2024-2025学年高一数学暑假作业1：集合与常用逻辑、不等式、复数（人教A版（2019））

人教A版高一暑假作业1：集合与常用逻辑、不等式、复数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的虚部为(    ) A. B. 0 C. 1 D. 6 2.设全集是小于9的正整数，集合，则中元素个数为    A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 3.不等式的解集是    A. B. C. D. 4.设，则“”是“”的      A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知，，且，则a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.若为的解集，则的解集为    A. 或 B. C. D. 或 7.已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜爱的第33届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个比赛项目名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有14名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有11名，喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有      A. 8人 B. 7人 C. 6人 D. 5人 8.已知正数a， b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是    A. 复数z的虚部为 B. 复数z的共轭复数 C. D. z在复平面内对应的点位于第三象限 10.下列说法正确的是(    ) A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. “”是“关于x的方程有实根”的充要条件 11.已知关于x的不等式，下列结论正确的是(    ) A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，不等式的解集可以为的形式 C. 不等式的解集恰好为，那么 D. 不等式的解集恰好为，那么 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.将集合用列举法表示为          . 13.若“ ，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是          . 14.设复数，满足，，则          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知复数，，，i为虚数单位. 若是纯虚数，求实数m的值; 若，求的值. 16.本小题15分 已知，，求和的取值范围； 已知，，求的取值范围. 17.本小题15分 已知集合，集合，p：，q： 当实数a为何值时，p是q的充要条件； 若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18.本小题17分 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设 要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ 要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？精确到米 当AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出最小值． 19.本小题17分 对于四个正数a，b，c，d，若，那么称是的“不足序列”． 对于3，4，5，7，试求的“不足序列”； 对于四个正数P，Q，R，T，若是的“不足序列”，试判断：，，之间的大小关系，并说明理由； 设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数k，使得是的“不足序列”，且是的“不足序列”，求：正整数n的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版高一暑假作业1：集合与常用逻辑、不等式、复数 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的虚部为(    ) A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C  【解析】解：，所以z的虚部为1 故选： 2.设全集是小于9的正整数，集合，则中元素个数为    A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C  【解析】解：依题意，，所以，共5个元素， 故选 3.不等式的解集是    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，可得， 即为，且，可得 故选 4.设，则“”是“”的      A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题． 根据充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果. 【解答】 解：，， ，， 推不出， ， 是的必要不充分条件， 即是的必要不充分条件． 故选： 5.已知，，且，则a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，利用到了二次函数根的分布来求解集合关系中的参数问题，属于中档题. 化简集合A，B，根据，建立条件关系即可求实数a的取值范围． 【解答】解：由题意：， ， ①当时，满足题意，此时无解， ，即， 解得： ②当时，要使成立， 此时令有解， 根据二次函数根的分布， 可得，且，即，且或， 解得：或， 综合①②可得： 故选 6.若为的解集，则的解集为    A. 或 B. C. D. 或 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查一元二次不等式的解法，根据条件求出a，b的值是解决本题的关键，属于基础题． 根据不等式的解集得到2，3是对应方程的两个根，利用韦达定理求出a，b的值，即可解所求不等式的解． 【解答】 解：的解集为， ，3是对应方程的两个根， ， 解得，， 则等价为， 即， 解得或， 即不等式的解集为或 故选 7.已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜爱的第33届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个比赛项目名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有14名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有11名，喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有      A. 8人 B. 7人 C. 6人 D. 5人 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查集合的实际应用，Venn图，属于较难题. 根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即得. 【解答】 解：如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有x人，   由图可知，解得， 所以该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故选： 8.已知正数a， b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是    A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，属于较难题． 利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为对任意实数x恒成立，再利用配方法求出的最大值得答案． 【解答】 解：，，且， 当且仅当，即，时，等号成立，则 若不等式对任意实数x恒成立， 则，即对任意实数x恒成立， ， 实数m的取值范围是 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是    A. 复数z的虚部为 B. 复数z的共轭复数 C. D. z在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题主要考查复数的运算、模、共轭复数、几何意义，属于基础题. 先由复数的运算法则化简复数z，然后由复数的概念求出a的值，然后逐项进行分析即可. 【解答】 解：， 则，解得， 所以其虚部为，故A正确; ，其共轭复数，故B错误; ，故C正确; z在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确. 故选 10.下列说法正确的是(    ) A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. “”是“关于x的方程有实根”的充要条件 【答案】BD  【解析】【分析】 本题主要考查了充分必要条件的判断，存在量词命题的否定，属于中档题. ACD项由充分条件和必要条件的定义逐一判断即可；B项由存在量词命题的否定是全称量词命题可知. 【解答】 解：对于A，例如，满足，但，所以A错误; 对于B，存在量词命题的否定为全称量词命题，所以B正确; 对于C，当且，可得，但，满足，但，所以“且”是“”的充分不必要条件，所以C不正确; 对于D，方程有实根，所以D正确. 故选 11.已知关于x的不等式，下列结论正确的是(    ) A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，不等式的解集可以为的形式 C. 不等式的解集恰好为，那么 D. 不等式的解集恰好为，那么 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系. 在同一平面直角坐标系中作出函数的图象及直线和，根据函数图象逐项判断即可. 【解答】 解：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象及直线和，如图所示， 由图知，，从而当时，不等式的解集为，故A正确； 当时，不等式的解集为的形式，故B错误； 由的解集为，知， 因此当，时函数值都是b， 由当时函数值是b，得，解得或 当时，由，解得或，不满足，不符合题意， 所以，由，解得或，满足， 此时，故C错误，D正确. 故选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.将集合用列举法表示为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合的表示，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 将方程变形，可得y为偶数且，由此可得结论． 【解答】 解：，且，， 为偶数且， 当时，，当时，，当时， 故答案为： 13.若“ ，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查存在量词命题的否定，基本不等式求最值的应用，属中档题． 根据题意“在上恒成立”是真命题，即，利用基本不等式求出在上的最小值即可. 【解答】 解：命题“，使成立”是假命题， 即“在上恒成立”是真命题， 即，则只需求的最小值即可， ，， 当且仅当，即时等号成立， 故实数的取值范围是 故答案为 14.设复数，满足，，则          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了复数的模的计算，涉及了复数的几何意义的理解和应用，属于中档题. 解题的关键是将转化为向量的模进行求解．根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理即可求解． 【解答】解：设，在复平面内对应的向量为，对应的向量为， 如图所示， 因为， 所以，且三角形为等边三角形， 所以 又因为， 所以， 所以， 所以，故 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知复数，，，i为虚数单位. 若是纯虚数，求实数m的值; 若，求的值. 【答案】解：，， 因为是纯虚数， 所以，解得 因为，则 解得，此时，，所以  【解析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的概念，是基础题． 16.本小题15分 已知，，求和的取值范围； 已知，，求的取值范围. 【答案】解：， 又， ， 又， 设，得 即 而，   【解析】本题考查了不等式的基本性质，属于中档题.  根据不等式的性质求解即可. 由待定系数法配凑后，再利用不等式的性质求解即可得到答案. 17.本小题15分 已知集合，集合，p：，q： 当实数a为何值时，p是q的充要条件； 若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】解：，即， 有，解得，故， 因为p是q的充要条件， 所以， 故的解集也为， 所以，即； 因为p是q的充分不必要条件， 所以A是B的真子集， ①当，此时即或0，符合题意； ②当时，当或时，，即，此时，解得， 由当时，，不合题意，所以 当时，，即，此时，解得， 综上所述a的取值范围为  【解析】本题考查了解二次不等式、充分必要条件与集合的包含关系，属于中档题． 求出集合B，根据p是q的充要条件得到，即可求出a的值； 由题意可得A是B的真子集，分类讨论，解得即可． 18.本小题17分 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设 要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ 要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？精确到米 当AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出最小值． 【答案】解：由题可知，所以， 又，所以，则 ， 所以， ，  ，解得或 ， 因为，所以AN的长的范围为 ． 当且仅当，即时等号成立， 所以当AN为米时周长最小，周长为 ， 当且仅当 ，即时等号成立， 所以当AN为6米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小为48平方米．   【解析】本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，属于中档题． 求出矩形AMPN的长与宽，计算其面积，利用面积大于54平方米，建立不等式，即可求得AN的长的范围； 利用基本不等式，即可求得周长的最小值； 利用基本不等式，即可求得面积的最小值． 19.本小题17分 对于四个正数a，b，c，d，若，那么称是的“不足序列”． 对于3，4，5，7，试求的“不足序列”； 对于四个正数P，Q，R，T，若是的“不足序列”，试判断：，，之间的大小关系，并说明理由； 设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数k，使得是的“不足序列”，且是的“不足序列”，求：正整数n的最小值． 【答案】解：由，，， 所以的“不足序列”为 由是的“不足序列”，得， 则，即， 同理，即， 所以， 由已知得， 又m，n，k均为正整数，则， 即，则， 又对集合内的每个均成立， 则，所以正整数n的最小值为 下证时满足题意，由可知：， 所以， 再由， 可知：， 即对集合内的每个，总存在正整数，满足题意， 所求正整数n的最小值为  【解析】本题考查了新定义的学习和利用，关键掌握读懂新定义，属于难题． 据新定义，代入计算判断即可； 根据新定义得到，再利用不等式的性质，即可判断； 由题意得到得，继而求出，再验证该式对集合内的每个恒成立，继而求出最小值 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$