2024-2025学年高一数学暑假作业7：立体几何初步（人教A版（2019））

人教A版高一暑假作业7：立体几何初步 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，，是三个不同平面，且，，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，则平面四边形OABC的周长为     A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 3.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高18米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为(    ) A. B. C. D. 4.设、是两个平面，m、是两条直线，且下列四个命题： ①若，则或          ②若，则 ③若，且，则       ④若n与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是    A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 5.一个五面体已知，且两两之间距离为并已知则该五面体的体积为   A. B. C. D. 6.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为    A. B. 1 C. 2 D. 3 7.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点不含端点设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则(    ) A. B. C. D. 8.已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面AMN，则线段的长度范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是        A. B. ，且 C. D. 10.在正三棱柱中，D为BC中点，则      A. B. 平面 C. D. 平面 11.如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则(    ) A. ，E，O三点共线 B. 异面直线BD与所成的角为 C. 点到平面的距离为 D. 过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器容器壁厚度忽略不计内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为          单位： 13.在边长为1的正方体中，点M是该正方体表面上一个动点，且平面，则动点M的轨迹的长度是          . 14.如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边的中点，将，，分别沿向上翻折至与平面DEF均成直二面角，得到几何体则二面角的余弦值为          ；几何体的外接球表面积为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图，在三棱柱中，E，F，G，H分别为，，，的中点. 证明：E，F，G，H四点共面. 证明：EG，FH，三线共点. 16.本小题15分 如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点C为不包括端点上一点，M为线段BC的中点.    证明：平面； 若圆台的体积为，求圆台的表面积． 17.本小题15分 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面，，E是PD的中点． 求证：； 求证：平面平面PAD； 若M是线段CE上任意一点，试判断线段AD上是否存在点N，使得平面PAB？请说明理由． 18.本小题17分 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，点E，F分别是棱BC，PD的中点． 证明：平面PAB； 若，求点F到平面PAB的距离． 19.本小题17分 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 求证：平面平面； 求二面角的大小； 在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版高一暑假作业7：立体几何初步 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，，是三个不同平面，且，，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查充分、必要、充要条件的判断，面面平行的性质，属于基础题. 由充分条件和必要条件的定义结合线面、面面的位置关系判断即可得出答案. 【解答】 解：由  ，  ，  ，则  可能相交， 故“  ”推不出“  ”， 由  ，  ，  ，由面面平行的性质定理知  ， 故“  ”能推出“  ”， 故“  ”是“  ”的必要不充分条件. 故选： 2.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，则平面四边形OABC的周长为     A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B  【解析】解：将直观图还原得平行四边形OABC，如下图， 所以， 所以平面四边形OABC为菱形， 其周长为 故选： 3.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高18米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查圆台、圆柱、半球的组合的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果． 【解答】 解：该组合体的直观图如图： 半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为13米， 圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为33米， 半球的体积为立方米， 圆柱的体积为立方米， 圆台的体积为立方米， 该组合体的体积为立方米 故选： 4.设、是两个平面，m、是两条直线，且下列四个命题： ①若，则或          ②若，则 ③若，且，则       ④若n与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是    A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A  【解析】【分析】 根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解答】 解：对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当n既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则n与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线n分别作两平面与分别相交于直线s和直线t， 因为，过直线n的平面与平面的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选： 5.一个五面体已知，且两两之间距离为并已知则该五面体的体积为   A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查组合体体积，涉及棱柱的体积，属于基础题. 采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【解答】 解：用一个完全相同的五面体顶点与五面体一一对应与该五面体相嵌，使得；重合， 因为，且两两之间距离为， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面与侧棱垂直的截面为边长为1的等边三角形，侧棱长为， 故选： 6.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为    A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了棱台的结构特征，棱台的体积和直线与平面所成的角，属于一般题. 利用棱台的体积得正三棱台的高，再利用正三棱台的结构特征，结合直线与平面所成的角，计算得结论. 【解答】 解：因为，，所以，， 而正三棱台的体积为， 因此若正三棱台的高为h，则，解得 若正、正的中心分别为O、，则，， 因此若与平面 ABC所成角为，则 7.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点不含端点设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题． 作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小． 【解答】 解：由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心． 过E作，交CD于F，过底面ABCD的中心O作交EF于N，连接SN， 取AB中点M，连接SM，OM，OE，则， 则，， 显然，，，均为锐角． ，，， ， 又，，， 综上可知 故选 8.已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面AMN，则线段的长度范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 取的中点E，的中点F，连接，，EF，取EF中点O，连接，证明平面平面，从而得点P的轨迹是线段EF，由此能求出线段的长度范围． 【解答】 解：取的中点E，的中点F，连接，，EF，取EF中点O，连接，如图所示， 点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点， ，， 平面，平面， 平面，同理，平面， ，AM，平面AMN， 平面平面， 动点P在正方形包括边界内运动，且面AMN， 点P的轨迹是线段EF， ，， ， 当P与O重合时，的长度取最小值为， 当P与或重合时，的长度取最大值为 线段的长度范围为 故选 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是        A. B. ，且 C. D. 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查空间中的线线关系、线面关系的判断，平面与平面平行的性质的应用，属于基础题. A. 根据直线的位置关系判断；根据直线与平面的位置关系判断；根据平面与平面的位置关系判断；根据面面平行的性质定理判断. 【解答】 解：选项A中，，，则a，b可能平行，也可能相交，故A项不正确； 选项B中，，，则可能且，也可能b在平面或内，故B项不正确； 选项C中，，，，，根据面面平行的判定定理，再加上条件直线a，b相交，才能得出，故C项不正确； 由平面与平面平行的性质定理可知，，，，故D正确． 故选 10.在正三棱柱中，D为BC中点，则      A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD  【解析】解：如图，取中点，连接AD，，， 对于A，易得，而，所以与不垂直即AD与不垂直，故 A错误; 对于B，在正三角形ABC中，D是BC中点，所以， 又因为在正三棱柱中，侧棱底面ABC， 所以，因为，且平面，平面， 所以平面，故B正确; 对于C，因为，，所以不成立，故C错误. 对于D，，平面，平面，所以平面，故 D正确; 故选 11.如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则(    ) A. ，E，O三点共线 B. 异面直线BD与所成的角为 C. 点到平面的距离为 D. 过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查立体几何知识的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题． 通过证明，E，O三点都是平面与平面的公共点，可知A正确；利用线面垂直的判定与性质可证异面直线BD与所成的角为，可知B不正确；通过证明平面，得的长度就是点到平面的距离，计算的长度可知C正确；取的中点G，可得等腰梯形就是过点，B，F的平面截该正方体所得截面，计算等腰梯形的面积可知，D正确． 【解答】 解：因为O为底面ABCD的中心， 所以O为BD和AC的中点，则，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 所以点O是平面与平面的公共点； 显然是平面与平面的公共点； 因为交平面于点E，平面， 所以E也是平面与平面的公共点， 所以，E，O三点都在平面与平面的交线上， 即，E，O三点共线，故A正确； 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 又，，AC，平面， 所以平面， 又平面， 所以，即异面直线BD与所成的角为，故B不正确； 根据证明的方法，同理可得， 因为，BD，平面， 所以平面， 则的长度就是点到平面的距离， 显然E为正三角形的中心， 因为正方体的棱长为1， 所以正三角形的边长为， 所以， 又， 所以， 即点到平面的距离为，故C正确； 取的中点G，连FG，，BF，， 因为， 所以等腰梯形就是过点，B，F的平面截该正方体所得截面，如图： 因为，，， 所以等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为， 即过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器容器壁厚度忽略不计内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为          单位： 【答案】   【解析】解：轴截面如图所示，设铁球半径为r， 则有， 即， 即， 解得或舍， 故答案为： 13.在边长为1的正方体中，点M是该正方体表面上一个动点，且平面，则动点M的轨迹的长度是          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查面面平行的判定，属于中档题. 连接，，，证明平面平面，则动点M的轨迹为，即可得解. 【解答】 解：如图，边长为1的正方体中， 动点M满足平面， 由面面平行的性质得：当BM始终在一个与平面平行的面内，即满足题意， 连接，，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，同理， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 又因平面， 所以平面平面， 又平面，M是该正方体表面上一个动点，所以动点M的轨迹为， 因为，所以动点M的轨迹的长度为 故答案为： 14.如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边的中点，将，，分别沿向上翻折至与平面DEF均成直二面角，得到几何体则二面角的余弦值为          ；几何体的外接球表面积为          . 【答案】 ；   【解析】【分析】 本题考查了二面角的求法，外接球的表面积，考查了空间想象能力与计算能力，属于较难题. 取DE的中点P，EF的中点Q，AB中点G，则二面角为，再根据几何关系分别计算即可得； 取外接球球心O，设中心为P，中心为Q，根据列式求解可得球半径，进而得到表面积即可. 【解答】 解：取DE的中点P，EF的中点Q，连接AP，BQ， 故， 根据面面垂直的性质可得平面DEF，平面DEF，故，且，故四边形 APQB为矩形. 所以 根据图形的对称性，易得为正三角形， 取AB中点G，因为，， 则，，则二面角为， 且， 作，易得，且，， 故， 即二面角的余弦值为； 设几何体的外接球球心为O，设中心为P，中心为Q，易得共线，如图，设外接球半径， 根据正三角形中的关系，， 因为，则，即，即，故，解得， 故外接球表面积为， 故答案为； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图，在三棱柱中，E，F，G，H分别为，，，的中点. 证明：E，F，G，H四点共面. 证明：EG，FH，三线共点. 【答案】证明：如图，连接EF， 是的中位线， 且， 四边形是平行四边形， ， ， ，F，G，H四点共面. 如图，延长EG，FH相交于点 ，平面， 平面 ，平面 平面 平面平面， ， ，FH，三线共点.   【解析】本题考查四点共面的证明，考查三线共点的证明，属于中档题. 解题时要注意空间思维能力的培养． 16.本小题15分 如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点C为不包括端点上一点，M为线段BC的中点.    证明：平面； 若圆台的体积为，求圆台的表面积． 【答案】解：证明：    连接，OM， 因为四边形为等腰梯形， 所以， 因为，O为AB中点， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为M为BC的中点， 所以OM为三角形ABC的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面； 设上底面圆半径为，则，， 下底面圆半径为r，则，， 设圆台高为h，体积为V， 则， 解得， 在截面等腰梯形中，过作AB的垂线，垂足为E，如图：    则， 所以圆台母线长， 所以圆台的表面积为：   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题15分 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面，，E是PD的中点． 求证：； 求证：平面平面PAD； 若M是线段CE上任意一点，试判断线段AD上是否存在点N，使得平面PAB？请说明理由． 【答案】解：证明：平面PAD，平面ABCD，平面平面， 所以 证明：因为平面平面ABCD，平面平面， 因为，，则，所以平面PAD，又因为平面PAB， 所以平面平面 当N为AD中点时，平面 证明：取AD的中点N，连接CN，EN，E，N分别为PD，AD的中点，所以，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 又因为，，所以四边形ABCN为平行四边形， 所以，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，，所以平面平面PAB，又因为平面CNE，所以平面 线段AD上存在点N，使得平面  【解析】由线面平行的性质定理即可证明． 由面面垂直的性质定理证得平面PAD，又因为平面PAB，所以平面平面 取AD的中点N，连接CN，EN，由线面平行的判定定理证明平面PAB，平面PAB，所以平面平面PAB，再由面面平行的性质定理可证得平面 本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行的判断和性质的应用，属于基础题． 18.本小题17分 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，点E，F分别是棱BC，PD的中点． 证明：平面PAB； 若，求点F到平面PAB的距离． 【答案】证明：取PA的中点H，连接FH，BH， 点F是棱PD的中点， ， 点E是棱BC的中点，四边形ABCD是菱形， ，， ，且， 四边形BEFH是平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面 解：由可得：平面 要求点F到平面PAB的距离，只要求点E到平面PAB的距离d即可． 点E是棱BC的中点， 求出点C到平面PAB的距离h，则 取AB的中点O，连接OC， 四边形ABCD是菱形，， 是等边三角形， ， 平面ABCD，， 而，AB，平面PAB， 平面PAB， 是点C到平面PAB的距离， ，   【解析】本题考查了空间位置关系、菱形与等边三角形的性质、点到平面的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 取PA的中点H，连接FH，BH，利用三角形中位线定理、菱形的性质可得四边形BEFH是平行四边形，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明平面 由可得：平面要求点F到平面PAB的距离，只要求点E到平面PAB的距离d即可．点E是棱BC的中点，求出点C到平面PAB的距离h，则 取AB的中点O，连接OC，即可证明平面PAB，进而得出结论． 19.本小题17分 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 求证：平面平面； 求二面角的大小； 在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 【答案】解：证明：因为在等腰梯形ABCD中， ，，E是BC的中点， 所以四边形ABED为菱形，所以， 又，所以，， 又，、平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 因为在等腰梯形ABCD中， ，，E是BC的中点， 所以四边形AECD为平行四边形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，，所以， 又面面DCA， 所以即为二面角的平面角， 因为平面AECD，平面AECD， 所以，又， 则在直角三角形中，， 所以， 即二面角的平面角为； 假设线段上存在点P，使得平面， 过点P作交于Q，连接MP，AQ，如下图所示： 因为，所以， 即可得A，M，P，Q四点共面， 又因为平面，平面平面AMPQ， 所以， 则四边形AMPQ为平行四边形， 所以， 则点P为的中点， 即在线段上存在点P，使得平面，且， 易知为正三角形，且， 所以， 因为，则在直角三角形CMD中， 由勾股定理可得， 因为平面AECD，平面AECD， 所以，则在直角三角形中， 所以， 所以  【解析】本题考查面面垂直的判定，二面角，线面平行的判定，属于中档题． 根据等腰梯形的特征，利用面面垂直的判定定理，即可得出证明； 利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； 假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点P的具体位置，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$