2024-2025学年高一数学暑假作业6：平面向量（人教A版（2019））

人教A版高一暑假作业6：平面向量 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.是A，B，C，D四点构成平行四边形的    A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，相等向量的含义，属于基础题． 由必要条件、充分条件的定义即可判断出结论． 【解答】 解：由可知 A， B， C， D四点不一定构成平行四边形； 当A， B， C， D四点构成平行四边形时，与不一定相等， 故选 2.已知两点，，则与向量同向的单位向量是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查单位向量的求法，属于基础题． 【解答】 解：由两点，， 可知与向量同向的单位向量是： 故选： 3.已知向量，，则    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出的值，根据的范围便可得出的值． 【解答】 解：，； ； 又； 故选 4.如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，，则塔高AB为    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理及解三角形的实际应用 ，考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式，属于中档题． 根据同角三角函数的基本关系求出，，利用两角和的正弦公式求出，根据正弦定理求出BC，在中求解即可. 【解答】 解：因为，， 所以， 所以 在中，由正弦定理可得， 即，解得 在中， 故选 5.在中，，，，则外接圆的面积为      A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 由余弦定理求得AC的值，再由正弦定理可得，求得R的值，从而求得的外接圆的面积． 【解答】 解：在中，，，，由余弦定理可得 ，， 设外接圆半径为R， 再由正弦定理可得， 的外接圆半径， 外接圆的面积为 故选 6.如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若，则      A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了向量的数量积应用，着重考查了推理与运算能力.属于简单题. 法一：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解即可． 法二：由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，运用勾股定理，进而可求解，得到答案. 【解答】 解：法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系如图所示， 则，设，则，故， ，，解得， 故选 法二：连接EF 由题意，， ， 是BC的中点， 设， 则， 在中，， 即， 解得， 故选 7.已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为    A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A  【解析】【分析】 本小题主要考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，属于较难题. 如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到①；由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到②．由①②可得O分DE所成的比，从而得出的值. 【解答】 解：， ， 如图， D，E分别是对应边的中点， 由平行四边形法则知， ①， 在正三角形ABC中， ， 且三角形AOC与三角形ADC同底边AC， 故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一， 故② 由①②得 故选 8.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且则的最大值为      A. 6 B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，辅助角公式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，属于中档题． 首先由，得：，然后由，结合正弦定理、余弦定理可得：然后根据，知：， 其中锐角满足：，，至此可求最大值. 【解答】 解：因为在中，，所以由，得：，于是由正弦定理得：，因为，，所以，又，所以， 于是由，得：由， 再由正弦定理、余弦定理得：， 化简得： 于是由正弦定理可得：， 所以 ， 其中锐角满足：，， 所以当，，即，时，取得的最大值为 故选 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.化简以下各式： ①；②；③；④ 结果为零向量的是    A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查向量的概念和运算，结合向量加法，减法的运算法则是解决本题的关键．为基础题． 根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可． 【解答】 解：①； ②； ③； ④， 故零向量的是①②④， 故选 10.已知向量，，则     A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查平面向量的数量积的运算，向量的垂直、共线以及模长与夹角的计算，属于基础题. 利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；利用平面向量共线的坐标表示与平面向量数量积的坐标表示可判断B选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断C选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断D选项的正误. 【解答】 解：对于A选项，，则，解得，A选项错误； 对于B选项，，故，，， ，B选项正确； 对于C选项，若，则，，所以，C选项正确； 对于D选项，若，则，， 此时，与的夹角不是，D选项错误. 故选： 11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，内角A平分线交BC于点D，，以下结论正确的是    A. B. C. D. 的面积为 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查正、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，属于中档题. 首先根据余弦定理，并结合条件判断，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积比值，判断选项C和 【解答】 解：在中，由，即， 根据余弦定理得，，即，所以 由倍角公式得，解得 在中，，故选项A正确； 在中，，解得，故选项B错误； ，解得，故选项C正确； 由，则，又，， ，故选项D不正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点G是的重心，则          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了几何图形中的向量加法运算，属于基础题. 连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点，延长AE到点D，使，则，，即可得出答案. 【解答】 解：如图所示， 连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点， 延长AE到点D，使，则，， ， 故答案为： 13.设锐角三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则c的取值范围为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理，余弦定理以及正弦函数的性质，属于中档题. 根据已知及余弦定理化简可得，结合正弦定理与正弦函数的性质可得c的取值范围. 【解答】 解：由及余弦定理得， ，， 又为锐角三角形，， 由正弦定理得， ， 由，得， ，， 的取值范围为， 故答案为 14.一艘船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内包括边界有暗礁，现该船继续东行.当与满足          条件时，该船没有触礁危险. 【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查解三角形的实际应用，属于较难题． 先确定、的值，再作，根据正弦定理可求得BM的关系式，根据求出CM的值，只要就没有触礁危险，从而得到答案． 【解答】 解：过M作于C，如图所示， 由题意可知，，，设， 在中，，根据正弦定理得，即，， 又因为时没有触礁危险，即， 则，即 故答案为或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知向量，，，且， 求向量、； 若，，求向量，的夹角的大小. 【答案】解：因为  ，  ，  ，且  ，  ， 所以  ，  ， 所以  ，  ， 所以  ，  ； 解：设向量  ，  的夹角的大小为  ． 由题意可得，  ， ， 所以  ， 因为  ，所以  ．   【解析】本题考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，考查向量平行共线关系的坐标表示，属于中档题. 由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求 x ， y ，进而可求； 设向量  ，  的夹角的大小为  ．先求出  ，  ，然后结合向量夹角的坐标公式可求． 16.本小题15分 如图，在菱形ABCD中，， 若，求的值； 若，，求 【答案】解：因为，， 所以， 而， 所以，，故 ， ， 为菱形，，， ， 即   【解析】本题考查了向量数量积的概念与运算，平面向量基本定理的应用，是中档题. 结合平面图形以及平面向量的线性运算即可求出x，y的值，进而求出结果； 根据平面向量的加法运算得到，在结合中，利用平面向量数量积的运算律以及定义即可求解. 17.本小题15分 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为   求；   若，，求的周长． 【答案】解 ：因为面积，且， 所以，所以 由正弦定理得， 因为，所以 由得， 因为，所以， 又，所以，，， 由余弦定理得，  ① 由正弦定理得，， 所以，  ② 由①②得：， 所以，即周长为   【解析】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题． 根据三角形面积公式和正弦定理可得答案． 根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决． 18.本小题17分 在中，分别是角所对的边，已知，，，且 ． 求角A的大小 若的面积为，求的值． 求周长的取值范围． 【答案】解：由，，且， 得， ； 又， ； 由余弦定理得， 即， ； 又的面积为， ， ， 由知，，则， ，，，； ， 又，， ， 周长的取值范围  【解析】本题考查平面向量垂直的应用，三角形正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，考查三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，考查运算能力，属于中档题． 运用向量计算化简整理，结合同角三角函数关系，求得，即可得到； 由面积公式求出bc，再由余弦定理求出，即可解得 运用正弦定理可得，，再由，运用两角差的正弦公式，化简计算结合三角函数的图象和性质，即可得到范围． 19.本小题17分 如图，在四边形ABCD中，，，是等边三角形． 若，求的面积； 若，求的面积； 求的面积的最大值． 【答案】解：在中，由余弦定理可得： ，则 因为是等边三角形，所以的面积 在中，由余弦定理可得， 则，故， 因为是等边三角形，所以， 所以 ， 则的面积为， 设，， 在中，由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， ， 则， 所以的面积： ， 因为，， 所以， 当时，S取得最大值，即的面积的最大值为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版高一暑假作业6：平面向量 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.是A，B，C，D四点构成平行四边形的    A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知两点，，则与向量同向的单位向量是(    ) A. B. C. D. 3.已知向量，，则    A. B. C. D. 4.如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，，则塔高AB为    A. B. C. D. 5.在中，，，，则外接圆的面积为      A. B. C. D. 6.如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若，则      A. 3 B. 5 C. D. 7.已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为    A. B. 1 C. 2 D. 3 8.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且则的最大值为      A. 6 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.化简以下各式： ①；②；③；④ 结果为零向量的是    A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10.已知向量，，则     A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，内角A平分线交BC于点D，，以下结论正确的是    A. B. C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点G是的重心，则          . 13.设锐角三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则c的取值范围为          . 14.一艘船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内包括边界有暗礁，现该船继续东行.当与满足          条件时，该船没有触礁危险. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知向量，，，且， 求向量、； 若，，求向量，的夹角的大小. 16.本小题15分 如图，在菱形ABCD中，， 若，求的值； 若，，求 17.本小题15分 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为   求；   若，，求的周长． 18.本小题17分 在中，分别是角所对的边，已知，，，且 ． 求角A的大小 若的面积为，求的值． 求周长的取值范围． 19.本小题17分 如图，在四边形ABCD中，，，是等边三角形． 若，求的面积； 若，求的面积； 求的面积的最大值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$