2024-2025学年高一数学暑假作业5：三角函数（2）（人教A版（2019））

人教A版高一暑假作业5：三角函数（2） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.  A. B. C. D. 2.的值是        A. B. C. D. 3.设，，，则有(    ) A. B. C. D. 4.如图，点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则(    ) A. B. C. D. 5.已知a为正整数，，，且，则当函数取得最大值时， A. B. C. D. 6.已知函数的部分图象如图所示，其中阴影部分的面积为，则函数在上的最小值为    A. B. C. D. 7.若，，且，，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 8.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若、是在内的两根，则的值为     A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 10.已知，下列计算结果正确的是      A. B. C. D. 11.如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则  A. B. C. 的单调增区间为 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则          . 13.在锐角三角形ABC中，若，则的最小值是          . 14.如图所示，圆O与x正半轴的交点为A，点在圆O上，且点C位于第一象限，， 若，则          ；若，则的值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知 求的值； 求的值． 16.本小题15分 已知函数 求函数的单调递减区间； 若为锐角，，求的值． 17.本小题15分 设函数， 已知，函数是偶函数，求的值; 求函数的值域. 18.本小题17分 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为160m，转盘直径为152m，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周约需要游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后，距离地面的高度为 在转动一周的过程中，求H关于t的函数关系式； 求游客甲在开始转动后距离地面的高度； 当游客距离地面的高度不低于122m时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长. 19.本小题17分 已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下： x 0 0 0 0 求的解析式; 将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将所得后的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象. ①求在上的单调增区间; ②若关于x的方程在上有四个不相等的实数根，，，，求的值. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版高一暑假作业5：三角函数（2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.  A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键，属于基础题． 根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可． 【解答】 解： ， 故选： 2.的值是        A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查求三角函数值，诱导公式，两角和的余弦公式，属于基础题. 利用诱导公式和两角和的余弦公式求解. 【解答】 解： ， 故选 3.设，，，则有(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 利用两角和差的正弦公式，倍角公式以及三角函数的单调性进行比较大小即可． 本题主要考查三角函数值的大小比较，结合两角和差的正弦公式，三角函数的倍角公式进行转化是解决本题的关键．比较基础． 【解答】 解：， ， ， 在上为增函数， ， 即， 故选： 4.如图，点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正弦公式的应用，属于基础题． 利用任意角的三角函数的定义求得A的坐标，根据B的坐标求得和的值，再利用两角差的正弦公式求得的值． 【解答】 解：点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点，  ，即， 且，， 则 ， 故选： 5.已知a为正整数，，，且，则当函数取得最大值时， A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查对数的关系式的运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 首先利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出a的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】 解：已知，所以， 所以，解得或舍去 则，由于，所以 则当，即时，函数取得最大值． 故选： 6.已知函数的部分图象如图所示，其中阴影部分的面积为，则函数在上的最小值为    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查由的部分图象求解析式，考查的最值问题，属于一般题． 由图象求出  ，代入  求出  ，由阴影部分面积求出周期 T ，从而求出  ，求出  ，根据即可求得结果． 【解答】 解：由图象知  ，  ，   ，， 阴影部分的面积为  ， 设函数  的最小正周期为T ， ，可得，   ，  ． 当  时，  ， 当  ，即  时，  取得最小值，最小值为  ， 故选： 7.若，，且，，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦，考查转化思想与综合运算能力，属于较难题． 依题意，可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦公式及余弦函数的单调性即可求得答案． 【解答】 解：，，， ，， 又， ，即， ， 又， ， ， 又，， ， ， 故选 8.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若、是在内的两根，则的值为     A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查三角函数的平移变换及函数零点问题，属于较难题目. 由函数图像的变换法则可得到的表达式，求出的对称轴，即可得，即可求解. 【解答】 解：， 所以， 由，可得，取， 可得在内的对称轴方程为， 因为是在内的两根， 所以， 所以 故选 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查同角三角函数关系式，三角函数两角和与差公式与二倍角公式，属于基础题， 利用同角三角函数关系式，三角函数两角和与差公式和二倍角公式逐一判断即可． 【解答】 对于A，因为，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 故选 10.已知，下列计算结果正确的是      A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于基础题. 利用已知，分子分母同时除以，求出，再逐一判断即可. 【解答】 解：因为，所以，所以， ， ， 故选 11.如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则  A. B. C. 的单调增区间为 D. 的图象关于直线对称 【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题.  根据题意可求得，然后逐项判定即可. 【解答】 解：为定值，且为点P到x轴的距离 当h最大时，最大，此时点P为M，N之间的图象上的最高点. ，故是以为直角的等腰三角形. ，， ， 函数的图象过点 ，  ，， ，，， 故A对，B错误. 由，， 可得，， 的单调增区间为，  ， 的图象关于直线对称. 故C错误，D正确. 故选  三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查两角差的正弦函数公式和同角的三角函数基本关系，关键是掌握公式的运用，属于基础题． 根据题意，先利用两角差的正弦函数公式展开，整理后再运用同角的三角函数基本关系化简即可． 【解答】 解：， ， ，即 13.在锐角三角形ABC中，若，则的最小值是          . 【答案】8  【解析】【分析】 本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性． 结合三角形关系和式子可推出，进而得到，换元结合函数特性可求得最小值． 【解答】 解：由 ， 因为， 可得，① 由三角形ABC为锐角三角形，则，， 在①式两侧同时除以可得 ， 又  ②， 则， 由可得 ， 令，由A，B，C为锐角， 可得，，， 由②式得，解得， ， 又， 由得，， 因此的最小值为 故答案为 14.如图所示，圆O与x正半轴的交点为A，点在圆O上，且点C位于第一象限，， 若，则          ；若，则的值为          . 【答案】7 ；   【解析】【分析】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题． 设，由条件利用任意角的三角函数的定义求得，，由图形将表示出来，再由两角差的正切公式及三角恒等变换从而求得所给式子的值． 【解答】 解：点B的坐标为，设， ，， 即，，则 ，，，则，    故答案为   四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知 求的值； 求的值． 【答案】解：，得； 因为， 又，得，所以  【解析】本题考查两角和的正切公式，难点在于对角的范围的确定，属于基础题． 根据，利用两角和的正切公式展开后解方程即可得解； 利用，求出的值，再根据角的范围求值即可． 16.本小题15分 已知函数 求函数的单调递减区间； 若为锐角，，求的值． 【答案】解：， 令，则， 故函数的单调递减区间为 由可得， 因为锐角，故，而， 故， 所以， 而  【解析】本题主要考查了三角函数的定义域与值域，同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和与差的三角函数公式，函数的图象与性质的应用，属于中档题. 利用查三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数单调性求出结果； 利用，结合两角差公式求出结果. 17.本小题15分 设函数， 已知，函数是偶函数，求的值; 求函数的值域. 【答案】解：由， 得， 为偶函数，， 或， ， ，， ， 函数的值域为：  【解析】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属中档题． 函数是偶函数，则，根据的范围可得结果； 化简函数得，然后根据x的范围求值域即可． 18.本小题17分 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为160m，转盘直径为152m，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周约需要游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后，距离地面的高度为 在转动一周的过程中，求H关于t的函数关系式； 求游客甲在开始转动后距离地面的高度； 当游客距离地面的高度不低于122m时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长. 【答案】解：设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点P，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系， 由题意得，H关于t的函数关系式， 当时，，此时，以OP为终边的角是， 即，， 因为该摩天轮转一周约需要，该摩天轮的角速度约为，即， 所以，； 当时，， 即游客甲在开始转动后距离地面的高度约为46m； 由题意可得，，即， 所以， 又，所以， 所以，解得， 所以游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题17分 已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下： x 0 0 0 0 求的解析式; 将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将所得后的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象. ①求在上的单调增区间; ②若关于x的方程在上有四个不相等的实数根，，，，求的值. 【答案】解：由表可知，， ，解得， ， 函数图象过点， 则，即， ，解得， 又， ， ； 将函数图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数， 再将所得后的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，得到函数， ①由，得， 与取交集，得出在上的单调增区间为； ②当时，令，则， 若关于x的方程在上有四个不相等的实数根，，，， 则， 即， 所以， 所以  【解析】本题考查正弦型函数的图象变换、由部分图象求三角函数解析式、判断正弦型函数的单调性或求解单调区间、求函数的零点方程的根，属于中档题. 根据表格中的数据，求出A，，的值，即可求出结果； 根据平移规律求出的解析式，①解，求出x的取值范围与取交集，即可求出结果； ②令，则，根据正弦函数的图像和性质，得出，得出，，即可求出结果. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$