精品解析：广西壮族自治区河池市2024-2025学年高一下学期期末学业水平质量检测数学试题

河池市2025年春季学期高一期末学业水平质量检测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与是共轭复数，已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（ ） A. B. C. D. 3. 下列向量的概念错误的是（ ） A. 长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B. 零向量和任何向量都是共线向量 C. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D. ，，则 4. 如图，正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A B. C. D. 5. 如图所示，已知在正方形中，、分别是边、中点，与交于点.设，，下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知样本空间，事件，事件，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 事件与事件独立 D. 事件与事件互斥 7. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（ ） A. B. C. D. 8. 某市圆形花圃，现要均分成块，种植种不同花卉，工匠计划将花圃按左图方式分割.先将花圃均分成块，在按照右图将每个角花圃近似的均分成三块（三部分面积近似均等），从弧的中点出发，左右对称分割，已知右图中，，，则的长度最接近（ ）（，） A B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设、为不重合的两平面，、为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，，，，则 C. ，，则 D. ，，则 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 对应的点在复平面的第三象限 C. ，则为实数 D. ，则为纯虚数 11. 在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（ ） A. 越大越费力，越小越省力 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 是关于的方程的一个根，则实数__________. 14. 正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角、、的对边分别为、、，. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 2025年NBA选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛.在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩（个数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 （1）求甲运动员的样本数据第75百分位数； （2）分别计算这两位运动员10轮投篮成绩的平均数和方差； （3）根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？ 17. 一个不透明的袋中装有除了颜色外大小、质地均一致的4个小球，其中3个红球，1个白球，设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示： 游戏1 游戏2 摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球 获胜规则 若摸出2个红球，则甲获胜，否则乙获胜 （1）写出游戏1与游戏2的样本空间，并分别求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率； （2）甲与乙两人玩游戏1，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率. 18. 如图，已知三棱锥中，平面平面，平面，为的中点，为等边三角形，为中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求二面角的正切值. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，，若点为该的外心，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河池市2025年春季学期高一期末学业水平质量检测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与是共轭复数，已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法化简复数，结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，故. 故选：A. 2. 某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所有直方图面积之和为可求得实数的值. 【详解】在频率分布直方图可知，所有直方图面积之和为， 所以，解得. 故选：B. 3. 下列向量的概念错误的是（ ） A. 长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B. 零向量和任何向量都是共线向量 C. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D. ，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 4. 如图，正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 连结，得到，则为异面直线与所成的角，再求的大小，从而得到答案. 【详解】连结，则， 所以为异面直线与所成的角. 在正方体中，因为为正三角形，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角，求解时要注意先利用直线平移找到异面直线所成角，再进行角的大小求解，属于基础题. 5. 如图所示，已知在正方形中，、分别是边、的中点，与交于点.设，，下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量垂直的数量积关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由平面向量加法的平行四边形法则可得，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可得，， 所以，故，D对. 故选：A. 6. 已知样本空间，事件，事件，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 事件与事件独立 D. 事件与事件互斥 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解AB,根据独立事件的乘法公式即可判断C，根据互斥事件的定义即可求解D. 【详解】对于A, ,故A正确， 对于B, ,故B正确， 对于C,由于，则，故事件与事件独立，C正确， 对于D,事件与事件有公共的样本点，故不互斥，D错误， 故选：D 7. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将平面、平面延展为同一个平面，分析可知当、、三点共线时，取最小值，结合勾股定理可求得结果. 【详解】将平面、平面延展为同一个平面，如下图所示： 由图可知，当、、三点共线时，取最小值， 且，，且， 延展后，、、共线，且，，， 由勾股定理可得. 故的最小值为. 故选：D. 8. 某市圆形花圃，现要均分成块，种植种不同花卉，工匠计划将花圃按左图方式分割.先将花圃均分成块，在按照右图将每个角花圃近似的均分成三块（三部分面积近似均等），从弧的中点出发，左右对称分割，已知右图中，，，则的长度最接近（ ）（，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得扇形面积，又均分成三块，即，再利用三角形面积公式可求解. 【详解】因为，设，， ， ， 即，所以. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设、为不重合的两平面，、为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，，，，则 C. ，，则 D. ，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面、面面的位置关系可判断AC选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用线面垂直的性质定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，，，，则，B对； 对于C选项，若，，则或，C错； 对于D选项，若，，由线面垂直的性质可得，D对. 故选：BD. 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 对应的点在复平面的第三象限 C. ，则为实数 D. ，则为纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解A，根据复数的几何意义即可求解B，根据复数的乘除法法则化简复数，结合复数分类即可求解CD. 【详解】对于A,,故A正确， 对于B，，则对应的点为，位于第二象限，故B错误， 对于C, 为实数，故C正确， 对于D, 为纯虚数，故D正确， 故选：ACD 11. 在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（ ） A. 越大越费力，越小越省力 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且，则，解得. 故答案为：. 13. 是关于的方程的一个根，则实数__________. 【答案】10 【解析】 【分析】由方程的两个根为共轭复数，利用韦达定理求的值. 【详解】若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数， 即为该方程的两根，由韦达定理，. 故答案为：10. 14. 正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据正四面体的特征可结合三角形的边角关系求解长度，即可根据勾股定理求解球半径，由与截面垂直时截面最小，即可根据勾股定理求解. 【详解】由正四面体的特征可知其外接球的球心在高所在的直线上，设球心为， 则,, , 设外接球的半径为,则, 代入的值可得, 要使过点作正四面体外接球的截面中面积最小，则到球心的距离最大，即与截面垂直时，此时截面最小， 则到球心的距离, 故截面圆的半径为, 因此截面圆的面积为， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角、、的对边分别为、、，. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用三角形的面积公式可求出的值，结合余弦定理可得出的值，由此可得出的周长. 【小问1详解】 因， 由正弦定理可得，故， 由余弦定理得， 因为，故. 【小问2详解】 由三角形的面积公式得，可得， 由余弦定理得， 解得，故的周长为. 16. 2025年NBA选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛.在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩（个数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 （1）求甲运动员的样本数据第75百分位数； （2）分别计算这两位运动员10轮投篮成绩的平均数和方差； （3）根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？ 【答案】（1）9 （2）甲平均数为7，方差为4.6，乙的平均数为7，方差为1.2 （3）乙发挥的更加稳定，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的计算公式即可求解， （2）由平均数和方差的计算公式即可求解，， （3）根据方差的大小即可比较作答. 【小问1详解】 甲运动员的成绩从小到大排列为， ，故甲运动员的样本数据第75百分位数为9， 小问2详解】 甲的平均数为， 方差为 乙的平均数为 方差为 【小问3详解】 由（2）知：， 故乙发挥的更加稳定. 17. 一个不透明的袋中装有除了颜色外大小、质地均一致的4个小球，其中3个红球，1个白球，设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示： 游戏1 游戏2 摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球 获胜规则 若摸出2个红球，则甲获胜，否则乙获胜 （1）写出游戏1与游戏2的样本空间，并分别求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率； （2）甲与乙两人玩游戏1，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）三个红球为号，记白球为号，用表示两次摸球的情况，结合游戏方式，即可求出答案； （2）确定甲要获胜，他先得4分有几种情况，根据互斥事件以及独立事件的概率公式，即可求得答案. 【小问1详解】 记三个红球为号，记白球为号，用表示两次摸球的情况， 记游戏1与游戏2的样本空间分别为， 记“在游戏1中甲获胜”，记“在游戏2中甲获胜” ，， 【小问2详解】 记“甲获得第局游戏胜利”，，记“甲获得比赛胜利” 由（1）， 18. 如图，已知三棱锥中，平面平面，平面，为的中点，为等边三角形，为中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）取线段的中点，连接，推导出平面，为的中点，由线面角的定义可知直线与平面所成角为，即可求解； （3）连接，分别取、的中点、，连接、、，由二面角的定义可知，二面角的平面角为，求出、的长，即可求得的正切值，即为所求. 【小问1详解】 因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面. 【小问2详解】 取线段的中点，连接，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，所以平面， 故直线与平面所成角为， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为为的中点，故为的中点， 又因为为等边三角形，故， 因此，直线与平面所成角为. 【小问3详解】 连接，分别取、的中点、，连接、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， ， 同理可得，， 因为平面，所以平面， 因为、平面，所以，， 又∵平面,平面，∴， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 故二面角的平面角为，且， 因此，二面角的正切值为. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，，若点为该的外心，求的最大值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【小问1详解】 根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故. 【小问2详解】 因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为. 【小问3详解】 由题意得，， 在中，，，又，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $