∴ △AEG≌△AEF（SAS）.∴ EG＝EF. ∵ EG＝BE＋BG，∴ EF＝ BE＋FD. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （3） 在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别 是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝ ∠BAD. 请直接写出线段 EF，BE，FD之间的数量关系. （3） EF＝BE＋FD或EF＝BE－FD或EF＝FD－BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 $$14.2　三角形全等的判定 第1课时　用“SAS”判定两个三角形全等 第十四章　全等三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，AB＝DE，BE＝CF，添加下列一个条件，能使 △ABC≌△DEF的为（　C　） A. ∠A＝∠D B. BE＝EC C. AB∥DE D. AC∥DF （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 2. 如图，AB＝AC，AD＝AE，若要得到△ABD≌△ACE，必须添加一 个条件，在条件① ∠ABD＝∠ACE，② ∠BAD＝∠CAE，③ ∠BAC ＝∠DAE中，不恰当的条件是 （填序号）. （第2题） ①　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点， 且DE＝DF，连接BF，CE. 有下列说法：① △BDF≌△CDE；② △ABD和△ACD的面积不相等；③ BF∥CE；④ CE＝BF. 其中，正确 的是 （填序号）. （第3题） ①③④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 4. （2023·陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过点A 作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，使AD＝AC，在边AC上截取 AF＝AB，连接DF. 求证：DF＝CB. （第4题） 解：∵ 在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°， ∴ ∠CAB＝180°－∠B－∠C＝110°.∵ AE⊥BC，∴ ∠AEC＝90°.∴ ∠DAF＝∠AEC＋∠C＝110°.∴ ∠DAF＝∠CAB. 在△DAF和△CAB中， ∴ △DAF≌△CAB（SAS）.∴ DF＝CB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 5. 如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E. 若 ∠EAC＝48°，则∠BAE的度数为（　A　） A. 84° B. 90° C. 88° D. 96° （第5题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. 如图，P是∠BAC的平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝4，PB＝ 2，则PC的长不可能是（　A　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （第6题） A 7. 如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则 ∠3的度数为 ⁠. （第7题） 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 8. 如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段 AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动.同时，点Q在线段BD上由点B 向点D运动，设运动时间为ts，则当△ACP与△BPQ全等时，点Q的运 动速度为 ⁠. （第8题） cm/s或1cm/s　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. 在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°. （1） 如图①，当点D在AC上时，线段BD，CE有怎样的数量关系和 位置关系？请直接写出结论. 解：（1） BD＝CE，BD⊥CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 如图②，将图①中的△ADE绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α＜ 90°），（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由. （第9题） （2） （1）中的结论仍然成立.理由：∵ ∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴ ∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴ △ABD≌△ACE（SAS）.∴ BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. 延长BD交AC于点F，交CE于点H. 在 △ABF和△HCF中，∵ ∠ABF＝∠HCF，∠AFB＝∠HFC，∴ ∠CHF＝∠BAF＝90°.∴ BD⊥CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 在△CAB和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝ α，连接AD，BE. （1） 如图①，求证：△ACD≌△BCE. 解：（1） ∵ ∠ACB＝∠DCE＝α，∴ ∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋ ∠BCD，即∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ∴ △ACD≌△BCE（SAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 如图②，当α＝90°时，取AD，BE的中点P，Q，连接CP， CQ，PQ，判断△CPQ的形状，并给出证明. （第10题） （2） △CPQ为等腰直角三角形.由（1），易得△ACD≌△BCE. ∴ ∠CAD＝∠CBE，AD＝BE. ∵ AD，BE的中点分别为P，Q，∴ 易得AP＝BQ. 在△ACP和△BCQ中， ∴ △ACP≌△BCQ（SAS）.∴ CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ. ∵ ∠ACP＋∠PCB＝∠ACB＝α＝90°，∴ ∠BCQ＋∠PCB＝90°，即∠PCQ＝90°.∴ △CPQ为等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$专题特训四　全等三角形中的动态问题 第十四章　全等三角形 类型一　单动点与全等三角形 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD 为边AB上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动. （1） 求证：∠A＝∠BCD. 解：（1） ∵ CD为边AB上的高，∴ CD⊥AB，即∠ADC＝90°.∴ ∠A＋∠ACD＝90°.∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠BCD＋∠ACD＝90°. ∴ ∠A＝∠BCD. （第1题） 1 2 3 4 （2） 过点E作BC的垂线，交直线CD于点F，当CF＝AB时，点E移 动了多长时间？请给出结论并说明理由. （第1题答案） （2） 当CF＝AB时，点E移动了6s或1s.理由：如答案图，当点E在射 线BC上移动时，过点E作EF⊥BC，交直线CD于点F，则∠CEF＝ 90°.∵ ∠A＝∠BCD，∠BCD＝∠ECF，∴ ∠A＝∠ECF. 在 △CFE和△ABC中， ∴ △CFE≌△ABC（AAS）. 1 2 3 4 ∴ CE＝AC＝7cm.∴ BE＝BC＋CE＝12cm.∴ 点E移动了12÷2＝6（s）.当点E'在射线CB上移动时，过点E'作E'F'⊥BC，交直线CD于点F'.同理，可得△CF'E'≌△ABC（AAS）.∴ CE'＝AC＝7cm.∴ BE'＝CE'－BC＝2cm.∴ 点E'移动了2÷2＝1（s）.综上所述，当CF＝AB时，点E移动了6s或1s. 1 2 3 4 类型二　双动点与全等三角形 2. （2024·遂宁期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝ 8cm，D为AB的中点.点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运 动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动. （第2题） 1 2 3 4 （1） 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s，△BPD与 △CQP是否全等？请说明理由. 解：（1） △BPD与△CQP全等.理由：经过1s，BP＝3cm，CQ＝ 3cm，则PC＝BC－BP＝8－3＝5（cm）.∵ D为AB的中点，AB＝ 10cm，∴ BD＝ AB＝5cm.∴ BD＝PC. 过点A作AM⊥BC于点M， 则∠AMB＝∠AMC＝90°.在Rt'△AMB和Rt△AMC中， ∴ Rt△AMB≌Rt△AMC（HL）.∴ ∠B＝∠C. 在△BPD和△CQP中， ∴ △BPD≌△CQP（SAS）. （第2题） 1 2 3 4 （2） 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能使△BPD与△CQP全等？ （2） 设点Q的运动速度为xcm/s（x≠3），经过ts，△BPD与△CQP 全等，则PB＝3tcm，PC＝（8－3t）cm，CQ＝xtcm.由（1）知， ∠B＝∠C. 根据“SAS”判定三角形全等可知，分两种情况讨论：① 当BD＝PC且BP＝CQ时，8－3t＝5且3t＝xt，解得t＝1，x＝3. ∵ x≠3，∴ 此种情况不符合题意，舍去.② 当BD＝CQ且BP＝CP 时，5＝xt且3t＝8－3t，解得t＝ ，x＝ . 故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 当点Q的运动速度为 cm/s时，能使△BPD与△CQP全等. （第2题） 1 2 3 4 类型三　线动与全等三角形 3. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且 AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E. （1） 当直线MN绕点C旋转到如图①所示的位置时，求证： ① △ADC≌△CEB. 解：（1） ① ∵ ∠ACB＝90°，AD⊥MN，BE⊥MN，∴ ∠ACD＋∠ECB＝90°，∠ADC＝∠CEB＝90°.∴ ∠DAC＋∠ACD＝ 90°.∴ ∠DAC＝∠ECB. 在△ADC和△CEB中， ∴ △ADC≌△CEB（AAS）. ② DE＝AD＋BE. ② ∵ △ADC≌△CEB，∴ CD＝BE，AD＝CE. ∴ DE＝CE＋CD＝AD＋BE. 1 2 3 4 （2） 当直线MN绕点C旋转到如图②所示的位置时，问题（1）中的结 论还成立吗？请判断并说明理由. （第3题） （2） △ADC≌△CEB成立，DE＝AD＋BE不成立.理由：∵ ∠ACB ＝90°，AD⊥MN，BE⊥MN，∴ ∠ACD＋∠ECB＝90°，∠ADC ＝∠CEB＝90°.∴ ∠DAC＋∠ACD＝90°.∴ ∠DAC＝∠ECB. 在 △ADC和△CEB中， ∴ △ADC≌△CEB（AAS）. ∴ CD＝BE，AD＝CE. ∴ DE＝CE－CD＝AD－BE. ∴ △ADC≌△CEB成立，DE＝AD＋BE不成立. 1 2 3 4 类型四　形动与全等三角形 4. 将两个全等的直角三角形ABC，DBE按如图①所示的方式摆放.其 中，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE 所在的直线交AC所在的直线于点F. 1 2 3 4 （1） 求证： ① CF＝EF. 解：（1） ① 如图①，连接BF. ∵ 易知△ABC≌△DBE，∴ BC＝ BE，AC＝DE. ∵ ∠ACB＝∠DEB＝90°，∴ ∠BCF＝∠BEF＝ 90°.在Rt△BFC和Rt△BFE中， ∴ Rt△BFC≌Rt△BFE （HL）.∴ CF＝EF. ② AF＋EF＝DE. ② ∵ CF＝EF，AF＋CF＝AC， ∴ AF＋EF＝AC＝DE. 1 2 3 4 （2） 若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°＜α＜ 60°，其他条件不变，如图②.请你判断（1）中的两个结论是否成立， 并说明理由. （2） （1）中的两个结论成立.理由：如图②，连接BF. ∵ △ABC≌△DBE，∴ BC＝BE，AC＝DE，∠ACB＝∠DEB＝ 90°.∴ ∠BEF＝90°.在Rt△BCF和Rt△BEF 中， ∴ Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）.∴ CF＝EF. ∴ AF＋EF＝AF＋CF ＝AC＝DE. ∴ （1）中的两个结论成立. 1 2 3 4 （3） 若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转β，且60°＜β＜ 180°，其他条件不变，如图③.请你写出此时AF，EF与DE之间的数 量关系，并加以证明. （第4题答案） （3） AF＝DE＋EF. 如图③，连接BF. ∵ △ABC≌△DBE，∴ BC ＝BE，AC＝DE. ∵ ∠ACB＝∠DEB＝90°，∴ ∠BCF＝∠BEF＝90°.在Rt△BCF 和Rt△BEF 中， ∴ Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）.∴ CF＝EF. ∴ AF＝AC＋CF＝DE＋EF. 1 2 3 4 $$14.3　角的平分线 第十四章　全等三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝ 6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　B　） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 2. 如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P. 若点P到AC的 距离为3，则点P到AB的距离为（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. （2025·无锡江阴段考）如图，BD平分∠ABC，AD＝CD， DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，BC＝12cm，AB＝6cm，那么AE 的长为 cm. （第3题） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 如图，在△ABC中，O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，AB＋BC ＋AC＝20，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝3，求△ABC的面积. 　（第4题答案） 解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA. ∵ O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，∴ OE＝OD，OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝3.∴ S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝ AB·OE＋ BC·OD＋ AC·OF＝ ×3×（AB＋BC＋AC）＝ ×3×20＝30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. 如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点 E，且DA⊥AB于点A，P为线段BC上一动点，连接PE. 若AD＝8， 则PE长的最小值为（　C　） A. 8 B. 5 C. 4 D. 2 （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，三条角平分线将△ABC分为三个三角形.若S△ABO＝30，则S△ABC等于（　D　） A. 180 B. 155 C. 150 D. 135 （第6题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP 交于点P，连接AP. 若∠BPC＝36°，则∠CAP的度数为 ⁠. （第7题） 54°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. 如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，MP平分 ∠AMN，NP平分∠MNB. 若MN＝4，△PMN的面积是6，△OMN的 面积是9，则OM＋ON的值是 ⁠. （第8题） 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点 F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF. （第9题） （1） 求证：AF＝AD. 解：（1） ∵ ∠D＝90°，∴ AD⊥DE. ∵ EA平分∠DEF，AF⊥EF，∴ EF＝ED. 在Rt△AFE和Rt△ADE中， ∴ Rt△AFE≌Rt△ADE（HL）.∴ AF＝AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若BF＝7，DE＝3，求CE的长. （2） ∵ BE⊥AC，∴ ∠AFB＝90°.在Rt△ABF和Rt△ACD中， ∴ Rt△ABF≌Rt△ACD（HL）.∴ BF＝CD＝7.∵ DE＝ 3，∴ CE＝CD－DE＝7－3＝4. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E. （第10题） （1） 若∠ADC＋∠ABC＝180°，求证：AB＋AD＝2AE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 解：（1） 延长AB至点M，使AE＝ME，连接CM. ∵ CE⊥AB，∴ ∠AEC＝∠MEC＝90°.在△ACE和△MCE中， ∴ △ACE≌△MCE（SAS）.∴ AC＝MC，∠CAE＝∠CME. ∵ AC平分∠BAD，∴ ∠DAC＝∠CAE. ∴ ∠DAC＝∠BMC. ∵ ∠ADC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠CBM＝180°，∴ ∠ADC＝∠CBM. 在△ADC和△MBC中， ∴ △ADC≌△MBC（AAS）. ∴ AD＝MB. ∴ AM＝2AE＝AB＋BM＝AB＋AD，即AB＋AD＝2AE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若AB＋AD＝2AE，求证：CD＝CB. （2） 延长AB至点N，使BN＝AD，连接CN. ∵ AB＋AD＝2AE＝ AB＋BN＝AN，∴ 易得AE＝NE. 又∵ CE⊥AN，∴ 同理（1）， 得AC＝NC，∠CAE＝∠CNE. ∵ AC平分∠BAD，∴ ∠DAC＝ ∠CAE. ∴ ∠DAC＝∠BNC. 在△ADC和△NBC中， ∴ △ADC≌△NBC（SAS）.∴ CD＝CB. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. （2024·朔州应县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点 D，AE平分∠BAC交BC于点E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE 交AE的延长线于点M，交AD的延长线于点G，AC的延长线交FG于 点H，连接BG. 有下列结论：① ∠DAE＝∠F；② 2∠DAE＝∠ABD －∠ACE；③ S△AEB∶S△AEC＝AB∶AC；④ ∠AGH＝∠BAE＋∠ACB. 其中，正确的有（　D　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （第11题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝100°，∠ABC的平 分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，且 ∠AEF＝50°，连接DE. （1） 求∠CAD的度数. 解：（1） ∵ EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴ ∠FAE＝90°－50°＝ 40°.∵ ∠BAD＝100°，∴ ∠CAD＝180°－∠BAD－∠FAE＝ 180°－100°－40°＝40°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 求证：DE平分∠ADC. （2） 如图，过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H. ∵ ∠FAE ＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴ AE平分∠FAG，EF＝ EG. ∵ BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴ EF＝EH. ∴ EG ＝EH. ∵ EG⊥AD，EH⊥BC，∴ DE平分∠ADC. （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （3） 若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积. （3） ∵ S△ACD＝15，S△ACD＝S△ADE＋S△CDE，EG＝EH，∴ AD·EG＋ CD·EH＝15，即 ×4EG＋ ×8EG＝15，解得EG＝EH ＝ .∴ EF＝EH＝ .∴ △ABE的面积＝ AB·EF＝ ×7× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $$14.2　三角形全等的判定 第5课时　用“HL”判定两个直角三角形全等 第十四章　全等三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D. 若AC＝DB，则下列结 论中，不正确的是（　C　） A. ∠A＝∠D B. ∠ABC＝∠DCB C. OB＝CD D. OA＝OD （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 根据下列已知条件，不能作出唯一的△ABC的是（　B　） A. ∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B. ∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C. ∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D. ∠C＝90°，AB＝5，BC＝3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点 E. 若∠B＝28°，则∠AEC的度数为 ⁠. （第3题） 59°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. ★如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于 点E，DF⊥AC于点F，AE＝CF，BC＝DA. 求证： Rt△ABE≌Rt△CDF. （第4题） 解：由题意，得∠ABC＝∠ADC＝90°.在Rt△ABC和Rt△CDA中， ∴ Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）.∴ AB＝CD. ∵ BE⊥AC，DF⊥AC，∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°.在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∴ Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点 E，BD和CE交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，则图中全等的 直角三角形有（　C　） A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB的长为 ⁠. （第6题） 7　 7. 如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD. 若∠AFD＝145°，则∠EDF的度数为 ⁠. （第7题） 55°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，PQ＝AB， P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动.当 △ABC和△PQA全等时，AP的长为 ⁠. （第8题） 4或8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. 八年级数学社团活动课上，同学们讨论了这样一道题：如图，在 △ABE和△ACD中，∠BAC是钝角，AB＝AC，点D，E分别在边 AB，AC上，且CD＝BE. 求证：∠AEB＝∠ADC. 其中一名同学的解法如下： 在△ABE和△ACD中， ∴ △ABE≌△ACD. ∴ ∠AEB＝∠ADC. 这种解法遭到了其他同学的质疑，理由是不能用 “SSA”证明三角形全等.请你给出这道题的正确解法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 解：如图，过B，C两点分别作CA，BA的垂线，分别交CA，BA的 延长线于点F，G. 在△ABF和△ACG中， ∴ △ABF≌△ACG（AAS）.∴ BF＝CG. 在Rt△BEF和Rt△CDG 中， ∴ Rt△BEF≌Rt△CDG（HL）.∴ ∠AEB＝∠ADC. （第9题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. （2025·泉州期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD ＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD 上的点，且∠EAF＝70°.给出下列结论：① DC＝BC；② △ADF≌△ABE；③ EF＝BE＋DF；④ AE平分∠FEB. 其中，正确的 有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （第10题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝ ∠DAE，CE的延长线交BD于点F. （1） 求证：△ACE≌△ABD. 解：（1） ∵ ∠BAC＝∠DAE，∴ ∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋ ∠BAE，即∠CAE＝∠BAD. 在△ACE和△ABD中， ∴ △ACE≌△ABD（SAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 若∠BAC＝∠DAE＝50°，请求出∠BFC的度数. （2） ∵ △ACE≌△ABD，∴ ∠AEC＝∠ADB. ∴ ∠AEF＋∠AEC ＝∠AEF＋∠ADB＝180°.∴ 易得∠DAE＋∠DFE＝180°. ∵ ∠BFC＋∠DFE＝180°，∴ ∠BFC＝∠DAE＝50°. （3） 过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF＋DH＝HF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （3） 如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J. ∵ △ACE≌△ABD， ∴ S△ACE＝S△ABD，CE＝BD. ∵ AJ⊥CE，AH⊥BD，∴ CE·AJ＝ BD·AH. ∴ AJ＝AH. 在Rt△AFJ和Rt△AFH中， ∴ Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL）.∴ JF＝HF. 在Rt△AJE和Rt△AHD 中， ∴ Rt△AJE≌Rt△AHD（HL）. ∴ JE＝HD. ∴ EF＋DH＝EF＋JE＝JF＝HF. 　（第11题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$第十四章整合拔尖 第十四章　全等三角形 01 知识体系构建 02 高频考点突破 03 综合素能提升 目 录 返回目录 返回目录 考点一　全等三角形的性质 　（典例1图） 典例1　 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点 F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，则 ∠DGB的度数为 ⁠. [变式]如图，△ABC≌△ADE，BC的延长 线交DA于点F，交DE于点G. 如果 ∠AED＝105°，∠CAD＝15°， ∠B＝50°，那么∠DGF的度数为 ⁠. 65°　 40°　 返回目录 考点二　全等三角形的判定与性质 典例2　（2024·无锡改编）阅读材料： 我们在小学阶段学过长方形，其特点是两组对边平行且相等，并且相邻 两边互相垂直，由此可得，长方形的四个内角都是90°. 知识应用： 如图，在长方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE. 求证： （1） △ABE≌△DCE. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是长方形，∴ AB＝DC，∠B＝∠C＝90°.∵ E是BC的中点，∴ BE＝CE. 在△ABE和△DCE中， ∴ △ABE≌△DCE（SAS）. （典例2图） 返回目录 （2） ∠EAD＝∠EDA. （典例2图） （2） 由（1），得△ABE≌△DCE，∴ ∠BAE＝∠CDE. 又由长方形ABCD可知，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴ ∠BAD－∠BAE＝∠CDA－∠CDE，即∠EAD＝∠EDA. 返回目录 [变式]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为边AC上 一点，连接BE交AD于点F，G为△ABC外一点，满足∠ABF＝ ∠ACG，∠BAC＝∠FAG，连接EG. 求证： （1） △ABF≌△ACG. 解：（1） ∵ ∠BAC＝∠FAG，∴ ∠BAC－∠CAD＝∠FAG－ ∠CAD，即∠BAF＝∠CAG. 在△ABF和△ACG中， ∴ △ABF≌△ACG（ASA）. 返回目录 （2） BE＝CG＋EG. （2） ∵ △ABF≌△ACG，∴ AF＝AG，BF＝CG. ∵ AB＝AC， AD⊥BC，∴ 易得∠BAF＝∠CAD. ∵ ∠BAF＝∠CAG，∴ ∠CAD ＝∠CAG. 在△AEF和△AEG中， ∴ △AEF≌△AEG（SAS）.∴ EF＝EG. ∴ BE＝BF＋EF＝CG＋EG. 返回目录 典例3　如图①，在△ABE中，∠ABE＝60°，C为边BE上的一点，且 AB＝BC，D为边AE上的一点，连接BD，CD，∠ADB＝∠BDC＝60°. （1） 求证：AD＋CD＝BD. 解：（1） 如图①，延长DC至点F，使CF＝AD，连接BF. ∵ ∠ABE＝60°，∴ ∠A＋∠E＝120°.∵ ∠ADB＝∠BDC＝ 60°，∴ ∠CDE＝60°.∴ ∠DCE＋∠E＝120°.∴ ∠A＝∠DCE＝ ∠BCF. 又∵ AB＝CB，AD＝CF，∴ △ABD≌△CBF（SAS）. ∴ BD＝BF，∠ABD＝∠CBF. ∵ ∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝ 60°，∴ ∠DBF＝∠DBC＋∠CBF＝60°. 又∵ ∠BDF＝60°，∴ 易得BF＝DF. ∴ BD＝DF. ∵ CF＋CD＝DF， ∴ AD＋CD＝BD. 返回目录 （2） 如图②，过点C作CH⊥AE于点H. 若BD＝7，AH＝6，CD＝ 2DH，求DH的长. 　 （典例3图） （2） ∵ BD＝AD＋CD，CD＝2DH，∴ BD＝AD＋2DH＝AH＋ DH. ∴ 7＝6＋DH. ∴ DH＝1. 返回目录 [变式]如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD. 若点E在 AD上，求证： （1） BE⊥CE. 解：（1） 如图，∵ BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵ AB∥CD，∴ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.∴ ∠2＋∠3＝90°.∴ ∠BEC＝180°－∠2－∠3＝90°.∴ BE⊥CE. 　（答案图） 返回目录 （2） BC＝BA＋CD. （2） 如图，在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF. 在△ABE和 △FBE中， ∴ △ABE≌△FBE（SAS）.∴ ∠A＝∠5. ∵ AB∥CD，∴ ∠A＋∠D＝180°.∴ ∠5＋∠D＝180°.∵ ∠5＋ ∠6＝180°，∴ ∠6＝∠D. 在△CFE和△CDE中， ∴ △CFE≌△CDE（AAS）. ∴ CF＝CD. ∵ BC＝BF＋CF，∴ BC ＝BA＋CD. 　（答案图） 返回目录 考点三　角的平分线 典例4　如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角的 顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D. 求 证：PC＝PD. 　（典例4图答案） 解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F. ∴ ∠PEC＝∠PFD＝90°.∵ OM是∠AOB的平分线，∴ PE＝PF. ∵ ∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴ 易得∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90° ＝180°.∵ ∠PDO＋∠PDF＝180°，∴ ∠PCE＝∠PDF. 在△PCE和△PDF中， ∴ △PCE≌△PDF（AAS）.∴ PC＝PD. 返回目录 [变式]我们把至少有一组邻边相等的四边形定义为“等邻边四边形”， 把对角互补的“等邻边四边形”定义为“完美等邻边四边形”. （1） 如图①，在“完美等邻边四边形”ABCD中，AD＝CD，∠ABC ＋∠ADC＝180°.请你结合图形，写出“完美等邻边四边形”ABCD的 一条性质. 解：（1） 答案不唯一，如∠BAD＋∠BCD＝180°. 返回目录 （2） 如图②，在四边形ABCD中，若∠ABC＋∠ADC＝180°，连接 BD，BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是“完美等邻边四边形”. （2） 如图②，过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，DN⊥AB于点N. ∵ BD平分∠ABC，DM⊥BC，DN⊥AB，∴ DM＝DN，∠DMB＝∠DNB＝∠AND＝90°.∴ 易得∠ABC＋∠MDN＝360°－90°－90°＝180°.∵ ∠ABC＋∠ADC＝180°，∴ ∠ADC＝∠MDN. 返回目录 ∴ ∠ADC－∠CDN＝∠MDN－∠CDN，即∠ADN＝∠CDM. 在△ADN和△CDM中， ∴ △ADN≌△CDM（ASA）.∴ AD＝CD. ∴ 四边形ABCD是“等邻边四边形”.又∵ ∠ABC＋∠ADC＝180°，∴ “等邻边四边形”ABCD是“完美等邻边四边形”. 返回目录 1. 下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（　D　） A. AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B. ∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E C. ∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF D. BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 2. 如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝ 75°，则∠AFD的度数为（　B　） A. 30° B. 32° C. 33° D. 35° （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 3. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠DAC＋∠BCA＝180°，∠BAC＋∠ACD＝90°，且四边形ABCD的面积是18，则CD的长为（　B　） A. B. 6 C. D. 9 （第3题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 4. 如图，△CBE≌△DAE，连接AB，∠ABE＝65°，∠BAD＝30°， 则∠CBE的度数为 ⁠. （第4题） 35°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 5. 如图，B，C，D三点共线，AC＝BE，AC⊥BE，∠ABC＝ ∠BDE＝90°，AB＝12，CD＝5，则DE的长为 ⁠. （第5题） 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 6. 把两把大小相同的含45°角的三角尺ACF和三角尺CFB按如图所示 的方式摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝12°， ∠CFD＝33°，则∠DEC的度数为 ⁠. （第6题） 66°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 7. （2024·宁波鄞州段考）某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB 的交点，且AC＝BD，AB＝DC，小华认为图中的两个三角形全等， 他的思考过程如下： ∵ AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC， ∴ △AOB≌△DOC. 你认为小华的思考过程正确吗？如果正确， 指出他是用哪个基本事实判定三角形全等 的；如果不正确，写出你的思考过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 解：小华的思考过程不正确.如图，连接BC. 在△ABC和△DCB中， ∴ △ABC≌△DCB（SSS）.∴ ∠A＝∠D. 在△AOB和 △DOC中， ∴ △AOB≌△DOC（AAS）. 　（第7题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 8. 已知直线CD经过∠BCA的内部，CA＝CB，点E，F在射线CD 上，且∠BEC＝∠CFA＝α. （1） 如图①，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF（填 “＞”“＜”或“＝”）. （2） 如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA之间数量关系的条件，使（1）中的结论仍然成立，并说明理由. （第8题） ＝　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 解：添加的条件为α＋∠BCA＝180°.理由：∵ ∠BEC＝∠CFA＝α， ∴ ∠BEF＝180°－∠BEC＝180°－α.∵ ∠BEF＝∠EBC＋ ∠BCE，∴ ∠EBC＋∠BCE＝180°－α.又∵ α＋∠BCA＝180°， ∴ ∠BCA＝180°－α.∴ ∠BCA＝∠BCE＋∠FCA＝180°－α. ∴ ∠EBC＝∠FCA. 在△BCE和△CAF中， ∴ △BCE≌△CAF（AAS）.∴ BE＝CF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 9. （2025·石家庄辛集期末改编）如图，直线AM⊥AN，AB平分 ∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C. 动点D，E同时从点A出 发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D以1cm/s的速度在 直线AM上运动.已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为ts.当动点 D在直线AM上运动时，若△ADB与△BEC全等，求t的值. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 解：∵ AM⊥AN，∴ ∠MAN＝90°.当点D在点A的上方时，∵ AB 平分∠MAN，∴ ∠BAC＝∠BAD＝45°.∵ CB⊥AB，∴ ∠ABC＝ 90°.∴ ∠ACB＝45°＝∠BAC. ∴ BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝ 45°.∴ 当AD＝CE时，△ADB≌△CEB（SAS）.∵ 易得AD＝tcm， CE＝（6－2t）cm，∴ t＝6－2t.∴ t＝2.∴ 当t＝2时， △ADB≌△CEB. 当点D在点A的下方时，易得∠BAD＝∠BCN＝ 135°.∵ BA＝BC，∴ 当AD＝CE且点E在射线CN上时， △ADB≌△CEB（SAS）.∵ AD＝tcm，CE＝（2t－6）cm，∴ 2t－6 ＝t，解得t＝6.综上所述，满足条件的t的值为2或6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 $$14.2　三角形全等的判定 第2课时　用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等 第十四章　全等三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（　D　） A. 只有乙 B. 只有丙 C. 甲和乙 D. 乙和丙 D （第1题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 如图，在△ABC中，F是高AD和高BE的交点，BD＝12，DC＝9， AD＝BD，则线段AF的长为（　D　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 （第2题） D 3. 如图，AB∥CF，E是DF的中点.若AB＝9，CF＝6，则BD＝ ⁠. （第3题） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. 如图，在△ABC和△AEF中，点E在边BC上，∠C＝∠F，AC＝ AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G. （第4题） （1） 求证：△ABC≌△AEF. 解：（1） ∵ ∠CAF＝∠BAE，∴ ∠CAF＋∠EAC＝∠BAE＋ ∠EAC，即∠EAF＝∠BAC. 在△ABC和△AEF中， ∴ △ABC≌△AEF（ASA）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 若∠B＝55°，∠C＝20°，求∠EAC的度数. （2） ∵ ∠B＝55°，∠C＝20°，∴ ∠BAC＝180°－55°－20°＝ 105°.∵ △ABC≌△AEF，∴ AB＝AE. ∴ ∠B＝∠AEB＝55°. ∴ ∠BAE＝180°－∠B－∠AEB＝70°.∴ ∠EAC＝∠BAC－ ∠BAE＝105°－70°＝35°. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝ 90°，则四边形ABCD的面积为（　B　） A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17 （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. 新考法·开放题　如图，AB＝10，∠A＝∠B＝45°，AC＝BD＝ ，点E，F在线段AB上，连接CE，DF. 有下列条件：① CE＝DF ＝4；② AF＝BE；③ ∠CEB＝∠DFA. 请在所给的条件中选择一个条 件，使得△ACE一定和△BDF全等，则这个条件可以为 （填序 号，写出所有正确的答案）. （第6题） ②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD. 若△BCD的面积为 45，△ADC的面积为20，则△ABD的面积为 ⁠. （第7题） 25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 新考法·开放题　（2024·盐城改编）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF. 若 ，则AB＝CD. （第8题） 请从① CE∥DF，② ∠E＝∠F这两个条件中选择一个填在横线上，使 结论成立，并说明理由. 选择不唯一，如①　 解：理由：∵ AE∥BF，∴ ∠A＝∠FBD. ∵ CE∥DF，∴ ∠ACE＝∠D. 在△AEC和△BFD中， ∴ △AEC≌△BFD （AAS）.∴ AC＝BD. ∴ AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. 如图，在△ABC中，AC＝BC，延长AC到点E，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，延长CB到点G，过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，且EF＝GH. （第9题） （1） 求证：△AEF≌△BGH. 解：（1） ∵ AC＝BC，∴ ∠A＝∠ABC. ∵ ∠ABC＝∠GBH，∴ ∠A＝∠GBH. ∵ EF⊥AB，GH⊥AB，∴ ∠AFE＝∠BHG＝ 90°.在△AEF和△BGH中， ∴ △AEF≌△BGH（AAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 连接EG，交FH于点D. 若AB＝4，求DH的长. （2） ∵ △AEF≌△BGH，∴ AF＝BH. ∴ AF－BF＝BH－BF，即 AB＝FH＝4.∵ EF⊥AB，GH⊥AB，∴ ∠EFD＝∠GHD＝90°. 在△EFD和△GHD中， ∴ △EFD≌△GHD （AAS）.∴ DF＝DH＝ FH＝2. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB，ON交于点Q，且OA＝ OB，过A，B两点分别作AM⊥OQ于点M，BN⊥OQ于点N. 若AM ＝9，BN＝4，则MN的长为 ⁠. （第10题） 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6. （第11题） （1） 求BO的长. 解：（1） ∵ △ABC的两条高AD与BE交于点O，∴ ∠CAD＋ ∠ACD＝∠CAD＋∠AOE＝90°.∴ ∠ACD＝∠AOE. ∵ ∠BOD＝ ∠AOE，∴ ∠BOD＝∠ACD. 在△BDO和△ADC中， ∴ △BDO≌△ADC（AAS）. ∴ BO＝AC＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） F是射线BC上的一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段 OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发， 沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q 两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t 的值. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） ① 若点F在线段BC的延长线上（如图①），∵ 由（1）知， ∠AOE＝∠ACD，∴ 180°－∠AOE＝180°－∠ACD，即∠AOP＝ ∠FCQ. 又∵ AO＝FC，∴ 当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ. ∵ OP ＝t，CQ＝6－4t，∴ t＝6－4t，解得t＝1.2.② 若点F在线段BC上 （如图②），∵ 由（1）知，∠BOD＝∠ACD，∴ 180°－∠BOD＝ 180°－∠ACD，即∠AOP＝∠FCQ. 又∵ AO＝FC，∴ 当 △AOP≌△FCQ时，OP＝CQ. ∵ OP＝t，CQ＝4t－6，∴ t＝4t－ 6，解得t＝2.综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为1.2或2. （第11题答案） （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$14.2　三角形全等的判定 第3课时　用“SSS”判定两个三角形全等 第十四章　全等三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中，不 一定正确的是（　D　） A. △ABD≌△ACD B. ∠B＝∠C C. AD平分∠BAC D. AD＝BD 　（第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 2. 如图所示为小明制作的风筝，DE＝DF，EH＝FH. 若∠EDH＝ 43°，则∠EDF的度数为 ⁠. （第2题） 86°　 3. 如图，CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，AC与DE相交于点F. 若 ∠EFC＝76°，∠D＝42°，则∠BCE的度数为 ⁠. （第3题） 34°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的 两侧，AE＝BF，CE＝DF，AD＝BC. （第4题） （1） 求证：△ACE≌△BDF. 解：（1） ∵ AD＝BC，∴ AD－CD＝BC－CD. ∴ AC＝BD. 在 △ACE和△BDF中， ∴ △ACE≌△BDF（SSS）. （2） 若∠CDF＝55°，求∠ACE的度数. （2） 由（1）可知，△ACE≌△BDF，∴ ∠ACE＝∠BDF. ∵ ∠CDF＝55°，∴ ∠BDF＝180°－∠CDF＝125°.∴ ∠ACE＝125°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. 如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，AC交BE于点F. 若 AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　C　） A. ∠EDB B. ∠BEDC. ∠AFB D. 2∠ABF （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. 如图，AB＝CD，BC＝DA. 有下列结论：① ∠BAC＝∠DCA；② ∠ACB＝∠CAD；③ AB∥CD；④ BC∥DA. 其中，正确的是 ⁠ （填序号）. （第6题） ①② ③④　 7. 如图，在△ABC中，AB＝BE，AD＝DE，∠A＝80°，∠C＝ 40°，则∠CDE的度数为 ⁠. （第7题） 40°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. 如图，在△ABC和△ADE中，点E在边BC上，AD＝AB，AE＝ AC，DE＝BC. 若∠EAC＝26°，则∠BED的度数为 ⁠. （第8题） 26°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. （2025·济宁微山期中）求证：如果两个三角形有两条边和其中一边 上的中线分别相等，那么这两个三角形全等. 解：如图，已知在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AM是 △ABC的中线，DN是△DEF的中线，AM＝DN. 求证： △ABC≌△DEF. 证明：∵ BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是 △DEF的中线，∴ BM＝EN. 在△ABM和△DEN中， ∴ △ABM≌△DEN（SSS）. ∴ ∠B＝∠E. 在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF（SAS）. （第9题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 如图，E是边AB上一点，AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，AC与 DE交于点F. （第10题） （1） 求证：∠BCE＝∠ACD. 解：（1） 在△ABC和△DEC中， ∴ △ABC≌△DEC（SSS）.∴ ∠ACB＝∠DCE. ∴ ∠ACB－∠ACE＝∠DCE－ ∠ACE，即∠BCE＝∠ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若∠CEB＝∠CFE，∠ACE＝36°，求∠ACB的度数. （2） ∵ ∠CEB＝∠BAC＋∠ACE，∠CFE＝∠EDC＋∠ACD， ∠CEB＝∠CFE，∴ ∠BAC＋∠ACE＝∠EDC＋∠ACD. 由 （1），得△ABC≌△DEC，∴ ∠BAC＝∠EDC. ∴ ∠ACE＝ ∠ACD. ∵ ∠ACE＝36°，∴ ∠DCE＝∠ACE＋∠ACD＝36°＋ 36°＝72°.由（1），得△ABC≌△DEC，∴ ∠ACB＝∠DCE＝72°. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. 如图，AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则 ∠B的度数为（　C　） A. 15° B. 18° C. 20° D. 22° （第11题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 如图，在△ABC和△DEF中，点C在线段DE上，AC＝DF，AB＝ DE，BC＝EF，∠A＝22°. （第12题） （1） 求∠E＋∠F的度数. 解：（1） 在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF（SSS）.∴ ∠A＝∠D＝22°.∴ ∠E＋∠F＝180°－∠D＝180°－ 22°＝158°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若CD平分∠ACB，DF与BC相交于点G，∠CGF＝88°，求 ∠F的度数. （2） ∵ ∠CGF＝∠D＋∠BCD，∴ ∠BCD＝∠CGF－∠D＝88°－22°＝66°.∵ CD平分∠ACB，∴ ∠BCD＝∠ACD. ∴ ∠ACB＝ 2∠BCD＝2×66°＝132°.又∵ △ABC≌△DEF，∴ ∠F＝∠ACB＝132°. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $$14.1　全等三角形及其性质 第十四章　全等三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 下列图形中，不一定全等的是（　C　） A. 两个半径相等的圆 B. 两个边长相等的正方形 C. 两个面积相等的矩形 D. 两个直角边相等的等腰直角三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 如图，△ABC与△DEF全等，点A，B，C的对应点分别为D，E， F，且点E在AC上，B，F，C，D四点共线.若∠A＝40°，∠EFD ＝75°，则∠B＝ ⁠°. （第2题） 65　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点.若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠ADB的度数为 ⁠. （第3题） 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. （2023·宜春期末）如图，△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与 AC相交于点F. （第4题） （1） 若AE＝2，BC＝3，求线段DE的长. 解：（1） ∵ △ABC≌△DEB，∴ BC＝EB＝3，AB＝DE. ∵ AB＝AE＋EB＝2＋3＝5，∴ DE＝AB＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若∠C＝50°，∠D＝35°，求∠AFD的度数. （2） ∵ △ABC≌△DEB，∴ ∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝ 50°.∵ ∠AFD＝∠A＋∠AEF，∠AEF＝∠D＋∠DBE， ∴ ∠AFD＝∠A＋∠D＋∠DBE＝35°＋35°＋50°＝120°. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. 如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线.有 下列结论：① CD⊥AE；② AD⊥CE；③ ED＝8；④ ∠EAD＝ ∠ECD. 其中，正确的是（　B　） A. ①② B. ①②④ C. ②④ D. ②③④ （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. （2024·深圳福田期中）如图，在4×4的正方形网格中，∠1＋∠2＋ ∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数为（　B　） A. 300° B. 315° C. 320° D. 325° （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. （2023·宜春期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β.当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　B　） A. α＝β B. α＝2β C. α＋β＝90° D. α＋2β＝180° （第7题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 三个全等的三角形按如图所示的方式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数 为 ⁠. （第8题） 180°　 9. 如图，N，C，A三点在同一条直线上，N，B，M三点在同一条直 线上.在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶5∶10，△MNC≌△ABC，则M的度数为 ⁠. 20°　 （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，连接AE，DE. 若△ADE≌△BDE，AC∶AB∶BC＝2∶3∶4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6，求△AEC的周长. （第10题） 解：∵ △ADE≌△BDE，∴ AE＝BE. ∴ C△AEC＝AE＋EC＋AC＝ BE＋EC＋AC＝BC＋AC. ∵ AC∶AB∶BC＝2∶3∶4，∴ 设AC＝2x，则AB＝3x，BC＝4x.∵ △ABC的周长比△AEC的周长大6，∴ C△ABC－C△AEC＝6.∴ （AB＋BC＋AC）－ （BC＋AC）＝6.∴ AB＝3x＝6，解得x＝2. ∴ AC＝2x＝4，BC＝4x＝8.∴ C△AEC ＝BC＋AC＝8＋4＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12 11. 如图，△BKC≌△BKE≌△DKC，BE与KD交于点G，KE与CD交 于点P，BE与CD交于点A，∠BKC＝135°，∠E＝22°，求∠KPD 的度数. （第11题） 解：∵ △BKC≌△BKE≌△DKC，∠BKC＝135°，∠E＝22°，∴ ∠DCK＝∠E＝22°，∠BKE＝∠DKC＝∠BKC＝135°.∴ ∠DKP＝∠BKC＋∠DKC＋∠BKE－360°＝45°.∴ ∠EKC＝ ∠DKC－∠DKE＝135°－45°＝90°.∴ ∠KPD＝∠PCK＋∠PKC＝22°＋90°＝112°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 如图，在锐角三角形ABC中，D，　E分别是边AB，AC上的点， △ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且C'D∥EB'∥BC，BE，CD交 于点F. 若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（　A　） A. 2α＋β＝180° B. 2β－α＝180° C. α＋β＝150° D. β－α＝60° （第12题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1∶∠2∶∠3＝13∶3∶2，CD与BE交于点O，求∠EOC的度数. （第13题） 解：设AE与DC交于点P. ∵ ∠1∶∠2∶∠3＝13∶3∶2，∴ 易得∠1＝130°，∠2＝30°，∠3＝20°.∵ △ABE≌△ADC≌△ABC，∴ ∠DCA＝∠E＝∠3＝20°，∠EAB＝∠1＝130°.∴ ∠PAC＝360°－2∠1＝100°.∴ ∠EPD＝∠APC＝180°－∠PAC－∠DCA＝60°.∴ ∠EOC＝180°－∠EPD－∠E＝180°－60°－20°＝100°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $$