2024-2025学年高一数学暑假作业4：三角函数（1）（人教A版（2019））

人教A版高一暑假作业4：三角函数（1） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.     A. B. C. D. 1 2.已知，，则    A. B. C. D. 3.已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为    A. B. C. D. 4.已知一个扇形的周长为40cm，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为     A. B. 1 C. D. 2 5.已知，则“”是“，”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则  A. B. C. D. 7.镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子平面镜置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为     A. 6m B. 5m C. 4m D. 3m 8.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为      A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法错误的是      A. 若角，则角为第二象限角 B. 如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角 C. 若角为第一象限角，则角也是第一象限角 D. 若一扇形的圆心角为，半径为3cm，则扇形面积为 10.下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 11.已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是(    ) A. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上的单调递减区间为 D. 若函数为偶函数，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的定义域为          . 13.用一张A4纸围绕半径为r的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图所示.设圆柱体母线与截面的夹角为，如图将其中一段圆柱体外包裹的A4纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为若的最小正周期为，则          时，若再有，则          . 14.已知函数，若，且，则的取值范围为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 一个扇形所在圆的半径为5 ，该扇形的周长为 求该扇形圆心角的弧度数； 求该扇形的面积. 16.本小题15分 已知函数     求的最小正周期和单调递减区间；     试比较与的大小． 17.本小题15分 已知函数，， 求； 设函数，求的值域和单调区间. 18.本小题17分 已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合． 若，求的值域； 求函数的值域． 19.本小题17分 定义在R上的函数满足：①；②， 求的值； 若，试求的最大值； 在的条件下，已知函数，，其中，实数m，n为与x无关的常数，记函数的最大值为M，试求M的最小值. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版高一暑假作业4：三角函数（1） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.     A. B. C. D. 1 【答案】D  【解析】解： 故选： 2.已知，，则    A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，， ， ， 3.已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为    A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为函数的对称中心为，， 所以的对称中心为，， 所以，，又，所以a的最小值为 故选 4.已知一个扇形的周长为40cm，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为     A. B. 1 C. D. 2 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查扇形的弧长公式与面积公式应用，属基础题. 设半径为 R ，弧长为 l ，由已知得出方程组  ，解方程组，然后根据弧长公式，求出圆心角，检验，即可得出答案. 【解答】 解：设扇形圆心角为  ，半径为 R ，弧长为 l . 由已知可得，  ，解得  . 所以 . 故选： 5.已知，则“”是“，”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了三角方程的解法，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 先根据三角方程的解法求出满足方程的，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【解答】 解：由，解得， “，”可以推出“”，满足必要性， “”不能推出“，”，不满足充分性， 所以“”是“，”的必要不充分条件． 故选： 6.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则  A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查函数的图像变换规律，属基础题． 由题意利用函数的图像变换规律，得出结论． 【解答】 解：把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像， 把函数的图像，向左平移个单位长度， 得到的图像； 再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 可得的图像． 故选： 7.镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子平面镜置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为     A. 6m B. 5m C. 4m D. 3m 【答案】A  【解析】解： 如图：设建筑物最高点为A，建筑物底部为O，第一次观察时镜面位置为B，第一次观察时人眼睛位置为C处，第二次观察时镜面位置为D， 设O到B之间的距离为， 由光线反射性质得，所以，即，① 同理可得，② ①②两式相比得，解得， 代入①得 故选： 8.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为      A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的图象与性质，属于中档题. 根据已知可得为正奇数，且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合在单调，可得的最大值． 【解答】 解：为的零点，为图象的对称轴， ，即，， 即，，即为正奇数， 在 单调， 所以，即，解得：， 当时，，， ，， 此时在 不单调，不满足题意， 当时，，， ，， 此时在单调，满足题意； 故的最大值为9，  故选  二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法错误的是      A. 若角，则角为第二象限角 B. 如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角 C. 若角为第一象限角，则角也是第一象限角 D. 若一扇形的圆心角为，半径为3cm，则扇形面积为 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查任意角的概念，角的弧度制，象限角，扇形的面积，属于基础题. 利用任意角的概念，角的弧度制，象限角，扇形的面积逐项进行判断. 【解答】 解：若角，，则角为第二象限角，正确； B.如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角，正确； C.若角为第一象限角，， 则，则角是第一或第三象限角，故错误； D.扇形面积为，故错误. 故选 10.下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查同角三角函数关系式，三角函数两角和与差公式与二倍角公式，属于基础题， 利用同角三角函数关系式，三角函数两角和与差公式和二倍角公式逐一判断即可． 【解答】 对于A，因为，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 故选 11.已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是(    ) A. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上的单调递减区间为 D. 若函数为偶函数，则的最小值为 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查部分图象求三角函数解析式，属于中档题. 根据三角函数的图象求出A和 的值，得出函数的解析式，进而求得的解析式，然后结合三角函数的性质判断选项. 【解答】 解：因为，所以，所以 又因为，得舍或， 因为，可得，所以，， 函数的图象向左平移个单位长度，即变换为：，A结论正确； 对于B，，可得关于对称，包含点，故B结论正确； 对于C，函数的递减区间为，故函数在区间上的单调递减区间为，C结论错误； 对于D，函数为偶函数，即为偶函数，易得为最小值，故D错误. 综上故选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的定义域为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数的定义域和三角函数图像，属于基础题. 首先由二次根式有意义的条件，可得，即得出的范围，再根据正弦函数的图象求出函数的定义域. 【解答】 解：函数，  ， ， ， 故函数的定义域为 故答案为 13.用一张A4纸围绕半径为r的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图所示.设圆柱体母线与截面的夹角为，如图将其中一段圆柱体外包裹的A4纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为若的最小正周期为，则          时，若再有，则          . 【答案】1 ；   【解析】【分析】 本题考查了三角函数在实际生活中的应用，正弦型函数的周期性，属于中档题． 利用的最小正周期为，即为圆柱底面周长为，即可求出r的值；结合r的值，从而求出，即可得到答案． 【解答】 解：因为的最小正周期为， 所以圆柱底面周长为，即， 所以得 若，则的最大值是2，最小值是， 则切口的最高点和最低点的竖直方向的距离为4， 所以， 已知是锐角，所以 答案为1； 14.已知函数，若，且，则的取值范围为          . 【答案】  【解析】解：由题意得函数图象的对称中心的横坐标满足，， 解得，， 当时，，当时，，其中， 所以对于，，令与关于对称可以使尽可能小， 故，所以的取值范围为 故答案为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 一个扇形所在圆的半径为5 ，该扇形的周长为 求该扇形圆心角的弧度数； 求该扇形的面积. 【答案】解：由题意可知扇形的半径，周长， 弧长， 圆心角弧度. 扇形面积  【解析】本题考查了扇形的面积公式与圆心角弧度数的计算. 由已知求得弧长l，再由扇形圆心角的弧度数为计算即可； 根据扇形的面积计算即可. 16.本小题15分 已知函数     求的最小正周期和单调递减区间；     试比较与的大小． 【答案】解：，     函数的最小正周期为     令，     得，     函数的单调增区间为，     函数的单调减区间为，     ，          ，且在上单调递增，          ，即   【解析】本题考查正切函数的图象与性质的应用，属于中档题目. 借助正切函数的图象与性质求出函数的最小正周期及单调性求解即可； 化简与利用函数的单调性求解即可. 17.本小题15分 已知函数，， 求； 设函数，求的值域和单调区间. 【答案】解：，因为，所以 由得 ，因为， 所以当时，， 当时， 所以的值域为 令，，得，， 则的单调递减区间为，， 同理可得：的单调递增区间为，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题17分 已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合． 若，求的值域； 求函数的值域． 【答案】解：因为函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合， 所以，所以，又，所以， 所以，且其最小正周期， 所以在上的值域与的值域相同， 由，则，所以， 所以当时，的值域为； 因为， 又，所以， 所以，即函数的值域为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题17分 定义在R上的函数满足：①；②， 求的值； 若，试求的最大值； 在的条件下，已知函数，，其中，实数m，n为与x无关的常数，记函数的最大值为M，试求M的最小值. 【答案】解：由，，得， 所以，，； 由得，， 所以的周期为3，即，所以， 所以， 又， 解得， 所以，； 由知， 又当时，， 函数 ， 此时，或，或， 故可得，， 当时，， 所以函数的最大值M的最小值为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$