2024-2025学年高一数学暑假作业2：函数及其基本性质（人教A版（2019））

人教A版高一暑假作业2：函数及其基本性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数的定义域为    A. B. C. D. 2.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 3.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 A. B. C. D. 4.若函数的值域为则a的取值范围为     A. B. C. D. 5.设，则a，b，c的大小顺序是    A. B. C. D. 6.在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数单位：人与某产品销售单价单位：元满足关系式，其中，m为常数，当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2015，假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，则下列说法错误的是    A. 实数m的值为10000 B. 销售单价越低，直播在线购买人数越多 C. 当x的值为30时利润最大 D. 利润最大值为10000 7.对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为(    ) A. B. 1 C. D. 2 8.已知函数在其定义域内为偶函数，且，则     A. 0 B. C. 2025 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知幂函数互质，下列关于的结论正确的是(    ) A. 当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数 B. 当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C. 当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D. 当时，幂函数在上是减函数 10.下列说法正确的是(    ) A. 已知集合，若，则 B. 若函数是偶函数，则实数k的值为1 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 已知单调函数，对任意的都有，则 11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则(    ) A. 对于圆O，其“太极函数”有1个 B. 函数是圆O的一个“太极函数” C. 函数不是圆O的“太极函数” D. 函数是圆O的一个“太极函数” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数，则          . 13.若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 =          . 14.已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知，求的解析式； 已知是一次函数，且满足求的解析式． 16.本小题15分 已知一次函数 求解不等式：； 若在上恒成立，求实数m的取值范围. 17.本小题15分 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材.学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导、全科辅学功能、多国语言学习、标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和卡内存自由扩充功能.根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元;当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. 写出年利润万元关于年产量万部的函数解析式; 当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 18.本小题17分 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增． 求函数的解析式； 若，求x的取值范围； 若实数a，R满足，求的最小值． 19.本小题17分 已知函数对任意实数x，y恒有，当时，，且 求的值并判断的奇偶性; 判断函数单调性，求在区间上的最大值; 若对所有的恒成立，求实数m的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版高一暑假作业2：函数及其基本性质 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数的定义域为    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查求函数的定义域，属于基础题. 由偶次根号下的数大于等于0，分母不为0得出关系式，求出即可. 【解答】 解：由题意可得， 解得且， 故函数的定义域为 故选 2.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性，函数图象的作法，属于基础题. 先由函数是奇函数，排除C，D，再由的函数值排除B可得. 【解答】 解：设函数，其定义域为R， ， 是奇函数，排除C，D， 再由时，，排除B，可得选项A符合题意. 故选 3.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，一元二次函数的图象与性质和分段函数的单调性，属于基础题. 利用指数函数、对数函数的单调性和一元二次函数的图象与性质，结合分段函数的单调性得，最后计算得结论. 【解答】 解：因为函数是增函数， 所以要函数在R上单调递增，则，解得， 因此a的取值范围是 4.若函数的值域为则a的取值范围为     A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数的值域，理解二次函数的图象与性质，以及根式函数的性质是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和运算求解能力，属于基础题. 分和两类，结合一次函数、二次函数和根式的性质，求解即可. 【解答】 解：当时，，即值域为满足题意； 当时，设，为使函数的值域为 只需取尽大于等于零的全体实数，即只需函数与x轴有交点即可， 因此，解得， 综上，， 故选 5.设，则a，b，c的大小顺序是    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了利用函数的性质比较大小的问题，属于中档题． 先判断，再化简a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．即可得解. 【解答】 解：因为，，； 且，函数在上是单调增函数， 所以，所以； 综上知， 故选： 6.在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数单位：人与某产品销售单价单位：元满足关系式，其中，m为常数，当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2015，假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，则下列说法错误的是    A. 实数m的值为10000 B. 销售单价越低，直播在线购买人数越多 C. 当x的值为30时利润最大 D. 利润最大值为10000 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数模型的性质及应用，考查二次函数的最值的求法，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，属于中档题． 把，代入，即可求得m值；由题意写出利润函数，再由配方法求最值． 【解答】 解：由，， 且当时，， 得，解得， 故； 依题意可得利润 当时，取得最大值为10100元， 故销售单价元时，销售利润最大，最大利润为10100元． 故选 7.对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为(    ) A. B. 1 C. D. 2 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数新定义，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题． 根据题意，由“类指数”的定义可得，变形可得，结合基本不等式的性质求出的最小值，可得关于k的方程，计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，若正实数a与b为函数的一对“类指数”， 则，变形可得， 则， 若的最小值为9，则，解可得， 故选： 8.已知函数在其定义域内为偶函数，且，则     A. 0 B. C. 2025 D. 【答案】B  【解析】解：由题意知，函数的定义域为R， 因为函数是偶函数，所以， 即，化简得，则； 所以，又，则，解得，则， 因为， 所以 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知幂函数互质，下列关于的结论正确的是(    ) A. 当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数 B. 当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C. 当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D. 当时，幂函数在上是减函数 【答案】AB  【解析】【分析】 本题主要考查幂函数的定义和性质，属于中档题． 利用幂函数的定义和性质及奇偶函数的定义可判断ABC，利用幂函数在上的单调性可判断 【解答】 解：幂函数互质， 故m，n都是奇数时，，则幂函数是奇函数，故A正确； 当m是偶数，n是奇数时，，则幂函数是偶函数，故B正确； 当m是奇数，n是偶数时，幂函数定义域为一定不是偶函数， 如，它的定义域为不是偶函数，故C错误． 当 时，幂函数在上是增函数，故D错误， 故选： 10.下列说法正确的是(    ) A. 已知集合，若，则 B. 若函数是偶函数，则实数k的值为1 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 已知单调函数，对任意的都有，则 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查集合中元素的性质、元素与集合的关系、函数定义域、函数的解析式、复合函数、函数的单调性与单调区间、函数的奇偶性，属于中档题. 利用元素与集合的关系得出或者，再利用集合元素的性质验证即可判定A选项；利用奇偶性的定义求出k的值即可判定B选项；利用复合函数定义域的求解即可判定C选项；利用换元法求出函数的解析式即可判定D选项.  【解答】 解：A选项，已知集合，， 则或者， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去这种情况； 当时，时由以上分析知不成立， 当时集合元素为，符合题意，故最终，故A错误； B选项，函数是偶函数，根据偶函数的定义得到， 代入函数表达式得到， 化简得到，故B正确； C选项，函数的定义域为，由得函数的定义域为故C正确； D选项，设，，且， 则，， 是单调函数，， 则，故D正确. 故选 11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则(    ) A. 对于圆O，其“太极函数”有1个 B. 函数是圆O的一个“太极函数” C. 函数不是圆O的“太极函数” D. 函数是圆O的一个“太极函数” 【答案】BD  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的实际应用，考查了函数的奇偶性的判断． 根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得到答案． 【解答】 解：对于选项A：圆O，其“太极函数”不止一个，故选项A错误， 对于选项B：由于函数，当时，；当时，， 故为奇函数， 所以根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故选项B正确， 对于选项C：函数的定义域为R，，也是奇函数， 故函数是圆O的“太极函数”，故选项C错误， 对于选项D：函数的定义域为R， ，也是奇函数， 故函数是圆O的“太极函数”，故选项D正确， 故选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数，则          . 【答案】15  【解析】【分析】 本题考查函数值的求法，考查运算求解能力，是基础题． 推导出，从则，由此能求出结果． 【解答】 解：函数， ， 故答案为： 13.若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 =          . 【答案】4  【解析】解：因为， 令，则， 又因为， 所以函数为奇函数， 所以， 所以 故答案为： 14.已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查两个函数的交点问题，考查函数图象的平移变换，属于中档题. ，相当于向右平移个单位长度，再将函数值放大倍得到的．相当于向上平移m个单位长度，再对m分类讨论，数形结合即可求得m的取值范围. 【解答】 解：，相当于向右平移个单位长度，再将函数值放大倍得到的．相当于向上平移m个单位长度． ①若，两函数的图象如图1所示，可知两函数在上有且只有1个交点，符合题意； ②若，两函数的大致图象如图2所示．为使两函数在上有且只有1个交点，只需，得或舍去 综上， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知，求的解析式； 已知是一次函数，且满足求的解析式． 【答案】解：方法一：换元法设，则， ，即 所求函数为 方法二：配凑法 所求函数为 待定系数法由题意，设函数为 ， ， 即， 由恒等式性质，得 ， 所求函数解析式为  【解析】本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握换元法，配凑法，待定系数法是解答的关键，属于基础题. 方法一：换元法，方法二：配凑法， 利用待定系数法即可求解． 16.本小题15分 已知一次函数 求解不等式：； 若在上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】解：不等式，即， 解得或， 所以不等式的解集为； 要使在上恒成立， 只需即可， 令，， 由函数的对称轴为，图象开口向上， 则函数在上单调递增， 所以， 所以，解得， 则实数m的取值范围为   【解析】本题考查分式不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，属于基础题. 根据分式不等式的解法即可得解； 要使在上恒成立，只需即可，令，，求出即可得解. 17.本小题15分 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材.学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导、全科辅学功能、多国语言学习、标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和卡内存自由扩充功能.根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元;当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. 写出年利润万元关于年产量万部的函数解析式; 当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 【答案】解：因为当生产该教学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利祠为2960万元， 所以， 解得 当时， 当时， 所以 ①当时，单调递增，所以 ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时W的最大值为3680， 综合①②知，当时，W取得最大值为3680万元.  【解析】本题考查函数的模型应用，考查基本不等式的应用，属于中档题. 根据条件可得相关函数关系式，即可求得； 研究函数的单调性，通过分段函数，结合基本不等式求解即可. 18.本小题17分 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增． 求函数的解析式； 若，求x的取值范围； 若实数a，R满足，求的最小值． 【答案】解：幂函数是偶函数，且在上单调递增， ，且 为正偶数， ，，故 ，，， 即，求得 故x的取值范围为 若实数a，满足，，即， 则 ，当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为  【解析】本题主要考查幂函数的定义和性质，解一元二次不等式，基本不等式的应用，属于中档题． 由题意利用幂函数的定义和性质，求得m、k的值，可得函数的解析式． 由题意可得，，两边平方，解一元二次不等式，求得x的范围． 由题意可得，利用基本不等式求得的最小值． 19.本小题17分 已知函数对任意实数x，y恒有，当时，，且 求的值并判断的奇偶性; 判断函数单调性，求在区间上的最大值; 若对所有的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】解：令，则，所以， 为奇函数，证明如下： 令，则， 所以：对任意恒成立， 所以函数为奇函数; 在R上是减函数，证明如下： 任取且，则， ，所以， 所以在R上为减函数， 当时，单调递减， 所以当时，有最大值为， 因为，所以， 故在区间上的最大值为 由知在区间上单调递减， 所以， 因为对所有的恒成立， 即对任意恒成立， 令，则，即， 解得：或， 故m的取值范围为   【解析】本题考查抽象函数的单调性与奇偶性，考查不等式的恒成立问题，属于较难题. 令，求得，再令，从而得 设且，结合条件用单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性求解区间上的最大值; 根据对所有的恒成立，说明的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$