2024-2025学年高一数学暑假作业3：指数函数与对数函数（人教A版（2019））

人教A版高一暑假作业3：指数函数与对数函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数的定义域为      A. B. C. D. 2.已知实数a满足，则的值为    A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 3.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为 A. B. C. D. 4.函数的单调递增区间是        A. B. C. D. 5.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 6.设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为(    ) A. 或都可以 B. C. D. 不能确定 7.已知实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是    A. B. C. D. 8.已知函数若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为        A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列运算中正确的是(    ) A. B. 当时， C. 若，则 D. 10.关于已知函数，则下列结论正确的是    A. 的图像关于原点对称 B. 在在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 的值域为 11.已知函数的定义域为R，且，为奇函数，则    A. B. 函数的周期为2 C. D. 若函数与的图象恰有2025个交点，则所有交点的横纵坐标之和为4050 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数的零点为，且，则          . 13.设，满足，则的最小值为          . 14.已知函数，其中且 ①当时，则函数的零点为          ； ②若函数的值域为则实数a的取值范围为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 计算下列各式的值. ； 16.本小题15分 已知定义在R上的函数，其中，，且 试判断函数的奇偶性，并证明你的结论； 解关于x的不等式： 17.本小题15分 已知函数， 当时，求函数的值域； 若函数的最小值为，求实数a的值． 18.本小题17分 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示其中第4年为预估人数，仅供参考： 建立平台第x年 1 2 3 4 会员个数千人 14 20 29 43 依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数千人，并求出你选择模型的解析式：①，②且，③且 为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据中你选择的函数模型求k的最小值. 19.本小题17分 已知函数，在时最大值为1和最小值为设 求实数a，b的值； 若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； 若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数m的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版高一暑假作业3：指数函数与对数函数 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数的定义域为      A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可． 本题考查了求函数定义域的应用问题，也考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 【解答】 解：函数， ， ， 即； 解得， 函数的定义域为 故选： 2.已知实数a满足，则的值为    A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查二次根式有意义的条件，属于基础题． 依据二次根式被开方数为非负数可知，然后化简绝对值，两边进行平方即可． 【解答】 解：，，， ，则， 故选： 3.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 把代入中，直接求解即可． 【解答】 解：在中，， 所以，即， 解得， 所以其视力的小数记录法的数据约为 故选： 4.函数的单调递增区间是        A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查复合函数的单调性及对数函数的图象和性质. 由得：或，令，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案． 【解答】解：由得：或， 即的定义域为或， 令， 在内单调递增， 而时，为减函数，时，为增函数， 故函数的单调递增区间是 故选： 5.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的图象分析，涉及函数定义域、函数的奇偶性、函数特殊值的判断，属于基础题． 根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再分析上函数值的符号，排除D，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，，其定义域为， 有，是偶函数，排除AC， 在区间上，，必有，排除D， 故选： 6.设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为(    ) A. 或都可以 B. C. D. 不能确定 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查二分法，属于基础题． 利用二分法的定义求解． 【解答】 解：因为， ， ， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后， 可确定近似解所在区间为 故选： 7.已知实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是    A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：方法一直接比较法： 设，则，， 通过比较各变量的对数形式： 比较x和即当时，反之 比较y和即当时，反之 比较x和当时，反之 区间分析：选项A成立选项C成立选项D成立无对应选项 选项需满足且，但两者矛盾，故不可能. 故选 方法二特殊值法： 设 令则 令则 令则 8.已知函数若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为        A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了分段函数的图象，函数零点、方程的根的个数和二次方程根的分布，属于中档题. 利用分段函数的图象，结合指、对数函数的图象作出函数的图象，利用函数零点、方程的根的个数，结合图象把问题转化为关于t的方程在有两个不同的实数根，再利用二次方程根的分布，计算得结论. 解：作函数的图象如下： 由图象知：要关于x的方程有6个不同的实数根， 设，则关于t的方程在有两个不同的实数根， 因此，解得， 所以实数a的取值范围为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列运算中正确的是(    ) A. B. 当时， C. 若，则 D. 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了指数和对数的运算，学生的数学运算能力属于基础题． 利用指数和对数运算公式即可直接解出． 【解答】 解：对于A选项，，故A选项错误； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，令，则，故，选项C错误； 对于D选项，，故选项D正确； 故选 10.关于已知函数，则下列结论正确的是    A. 的图像关于原点对称 B. 在在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性的判定、函数的单调性、值域，属于中档题． 由与的关系判定奇偶性即可判断选项A，判断函数的单调性，由奇偶性与单调性判定选项BC，由单调性研究值域即可判断 【解答】 解：函数定义域为R， ， ，， 故函数为偶函数，其图像关于y轴对称，所以A错误; 当时，任取， 则， 因为，所以， 所以， 故在单调递减，故B错误; 又由的图像关于y轴对称，故在上单增，所以C正确; 结合的单调性可知，，故的值域为，所以D正确. 故选 11.已知函数的定义域为R，且，为奇函数，则    A. B. 函数的周期为2 C. D. 若函数与的图象恰有2025个交点，则所有交点的横纵坐标之和为4050 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查周期函数，函数零点、方程的根的个数，抽象函数的奇偶性，函数的对称性，属于中档题. 令可得从而判断A；根据和为奇函数可推出从而判断B；由可得到的性质从而判断C；由和图象的对称性可判断 【解答】 解：对于A选项，令，得，所以，故A正确； 对于B选项，因为是奇函数，所以， 即，又， 所以，所以， 所以，所以函数的周期为2，故B正确； 对于C选项，由B可得， 而不一定成立， 所以不一定成立，故C错误； 对于D选项，由和， 可知和的图象均关于点对称， 若函数与的图象恰有2025个交点， 由对称性可知所有交点的横坐标之和和纵坐标之和均为2025， 故横纵坐标之和为4050，故D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数的零点为，且，则          . 【答案】2  【解析】【分析】 本题考查了函数零点判定定理的应用，属于基础题． 由，可知函数的零点，得n的值. 【解答】 解：函数在上单调递增， 且，， 由， 故函数的零点， 故 故答案为 13.设，满足，则的最小值为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查基本不等式求最值以及对数运算，属于较难题. 设，首先利用指数对数互化得到，利用对数运算得，利用基本不等式求出最小值. 【解答】 解：设，因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为 故答案为：  14.已知函数，其中且 ①当时，则函数的零点为          ； ②若函数的值域为则实数a的取值范围为          . 【答案】   【解析】【分析】 本题考查了分段函数的零点与值域问题，属于中档题． ①当时，分两段，令解出x的值即可； ②先求出第一段的值域，函数的值域为列出不等式组即可求出答案． 【解答】 解：①若，则， 可知，当时，； 当时，令，解得， 故函数的零点为， 综上所述，当时，则函数的零点为； ②当时，， 故显然有， 解得， 故实数a的取值范围为 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 计算下列各式的值. ； 【答案】解：   【解析】本题考查对数运算和指数运算，属于基础题. 由对数的运算性质化简即可得出答案； 由指数幂的运算性质化简即可得出答案. 16.本小题15分 已知定义在R上的函数，其中，，且 试判断函数的奇偶性，并证明你的结论； 解关于x的不等式： 【答案】解：函数为奇函数. 证明：函数的定义域为R， ， 即对任意恒成立. 所以为R上的奇函数. 由，得，即 因为，，且，所以且 由，得 当，即时，解得 当，即时，解得 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为  【解析】本题考查函数的奇偶性和指数不等式的求解，属于中档题. 求出函数的定义域，由函数奇偶性的判断方法可得答案； 可化不等式为，对底数进行分类讨论结合对数的运算可得不等式的解集. 17.本小题15分 已知函数， 当时，求函数的值域； 若函数的最小值为，求实数a的值． 【答案】解：当时，， ，， 则， 即，即的值域为 设， ，，即， 则等价为，对称轴为， 若，则函数在上为增函数， 则当时，函数取得最小值，即，得，得 若，则函数在上为减函数， 则当时，函数取得最小值，即，得，得，此时a不存在; 若，当时，函数取得最小值， 即，即，得或舍， 综上或  【解析】本题主要考查函数最值的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数最值与对称轴之间的关系是解决本题的关键，是中档题． 时，根据对数函数的取值范围进行求解即可． 利用换元法，转化为一元二次函数最值问题进行求解即可． 18.本小题17分 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示其中第4年为预估人数，仅供参考： 建立平台第x年 1 2 3 4 会员个数千人 14 20 29 43 依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数千人，并求出你选择模型的解析式：①，②且，③且 为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据中你选择的函数模型求k的最小值. 【答案】解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 函数增长的速度越来越快， 选择③且， 代入表格中的三个点可得：， 解得：， ，； 由可知：，， 故不等式对恒成立， 对恒成立， 令， 则 ， 在上单调递增， ， ，   【解析】本题考查函数模型的综合应用，函数解析式的求法，二次函数的性质，属于中档题． 根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得参数，进而得到所求模型； 根据中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，进而得到k的取值范围，从而得到结果． 19.本小题17分 已知函数，在时最大值为1和最小值为设 求实数a，b的值； 若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； 若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数m的取值范围． 【答案】解：函数， 在时最大值为1和最小值为 ⅰ当时，不符合题意； ⅱ当时，由题意得对称轴为，在单调增， ，； ⅲ当时，由题意得对称轴为，在单调减， ，不符合题意， 综上： ； 当，令， 在上恒成立， 在上恒成立， 即在上恒成立， 又当时，最小值为， ； 令，当时，方程有两个根； 当时，方程有一个根；当时，方程没有根. 关于x的方程有四个不同的实数解， 关于s的方程在有两个不同的实数解， 在有两个不同的实数解， ， 综上：关于x的方程有四个不同的实数解时，  【解析】本题考查了函数的最值，不等式的恒成立问题以及函数的零点与方程的根的关系，属于难题. 需对a值进行分类讨论研究函数的最值； 需借助换元转化成在上恒成立，进而分离参数求解函数的最值即可； 通过换元分析方程的根，转化为在有两个不同的实数解，进而通过根的分布列式求解. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$