第十三章三角形习题课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

专题特训一　三角形内、外角的平分线的夹角探究 第十三章　三角形 类型一　三角形两内角的平分线的夹角 模型示例：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB. 结论：∠D＝90°＋ ∠A. 1. 如图，在△ABC中，BF，CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线.若 ∠F＝100°，则∠A的度数为 ⁠. （第1题） 20°　 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，∠MON＝80°，点A，B分别在射线OM，ON上移动， △AOB的角平分线AC与BD交于点P. 随着点A，B位置的变化， ∠APB的度数是否会变化？若不变，请说明理由；若变化，请求出变化 范围. （第2题） 1 2 3 4 5 6 7 8 解：∠APB的度数不变.理由：∵ △AOB的角平分线AC与BD交于点 P，∴ ∠PAB＝ ∠OAB，∠PBA＝ ∠OBA. ∴ ∠PAB＋∠PBA＝ ∠OAB＋ ∠OBA＝ （∠OAB＋∠OBA）＝ （180°－∠AOB） ＝90°－ ∠AOB. ∴ ∠APB＝180°－（∠PAB＋∠PBA）＝180° －（90°－ ∠AOB）＝90°＋ ∠AOB. ∵ ∠AOB＝80°， ∴ ∠APB＝90°＋ ×80°＝130°，即随着点A，B位置的变化， ∠APB的度数不变，始终为130°. 1 2 3 4 5 6 7 8 3. （1） 如图①，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC，∠ACB的三等分 线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1的度数为 ⁠. （2） 如图②，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线 交于点O1，O2.若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数. （第3题） 50°　 1 2 3 4 5 6 7 8 解：∵ ∠2是△O2O1B的外角，∴ ∠2＝∠1＋∠O1BO2.∵ ∠1＝ 115°，∠2＝135°，∴ ∠O1BO2＝∠2－∠1＝135°－115°＝20°. ∵ 由题意知，BO2，BO1是∠ABC的三等分线，∴ ∠O1BC＝ ∠O1BO2＝20°，∠ABC＝3∠O1BO2＝3×20°＝60°.∴ ∠O1CB＝ 180°－∠2－∠O1BC＝180°－135°－20°＝25°.∵ CO1是∠ACB 的平分线，∴ ∠ACB＝2∠O1CB＝2×25°＝50°.∴ ∠A＝180°－ ∠ABC－∠ACB＝180°－60°－50°＝70°. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型二　三角形一内角的平分线与一外角的 平分线的夹角 模型示例：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外 角∠ACM. 结论：∠E＝ ∠A. 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线 交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2……∠An－ 1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An.设∠A＝α，则∠An的度 数为（　D　） A. α B. C. D. （第4题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AD为∠CAB的平分 线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD 的延长线与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的度数和为（　B　） A. 120° B. 135° C. 150° D. 160° （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM 的平分线.如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A＋∠P的度数 为 ⁠. （第6题） 90°　 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图①，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点 O重合）. （1） 若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交 于点D. ① 如果∠BAO＝70°，那么∠D的度数为 ⁠. ② ∠D的度数是否随点A，B的运动而发生变化？ 请判断并说明理由. 45°　 1 2 3 4 5 6 7 8 解：（1） ② 不发生变化.理由：∵ 由题意知，AD平分∠BAO，BC 平分∠ABN，∴ ∠BAD＝ ∠BAO，∠CBA＝ ∠NBA. ∵ ∠CBA ＝∠D＋∠BAD，∴ ∠D＝∠CBA－∠BAD＝ ∠NBA－ ∠BAO ＝ （∠NBA－∠BAO）＝ ∠MON. ∵ ∠MON＝90°，∴ ∠D＝ 45°.∴ ∠D的度数不发生变化. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 如图②，如果∠CBA＝ ∠ABN，∠BAD＝ ∠BAO，求∠D的 度数. （2） 由（1）②知，∠D＝∠CBA－∠BAD. ∵ ∠CBA＝ ∠ABN， ∠BAD＝ ∠BAO，∴ ∠D＝ ∠ABN－ ∠BAO＝ （∠ABN－ ∠BAO）＝ ∠MON. ∵ ∠MON＝90°，∴ ∠D＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 （3） 在图①的基础上，若∠MON＝α，其余条件不变，随着点A，B 的运动（如图③），则∠D＝ （用含α的式子表示）. （第7题） α　 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　三角形两外角的平分线的夹角 模型示例：如图，在△ABC中，BF，CF分别平分△ABC的外角∠CBP，∠BCQ. 结论：∠F＝90°－ ∠A. 8. 如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC的外角∠DAB和∠EBA的 平分线交于点G，则∠G的度数为 . 59°　 （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 $$13.3　三角形的内角与外角 第2课时　三角形的外角 第十三章　三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2023·东营）如图，AB∥CD，点E在线段BC上（不与点B，C重合），连接DE. 若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B的度数为（　B　） A. 10° B. 20° C. 40° D. 60° 　（第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 若三角形的三个顶点处的相应外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应 的三个内角的度数之比为（　C　） A. 4∶3∶2 B. 2∶3∶4 C. 5∶3∶1 D. 1∶3∶5 C 3. 如图，∠BCD是△ABC的一个外角，∠B＝50°，∠BCD＝ 110°，CE平分∠ACB，则∠BEC＝ ⁠. （第3题） 95°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. （2024·凉山）如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数为 ⁠. （第4题） 100°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠DAC＝10°，AE是△ABC的外角 ∠MAC的平分线，E为AE与BC延长线的交点，BF平分∠ABC，交 AE于点F. 若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数. （第5题） 解：∵ AD⊥BC， ∴ ∠ADB＝90°. ∴ ∠BAD＝90°－∠ABC＝44°.又∵ ∠DAC＝10°， ∴ ∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝54°.∴ ∠MAC＝180°－∠BAC＝ 126°.∵ AE是△ABC的外角∠MAC的平分线，∴ ∠MAE＝ ∠MAC ＝63°.∵ BF平分∠ABC，∴ ∠ABF＝ ∠ABC＝23°.∴ ∠AFB＝ ∠MAE－∠ABF＝63°－23°＝40°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. 如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，使点B落 在点D的位置，则∠1－∠2的度数是（　D　） A. 32° B. 45° C. 60° D. 64° （第6题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC的内角∠ABC 的平分线，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，CD是△ABC的外角 ∠ACF的平分线.下列结论中，不正确的是（　D　） A. AD∥BC B. ∠ACB＝2∠ADB C. ∠ADC＝90°－∠ABD D. DB平分∠ADC （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 如图，在△ABC中，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外 角平分线.如果∠BDC＝130°，∠E＝50°，那么∠BAC的度数 为 ⁠. （第8题） 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. “三等分一个任意角”是数学史上一个著名的问题.今天人们已经知 道，仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行 探索，其中四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上的一点，连接CF 交AB于点E，G是CF上的一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝ ∠F，请写出∠ECB和∠ACB之间的数量关系，并说明理由. （第9题） 解：∠ACB＝3∠ECB. 理由：∵ ∠GAF＝∠F，∴ ∠AGC＝∠F＋∠GAF＝2∠F. ∵ ∠ACG＝∠AGC，∴ ∠ACG＝2∠F. ∵ 易知AD∥BC，∴ ∠ECB＝∠F. ∴ ∠ACG＝2∠ECB. ∴ ∠ACB＝∠ACG＋∠ECB＝2∠ECB＋∠ECB＝3∠ECB. ' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. （1） 如图①，请探究∠ADB与∠A，∠B，∠ACB之间的数量关 系，并给出证明. 解：（1） ∠ADB＝∠A＋∠B＋∠ACB. 如图①，连接CD并延长至点O. ∴ ∠ADO＝∠A＋∠ACO，∠BDO＝∠B＋∠BCO. ∵ ∠ADB＝∠ADO＋∠BDO，∴ ∠ADB＝∠A＋∠ACO＋∠B＋∠BCO. ∴ ∠ADB＝∠A＋∠B＋∠ACB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 如图②，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A＝24°，∠B＝ 66°，求∠E的度数. （第10题） （2） 由（1），可得∠ADB＝∠A＋∠B＋∠ACB，∠ADE＝∠A＋∠E＋∠ACE. ∵ DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∴ ∠ADE＝ ∠ADB，∠ACE＝ ∠ACB. ∴ ∠ADB＝∠A＋∠E＋ ∠ACB，即∠ADB＝2∠A＋2∠E＋∠ACB. ∴ ∠A＋∠B＋∠ACB＝2∠A＋2∠E＋∠ACB. 整理，得∠E＝ （∠B－∠A）.∵ ∠A＝24°， ∠B＝66°，∴ ∠E＝ ×（66°－24°）＝21°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. （2024·达州改编）如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角 ∠CAB和外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝ ∠CAB，∠E1BD＝ ∠CBD. （1） 若∠C＝60°，则∠E1＝ ⁠. 20°　 （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB和外角∠E1BD的三 等分线，且∠E2AD＝ ∠E1AB，∠E2BD＝ ∠E1BD，…，以此规律 继续作下去.若∠C＝m°，试用含m，n的式子表示∠En的度数. （第11题） 解：由题意，得∠E1AD＝ ∠CAB，∠E1BD＝ ∠CBD，∴ 设∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β.由三角形的外角性质，得β＝α＋∠E1，3β＝3α＋∠C，∴ ∠E1＝ ∠C. 同理，可得∠E2＝ ∠E1＝ ∠C，…，∠En＝ ∠C. ∴ ∠En＝ °. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$13.1　三角形的概念 第十三章　三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 下列三角形的分类中，不正确的是（　D　） A. B. C. D. D 2. 已知△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）2＋｜b－c｜＝0，则 △ABC的形状是（　C　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 以上都不对 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 如图，图中有 个三角形.在△ABE中，AE所对的角 是 ，∠BAE所对的边是 ；在△ADE中，AD 是 所对的边；在△ADC中，AC所对的角是 ⁠. （第3题） 6　 ∠B　 BE　 ∠AED　 ∠ADC　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. 如图，直线l1∥l2，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点，图中 面积相等的三角形共有 对. （第4题） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. 如图，在△ABC中，D是边AC上的点，∠ABC＞90°，∠ABD＝90°. （1） 利用三角尺画BE⊥AC，垂足为E. 解：（1） 如图所示. （2） 写出图中所有的直角三角形、钝角三角形和锐角三角形. （第5题答案） （2） 直角三角形：△ABE，△CBE，△DBE，△ABD. 钝角三角形： △ABC，△BDC. 锐角三角形：无. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. 如图，在△ABC中，D是边AC的中点，连接BD，E是线段BD上的 一点，且BE＝2ED，连接AE，CE. 若△ABC的面积为24cm2，则涂色 部分的面积为（　A　） A. 12cm2 B. 8cm2 C. 6cm2 D. 16cm2 （第6题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 如图，在△ABC中，D是边AC的中点，AB＝5，BC＝3，则△ABD 与△BCD的周长之差是（　A　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 不能确定 （第7题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为48cm.点M从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动；点N从点B开始沿边BC向点C以3cm/s的速度移动.若两点同时出发，则经过4s时，△BMN的面积为（　B　） A. 20cm2 B. 24cm2 C. 28cm2 D. 30cm2 （第8题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. 如图，在△ABC中，CH⊥AB，D为边BC的中点.若△ABD的面积 为2，AB＝3，则CH的长为 ⁠. （第9题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，AD交CE于点F. （第10题） （1） 图中共有几个三角形？把它们一一写出来. 解：（1） 图中共有8个三角形，分别是△AEF，△ABD，△AEC， △ABC，△AFC，△ACD，△CDF，△BCE. （2） 写出含有∠ADC的三角形. （2） 含有∠ADC的三角形有△ACD，△CDF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 在△ACF中，写出∠ACF的对边. （3） 在△ACF中，∠ACF的对边是AF. （4） 以线段BC为边的三角形有哪些？ （4） 以线段BC为边的三角形有△ABC，△BCE. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 观察如图所示的图形，回答问题： （第11题） （1） 图②中共有 个三角形；图③中共有 个三角形；图④中 共有 个三角形……猜测图⑦中共有 个三角形. 3　 5　 7　 13　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 按上面的方法继续下去，图○n 中共有多少个三角形（用含n的代 数式表示）？ 解：∵ 图②中共有3个三角形，3＝2×2－1；图③中共有5个三角形，5 ＝2×3－1；图④中共有7个三角形，7＝2×4－1；…；∴ 图○n 中共有 （2n－1）个三角形. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中 点，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C→E运动，最终到 达点E. 若点P运动的时间为xs，则当△APE的面积为5cm2时，x的值 为（　C　） A. B. 5 C. 或5 D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 分类讨论思想　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝ 8，AB＝10，E是边BC的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长 度的速度沿A→C→B→A运动，回到点A时停止运动.设点P运动的时 间是t秒. （1） CE＝ ⁠. （2） 当点P在边BC上运动时，用含t的代数式表示PE的长. 4　 （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解：（2）根据题意，得点P在边AC上运动的时间为6÷2＝3（秒）， 点P从点C运动到点E需要4÷2＝2（秒），点P从点C运动到点B需 要8÷2＝4（秒）.当点P在点E的左侧（含点E），即3≤t≤5时， PE＝CE－CP＝4－2（t－3）＝10－2t；当点P在点E的右侧， 即5＜t≤7时，PE＝CP－CE＝2（t－3）－4＝2t－10.综上所述， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 当t为何值时，△APE的面积等于6？ （第13题） （3） 如图①，当点P在AC上（0≤t≤3）时，根据题意，得 ×2t·4 ＝6，解得t＝ .如图②，当点P在CE上（3＜t≤5）时，根据题意， 得 （10－2t）·6＝6，解得t＝4.如图③，当点P在BE上（5＜t≤7） 时，根据题意，得 （2t－10）×6＝6，解得t＝6.如图④，当点P在 AB上（7＜t≤12）时，过点E作EG⊥AB于点G. （第13题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 ∵ S△ABC＝S△ACE＋S△ABE，∴ ×6×8＝ ×6×4＋ ×10EG，解得 EG＝ .根据题意，得 ×[10－2（t－7）]× ＝6，解得t＝ .综上 所述，当t的值为 或4或6或 时，△APE的面积等于6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $$13.2　与三角形有关的线段 第2课时　三角形的中线、角平分线、高 第十三章　三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，在△ABC中，下列说法正确的是（　B　） A. 线段AD是边AB上的高 B. 线段BE是边AC上的高 C. 线段CF是边AC上的高 D. 线段CF是边BC上的高 （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线.若 DC＝6，则AE的长为（　A　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 （第2题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 三角形的重心是 的交点. 4. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线.若△ABD与△ADC的周长 之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长. （第4题） 三角形三条中线　 解：∵ AD是△ABC的边BC上的中线，∴ BD＝CD. ∴ △ABD的周长 －△ADC的周长＝（AB＋AD＋BD）－（AC＋AD＋CD）＝AB－ AC＝4，即AB－AC＝4①.又∵ AB＋AC＝14②，∴ ①＋②，得2AB ＝18，解得AB＝9；②－①，得2AC＝10，解得AC＝5.∴ AB的长为 9，AC的长为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. 如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点 E，F为AB上一点，CF⊥AD于点H. 下列判断中，正确的是（　A　） A. AH是△ACF的角平分线和高 B. BE是△ABD的边AD上的中线 C. FH是△ABD的边AD上的高 D. AD是△ABE的角平分线 A （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. 如图，在△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，且AD＝3，CE＝ 6，则AB∶BC等于（　C　） A. 3∶4 B. 4∶3 C. 1∶2 D. 2∶1 （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 如图，△ABC的角平分线AD，中线BE相交于点O，连接DE. 有下 列说法：① AO是△ABE的角平分线；② BO是△ABD的中线；③ DE是 △ADC的中线；④ ED是△EBC的角平分线.其中，正确的有 个. （第7题） 8. 在△ABC中，AM是边BC上的中线.已知AB－AC＝5，且△AMC的 周长是20，则△ABM的周长是 ⁠. 2　 25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. ★如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且 S△ABC＝24cm2，则△AEF的面积为 cm2. （第9题） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 如图，在△ABC中，BC＝8，D是BC的中点，连接AD，点E在 AD上，且AE＝ DE，EF⊥BD于点F，且EF＝ ，则△ABC的面积 为 ⁠. （第10题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E， AD与CE交于点O，连接BO并延长，交AC于点F. 若AB＝5，BC＝ 4，AC＝6，求CE∶AD∶BF. （第11题） 解：∵ AD⊥BC，CE⊥AB，∴ 易得BF⊥AC. ∴ AB·CE＝ BC·AD＝ AC·BF. ∵ AB＝5，BC＝4，AC＝6，∴ ×5CE＝ ×4AD＝ ×6BF. ∴ CE∶AD∶BF＝12∶15∶10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 如图，BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的中线，且BE＝ CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N. 求证：AM＝AN. （第12题） 解：∵ BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的中线，∴ AE＝ AC，AF＝ AB. ∴ S△ABE＝S△ACF＝ S△ABC. ∵ AM⊥CF，AN⊥BE，∴ CF·AM＝ BE·AN. ∵ BE＝CF，∴ AM＝AN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，边AC上的中线BD把 △ABC的周长分为15和17两部分. （1） 求AB和BC的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解：（1） ∵ AB＝AC，边AC上的中线BD把△ABC的周长分为15和 17两部分，∴ 分两种情况讨论：① 当AB＋AD＝AC＋ AC＝15时， 解得AC＝10＝AB. ∴ BC＝17－ ×10＝12.∵ 10，10，12能构成三角 形，∴ AB和BC的长分别为10，12.② 当AB＋AD＝AC＋ AC＝17 时，解得AC＝ ＝AB. ∴ BC＝15－ × ＝ .∵ ， ， 能构 成三角形，∴ AB和BC的长分别为 ， .综上所述，AB和BC的长 分别为10，12或 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若AB＜BC，且点D到边BC的距离为4，求点D到边AB的距离. （第13题答案） （2） 如图，过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AB于点N. ∵ AB＜ BC，∴ AB＝10，BC＝12.∵ BD是△ABC的中线，∴ S△ABD＝S△BCD. ∴ AB·DN＝ BC·DM. ∵ 点D到边BC的距离DM为4，∴ 点D到边 AB的距离DN＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $$13.2　与三角形有关的线段 第1课时　三角形的边 第十三章　三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 在△ABC中，AB＝3，BC＝2，边AC的长为奇数n，则n的值为 （　B　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 B 2. （2023·盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的一组是（　D　） A. 5，7，12 B. 7，7，15 C. 6，9，16 D. 6，8，12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 3. 如图，从一根长度为10m的木条两端各截取一根长度为xm的木条.若 得到的三根木条能组成三角形，则x可以取的值为（　C　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 6 4. 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，且a＝ 3，b＝4.若三边长为连续的整数，则c＝ ⁠. 2或5　 （第3题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 5. 新考法·学科内综合　已知a，b，c是三角形的三边长. （1） 化简：｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜. 解：（1） ∵ a，b，c是三角形的三边长，∴ a－b－c＜0，b－c－a ＜0，c－a－b＜0.∴ ｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜ ＝－a＋b＋c－b＋c＋a－c＋a＋b＝a＋b＋c. （2） 若a＝5，b＝4，c＝3，求（1）中式子的值. （2） 当a＝5，b＝4，c＝3时，∴ ｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜ ＋｜c－a－b｜＝a＋b＋c＝5＋4＋3＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 6. 如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是 四条边上的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，则这根木条不 应该钉在（　C　） A. E，F两点处 B. B，D两点处 C. H，F两点处 D. A，F两点处 （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. 现有2cm，4cm，5cm，8cm，9cm长的五根木棒，任意选取三根组成 一个三角形，选法有（　C　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 8. 若实数m，n满足等式 ＋（n－6）2＝0，且m，n恰好是等 腰三角形ABC的两条边的长，则等腰三角形ABC的周长是（　B　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. 如图，在同一平面内，将长分别为1，5，1，1，d的五条线段首尾顺 次相接，组成凸五边形，则d的值可能为（　C　） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 C （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. （2023·扬州期中）若等腰三角形三边的长分别为4x－2，x＋1，15 －6x，则x的值为 ⁠. 1.7　 10. （1） 若等腰三角形的一边长为6cm，周长为28cm，则其他两边的 长分别为 ⁠. （2） 若等腰三角形的周长为16，则腰长x的取值范围是 ⁠. 11cm，11cm　 4＜x＜8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 12. （2025·德州宁津段考）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4， b＝6，设△ABC的周长为x. （1） 直接写出c及x的取值范围. 解：（1） ∵ a＝4，b＝6，∴ 2＜c＜10.∴ x的取值范围是12＜x＜20. （2） 若x是小于18的偶数. ① 求c的值. （2） ① 由（1），得12＜x＜20.∵ x是小于18的偶数，∴ x＝16或x＝ 14.当x＝16时，c＝6；当x＝14时，c＝4. ② 当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形.当c＝4时，a＝c， △ABC为等腰三角形.综上所述，△ABC是等腰三角形. ② 判断△ABC的形状. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 若三边长分别为a，b，c的三角形满足a－b＞b－c（a为最长边 的长，c为最短边的长，且a≠b≠c），则称它为“不均衡三角形”. 例如：一个三角形的三边长分别为7，5，4，因为7－5＞5－4，所以这 个三角形为“不均衡三角形”. （1） 有下列4组长度的小木棍：① 4，2，1；② 13，18，9；③ 19， 20，19；④ 9，8，6.其中，能组成“不均衡三角形”的为 （填 序号）. ②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 已知“不均衡三角形”的三边长分别为2x＋2，16，2x－6，求 x 的整数值. 解：当16＞2x＋2＞2x－6＞0时，解得3＜x＜7.由题意，得16－（2x ＋2）＞2x＋2－（2x－6），解得x＜3（不合题意，舍去）.当2x＋2 ＞16＞2x－6＞0时，解得7＜x＜11.由题意，得2x＋2－16＞16－（2x －6），解得x＞9.∴ 9＜x＜11.∵ x为整数，∴ x＝10.当x＝10时， 2x＋2＝22，2x－6＝14，22，16，14可以构成三角形.∴ x＝10.当2x ＋2＞2x－6＞16时，解得x＞11.由题意，得2x＋2－（2x－6）＞2x －6－16，解得x＜15.∴ 11＜x＜15.∵ x为整数，∴ x＝12或13或14， 显然都可以构成三角形.综上所述，x的整数值为10或12或13或14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 分类讨论思想　（2024·南京秦淮段考）周长为30，各边互不相等且 都是整数的三角形共有 个. 12　 15. （1） 如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，试比较BP＋PC与 AB＋AC的大小，并说明理由. 解：（1） BP＋PC＜AB＋AC. 理由：在△ABC中，AB＋AC＞BC. ∵ BP＋PC＝BC，∴ BP＋PC＜AB＋AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 将（1）中的点P移至△ABC内，如图②，试比较△BPC的周长与 △ABC的周长的大小，并说明理由. （2） △BPC的周长＜△ABC的周长.理由：如图②，延长BP交AC于 点M. ∵ 在△ABM中，BP＋PM＜AB＋AM，在△PMC中，PC＜ PM＋MC，∴ BP＋PC＜AB＋AM＋MC＝AB＋AC. ∴ BP＋PC＋ BC＜AB＋AC＋BC. ∴ △BPC的周长＜△ABC的周长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （3） 将（2）中的点P变为点P1，P2，如图③，试比较四边形BP1P2C 的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由. 　 　 （第15题） （3） 四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长.理由：如图③，分别延长 BP1，CP2交于点N. 由（2）知，BN＋CN＜AB＋AC. 在△NP1P2 中，∵ P1P2＜P1N＋P2N，∴ BP1＋P1P2＋P2C＜BP1＋P1N＋P2N＋ P2C＝BN＋CN. ∴ BP1＋P1P2＋P2C＋BC＜BN＋CN＋BC＜AB＋ AC＋BC. ∴ 四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$13.3　三角形的内角与外角 第1课时　三角形的内角 第十三章　三角形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2025·定西渭源期中改编）如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折 叠，点A落到点A'处.若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A'DB的度数为 （　D　） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 2. （2025·天津红桥期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°.若∠A∶∠ABC＝2∶1，则∠CBD的度数为（　D　） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° （第2题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，∠E＝60°，∠C＝ 45°，EF∥BC，则∠BND的度数为 ⁠. （第3题） 105°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，且相交于点 O，∠C＝70°. （第4题） （1） ∠AOB的度数为 ⁠. 125°　 （2） 若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数. 解：∵ 在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，∴ ∠DAC＝90°－∠C＝90°－70°＝20°，∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－60°－70°＝50°.∵ AE是∠BAC的平分线，∴ ∠CAE＝ ∠BAC＝25°.∴ ∠DAE＝∠CAE－∠DAC＝25°－20°＝5°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. （2024·宜宾叙州期末改编）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝ 90°，∠B＝68°，D为边AC上靠近点C的一定点，E为边BC上的一 动点，沿DE折叠三角形纸片，当点C落在△ABC内部的点C'处时， ∠ADC'＋∠BEC'等于（　C　） A. 22° B. 33° C. 44° D. 68° （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. 如图，∠A＝65°，∠B＝40°，∠C＝25°，则∠D＋∠E的度数 为（　C　） A. 25° B. 40° C. 50° D. 65° （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. 如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线的交点，过点O作 ∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D. 若∠ABC＝n°，则∠BOD的度数 为（　D　） A. 90°＋ n° B. 45°＋ n° C. 90°－ n° D. 90° （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. （2024·聊城期末改编）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高， CE是∠ACB的平分线，BD，CE相交于点F. 若∠AEC＝80°， ∠BFC＝128°，则∠ABC的度数为 ⁠. 42°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. （2024·西安期中）如图，O为△ABC的三条角平分线的交点， ∠BOC＝120°，则∠BAC＝ ⁠°. （第9题） 60　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 如图，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与 点I重合.若∠1＋∠2＝132°，则∠BIC的度数为 ⁠. （第10题） 123°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. 将一把三角尺（△MPN，其中∠MPN＝90°）放置在△ABC上 （点P在△ABC内），如图①，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和 点C. 现进行如下探究：∠ABP与∠ACP之间是否存在某种数量关系？ （1） 若∠A＝50°，则∠PBC＋∠PCB＝ ；∠ABP＋∠ACP ＝ ⁠. （2） 猜想∠ABP，∠ACP，∠A之间的数量关系，并说明理由.解： （2） ∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A. 理由：∵ （∠PBC＋∠PCB） ＋（∠ABP＋∠ACP）＋∠A＝180°，∴ 90°＋（∠ABP＋ ∠ACP）＋∠A＝180°.∴ ∠ABP＋∠ACP＋∠A＝90°.∴ ∠ABP ＋∠ACP＝90°－∠A. 90°　 40°　 解：（2） ∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A. 理由：∵ （∠PBC＋∠PCB） ＋（∠ABP＋∠ACP）＋∠A＝180°，∴ 90°＋（∠ABP＋ ∠ACP）＋∠A＝180°.∴ ∠ABP＋∠ACP＋∠A＝90°.∴ ∠ABP ＋∠ACP＝90°－∠A. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （3） 如图②，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边 PM，PN仍恰好经过点B和点C，猜想∠ABP，∠ACP，∠A之间的数 量关系，并说明理由. （3） ∠ACP－∠ABP＝90°－∠A. 理由：设AB交PC于点O. ∵ ∠AOC＝∠POB，∴ ∠ACO＋∠A＝∠P＋∠PBO，即∠ACP＋ ∠A＝90°＋∠ABP. ∴ ∠ACP－∠ABP＝90°－∠A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的 ，那么我们称这两个角互为“和谐角”， 这个三角形叫作“和谐三角形”. 例如：在△ABC中，如果∠A＝70°，∠B＝35°，那么∠A与∠B互 为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”. 如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，D是线段AB上一 点（不与点A，B重合），连接CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （1） △ABC是“和谐三角形”吗？为什么？ 解：（1） △ABC是“和谐三角形”.∵ ∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴ ∠B＝30°.∴ ∠B＝ ∠A. ∴ △ABC是“和谐三角形”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若CD⊥AB，则△ACD，△BCD是“和谐三角形”吗？为什么？ （2） △ACD，△BCD是“和谐三角形”.∵ ∠ACB＝90°，∠A＝ 60°，∴ ∠B＝30°.∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC＝∠BDC＝90°.∴ 易 得∠ACD＝30°，∠BCD＝60°.在△ACD中，∵ ∠A＝60°， ∠ACD＝30°，∴ ∠ACD＝ ∠A. ∴ △ACD是“和谐三角形”.在 △BCD中，∵ ∠BCD＝60°，∠B＝30°，∴ ∠B＝ ∠BCD. ∴ △BCD是“和谐三角形”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （3） 如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠A＝80°，D是线段 AB上一点（不与点A，B重合），连接CD. 若△ACD是“和谐三角 形”，求∠ACD的度数. （第12题） （3） ∵ △ACD是“和谐三角形”，∴ 易得∠ACD＝ ∠A或∠ACD＝ ∠ADC. 当∠ACD＝ ∠A时，∠ACD＝ ×80°＝40°；当∠ACD＝ ∠ADC时，∠A＋3∠ACD＝180°，即3∠ACD＝100°， ∴ ∠ACD＝ °.综上所述，∠ACD的度数为40°或 °. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $$专题特训二　三角形中的数学思想方法 第十三章　三角形 1. 如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是△ACB的角平分线，CE 是△ABC的高.若∠DCE＝48°，则∠ACB的度数为（　A　） A. 28° B. 29° C. 30° D. 32° （第1题） A 类型一　方程思想 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC的度数为 ⁠. （第2题） 24°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝ ∠A，BD是边AC上的高.求 ∠DBC的度数. （第3题） 解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝ x.∵ BD是边AC上的高， ∴ ∠ADB＝∠CDB＝90°.∴ ∠ABD＝90°－∠A＝90°－x， ∠DBC＝90°－∠C＝90°－ x. ∵ ∠ABD＋∠DBC＝∠ABC， ∴ 90°－x＋90°－ x＝ x，解得x＝45°. ∴ ∠DBC＝90°－∠C＝90°－ x＝22.5°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型二　转化思想 4. （2025·荆州松滋期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中 线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求 AC的长. （第4题） 解：∵ AD是△ABC的边BC上的中线，∴ CD＝BD. ∵ △ADC的周长比△ABD的周长多5cm，∴ AC＋CD＋AD－（AB＋BD＋AD）＝5cm.∴ AC－AB＝5cm①.又∵ AB＋AC＝13cm②，∴ ①＋②，得 2AC＝18cm.∴ AC＝9cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数. （第5题） 解：∵ ∠AKG＝∠A＋∠B，∠DHG＝∠C＋∠D，∠FGK＝∠E＋ ∠F，∠AKG，∠DHG，∠FGK是△GKH的外角，∴ 易得∠AKG＋ ∠DHG＋∠FGK＝360°.∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型三　整体思想 6. 如图，将一张四边形纸片ABCD沿MN折叠，使点A，D分别落在点 A1，D1处.若∠1＋∠2＝130°，则∠B＋∠C的度数为（　A　） A. 115° B. 130° C. 135° D. 150° （第6题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.如果∠A＝ 40°，那么∠1＋∠2的度数为 ⁠. （第7题） 220°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点E， D，F，G. 若∠BFC＝132°，∠BGC＝118°，求∠A的度数. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：∵ ∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点E，D，F，G， ∴ ∠CBG＝∠EBG＝∠ABE＝ ∠ABC，∠BCF＝∠ECF＝∠ACE ＝ ∠ACB. 在△BCG中，∠BGC＝118°，∴ ∠CBG＋∠BCE＝ 180°－∠BGC＝62°.∴ ∠CBG＋2∠BCF＝62°①.在△BCF中， ∠BFC＝132°，∴ ∠BCF＋∠CBF＝180°－∠BFC＝48°.∴ ∠BCF＋2∠CBG＝48°②.①＋②，得3∠BCF＋3∠CBG＝110°.∴ ∠A＝180°－（3∠BCF＋3∠CBG）＝70°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型四　分类讨论思想 9. 易错题　在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD ＝30°，则∠C的度数为（　D　） A. 30° B. 90° C. 30°或90° D. 30°或60° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折 后得到△AED，边AE交射线BC于点F. （1） 如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC. 解：（1） ∵ ∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴ ∠CAF＋∠BAF＝ 90°，∠B＋∠BAF＝90°.∴ ∠CAF＝∠B. 由折叠的性质可知， ∠B＝∠E，∴ ∠CAF＝∠E. ∴ DE∥AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）. ① 如图②，当DE⊥BC时，求x的值.② 是否存在x的值，使得△DEF 中有两个角相等？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由. （第10题） （2） ① ∵ ∠C＝2∠B，∠C＋∠B＝90°，∴ 易得∠C＝60°，∠B＝30°.∵ DE⊥BC，∠E＝∠B＝30°，∴ ∠BFE＝60°. ∵ ∠BFE＝∠B＋∠BAF，∴ ∠BAF＝30°.由折叠的性质可知，∠BAD＝x°＝ ∠BAF＝15°，∴ x＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② 存在.∵ ∠BAD＝x°，∴ 易得∠FDE＝（120－2x）°， ∠DFE＝（2x＋30）°.当∠FDE＝∠DFE时，120－2x＝2x＋ 30，解得x＝22.5.当∠DFE＝∠E＝30°时，2x＋30＝30，解得x ＝0.∵ 0＜x＜60，∴ 不合题意，舍去.当∠FDE＝∠E＝30°时， 120－2x＝30，解得x＝45.综上所述，存在x＝22.5或45，使得 △DEF中有两个角相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第十三章整合拔尖 01 知识体系构建 02 高频考点突破 03 综合素能提升 目 录 返回目录 考点一　三角形的三边关系 典例1　在△ABC中，有两边长分别是2和5，且△ABC的第三边的长是 偶数，则此三角形的周长为（　D　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 11或13 [变式]（2023·宁波期末）现有长度分别是30cm和25cm的两根木棒，如 果不改变木棒的长度，要将木棒首尾顺次相接钉成一个三角形木架，那 么下列长度的木棒中，不能选取的是（　D　） D D A. 10cm的木棒 B. 30cm的木棒 C. 50cm的木棒 D. 70cm的木棒 返回目录 考点二　三角形的内角和 典例2　（2024·济南天桥期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C ＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数. 　（典例2图） 解：∵ 在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，∴ ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－60°＝90°.∵ AE是△ABC的角平分线，∴ ∠BAE＝ ∠BAC＝45°.∵ AD是△ABC的高，∴ ∠ADB＝90°.∴ 在△ADB中，∠BAD＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.∴ ∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝45°－30°＝15°. 返回目录 [变式]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平 分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E，求证：∠CEF＝∠CFE. 　（答案图） 解：如图.∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠1＋∠3＝90°.∵ CD⊥AB，∴ ∠2 ＋∠4＝90°.又∵ BE平分∠ABC，∴ ∠1＝∠2.∴ ∠3＝∠4.∵ ∠4＝ ∠5，∴ ∠3＝∠5，即∠CEF＝∠CFE. 返回目录 考点三　三角形的外角 典例3　如图①，运用三角形外角的性质不难得到结论：∠BDC＝ ∠BAC＋∠ABD＋∠ACD. 我们可以运用这个结论解决同类图形的角 度问题. （1） 若∠1＝20°，∠2＝30°，∠BEC＝100°，则∠BDC的度数 为 ⁠. 150°　 返回目录 （2） 若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE相交于点E，请写 出∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的数量关系，并说明理由. 解：（2） ∠BDC＋∠BAC＝2∠BEC. 理由：由题意，得∠BDC＝ ∠BEC＋∠1＋∠2①，∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＋∠ACE②.∵ BE 平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴ ∠ABE＝∠1，∠ACE＝∠2.①－ ②，得∠BDC－∠BEC＝∠BEC－∠BAC. ∴ ∠BDC＋∠BAC＝ 2∠BEC. 返回目录 （3） 如图②，若∠1＝ ∠ABD，∠2＝ ∠ACD，试探究∠BDC， ∠BEC和∠BAC之间的数量关系，并说明理由. （典例3图） 返回目录 （3） 2∠BDC＋∠BAC＝3∠BEC. 理由：∵ ∠1＝ ∠ABD，∠2＝ ∠ACD，∴ ∠ABE＝ ∠ABD，∠ACE＝ ∠ACD. ∵ 由题意知， ∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＋∠ACE＝∠BAC＋ ∠ABD＋ ∠ACD ①，∠BDC＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD②，∴ ②＋①，得∠BDC＋ ∠BEC＝2∠BAC＋ ∠ABD＋ ∠ACD. ∴ 3∠BDC＋3∠BEC＝ 6∠BAC＋5∠ABD＋5∠ACD. ∴ 3∠BDC＋3∠BEC＝∠BAC＋5 （∠BAC＋∠ABD＋∠ACD）.∴ 3∠BDC＋3∠BEC＝∠BAC＋ 5∠BDC. ∴ 2∠BDC＋∠BAC＝3∠BEC. 返回目录 [变式]如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与 CE相交于点M. （1） 若∠A＝50°，求∠CMD的度数. 解：（1） ∵ ∠A＝50°，∴ ∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°.∵ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴ ∠MBC＝ ∠ABC，∠MCB＝ ∠ACB. ∴ ∠CMD＝∠MBC＋∠MCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝65°. 返回目录 （2） 如图②，若MN⊥BC于点N，∠A＝60°，求∠1－∠2的度数. （2） ∵ ∠A＝60°，∴ ∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝120°.同理 （1），得∠MBC＋∠MCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝60°. ∴ ∠BMC＝180°－（∠MBC＋∠MCB）＝120°.∴ ∠1＋∠BMN ＝120°①.∵ MN⊥BC，∴ ∠2＋∠BMN＝90°②.①－②，得∠1－ ∠2＝30°. （3） 若∠BEC＝x，∠BDC＝y，则∠BMC＝ （用含x，y的式子表示）. 60°＋ 　 返回目录 1. 把12cm长的铁丝截成三段，首尾顺次相接，围成三边长均不相等的 三角形，且使三边长均为整数，截法有（　A　） A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种 2. （2025·抚顺期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，则 两个锐角的度数为（　A　） A. 30°和60° B. 45°和45° C. 40°和80° D. 以上说法都不对 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. 如图，AD是∠BAC的平分线，∠ADB＝100°，∠DBC＝25°， ∠C＝53°，则∠DBA的度数为（　C　） A. 52° B. 42° C. 58° D. 32° （第3题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 4. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点F在射线AD上， FE⊥BC于点E，∠C＝80°，∠B＝36°，则∠F的度数为 ⁠. （第4题） 22°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 5. （2024·商丘睢阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D 在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处.若 ∠A＝25°，则∠CDE＝ ⁠. （第5题） 6. 已知△ABC的两边长分别为3和7，第三边的长是关于x的方程 ＝x＋1的解，则a的取值范围是 ⁠. 70°　 6＜a＜12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. （2024·济南商河期末改编）如图，在△ABC中，BE，CE，CD分 别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，有下列结论：① ∠BDC ＝∠BAC；② ∠BEC＝90°＋∠ABD；③ ∠CAB＝∠CBA. 其中，正 确的为 （填序号）. ②③　 （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 8. （2025·商洛商南段考）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，且满 足a＋b＝3c－2，a－b＝2c－6. （1） 求c的取值范围. 解：（1） ∵ a，b，c分别为△ABC的三边长，a＋b＝3c－2，a－b ＝2c－6，∴ 即 解得2＜c＜6. （2） 若△ABC的周长为18，求c的值. （2） ∵ △ABC的周长为18，a＋b＝3c－2，∴ a＋b＋c＝4c－2＝ 18，解得c＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. 【模型规律】如图①，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1＋∠B ＝∠A＋∠C＋∠B. 因为凹四边形ABOC形如箭头，其四角具有 “∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫作 “箭头四角形”. 【模型应用】（1） ① 如图②，∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝ 30°，则∠BOC的度数为 ⁠. ② 如图③，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为 ⁠. 110°　 260°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） ① 如图④，∠ABO，∠ACO的平分线BO1，CO1交于点O1.若 ∠BOC＝120°，∠A＝50°，则∠BO1C的度数为 ⁠. ② 如图⑤，∠ABO，∠BAC的平分线BD，AD交于点D. 若∠BOC＝ 120°，∠C＝44°，则∠ADB的度数为 ⁠. ③ 如图⑥，∠BAC，∠BOC的平分线AD，OD交于点D，求∠B， ∠C，∠D之间的数量关系. （第9题） 85°　 142°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 解：∵ 易得∠DOC＋∠D＝∠DAC＋∠C，∴ ∠D＝∠DAC＋∠C －∠DOC. ∵ AD，OD分别是∠BAC，∠BOC的平分线，∴ ∠DAC ＝ ∠BAC，∠DOC＝ ∠BOC＝ （∠BAC＋∠B＋∠C）.∴ ∠D ＝ ∠BAC＋∠C－ （∠BAC＋∠B＋∠C）＝ ∠C－ ∠B＝ （∠C－∠B）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 在△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β. （1） 如图①，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角 ∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D. ① 用含α的式子表示∠BPC的度数. 解：（1） ① ∵ BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，∴ ∠PBC＝∠PBM＝ ∠CBM＝ （∠BAC＋∠ACB）＝ （α＋β），∠BCP＝ ∠BCN＝ （180°－∠ACB）＝ （180°－β）.∴ ∠BPC＝180°－∠PBC－∠BCP＝180°－ （α＋β）－ （180°－β）＝90°－ α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 ② ∵ BD⊥AP，∴ ∠BDP＝90°.在Rt△PBD中，∠PBD＝90°－ ∠BPD. ∵ AP平分∠BAC，∴ ∠BPD＝∠PBM－∠BAP＝∠PBM － ∠BAC＝ （α＋β）－ α＝ β.∴ ∠PBD＝90°－ β. ② 用含β的式子表示∠PBD的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 如图②，若P为△ABC的三条内角平分线的交点，且BD⊥AP于点D. ① 请补全图形. （第10题） （2） ① 补全图形如图②所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 ② （1）中的两个结论发生了变化.∵ ∠BAC＝α，∠ACB＝β， ∴ ∠ABC＋∠ACB＝180°－α，∠ABC＋∠BAC＝180°－β.∵ P为 △ABC的三条内角平分线的交点，∴ ∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB. ② （1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请直接写出正确的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 ∴ ∠PBC＋∠PCB＝ （∠ABC＋∠ACB）.∴ ∠BPC＝180°－ （∠PBC＋∠PCB）＝180°－ （∠ABC＋∠ACB）＝180°－ × （180°－α）＝90°＋ α.∵ 由题意知，BD⊥AD，∴ ∠PDB＝ 90°.∵ 易知∠BPD＝∠ABP＋∠BAP＝ （∠ABC＋∠BAC）＝ （180°－β）＝90°－ β，∴ ∠PBD＝180°－∠PDB－∠BPD＝ 180°－90°－ ＝ β. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$