14.2 三角形全等的判定 课时1 用边角边判定三角形全等 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 课时1 用边角边判定三角形全等 目 录 1. 学习目标 3. 知识点1 三角形全等的判定条件 5. 课堂小结 2. 新课导入 4. 知识点2 三角形全等的基本事实：边角边(SAS) 6. 当堂小练 CONTENTS 7. 拓展与延伸 1. 探索三角形全等的条件. 2. 理解并掌握全等三角形“边角边(SAS)”的判定方法和应用. 3. 了解利用边边角(SSA)不一定能证明三角形全等. 学习目标 知识回顾 什么是全等三角形？ 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形． 全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 已知 △ABC≌△DEF，你能得到哪些边与角相等？ AB = DE，AC = DF，BC = EF． ∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F． 新课导入 我们知道了全等三角形的对应边相等，对应角相等. 反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？ 下面我们从构成三角形的元素——边、角的关系出发，研究三角形全等的判定方法. 思考 新课讲解 知识点1 三角形全等的判定条件 探究 根据全等三角形的定义，如果△ABC与△A'B'C'满足三条边分别相等，三个角分别相等，即 AB=A'B'，BC=B'C'，CA=C'A'， ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'， 就能判定△ABC≌△A'B'C'. 一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？ 新课讲解 ①只给一条边时： ②只给一个角时： 3cm 3cm 45◦ 45◦ 只给一个条件： 只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等. 结论 新课讲解 如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①两边： ②两角； 4cm 4cm 3cm 3cm 两条边对应相等的两个三角形不一定全等. 结论 两个角对应相等的两个三角形不一定全等. 结论 新课讲解 ③一边一角： 4 cm 4 cm 30° 30° 6 cm 30° 6 cm 30° 一条边和该边的邻角分别相等 一条边和该边的对角分别相等 一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等. 结论 新课讲解 两个条件： （1）两角；（2）两边；（3）一边一角． 一个条件： （1）一角；（2）一边． 只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的两个三角形一定全等 . 结论 如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①两边一角； ②两角一边； ③三边； ④三角； 知识点2 三角形全等的基本事实：边角边(SAS) 新课讲解 如图，直观上，如果∠A， AB， AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了，也就是说，在△A′B′C′与△ABC中，如果∠A′ = ∠A， A′B′ = AB， A′C′ = AC，那么△A′B′C′ ≌ △ABC. 这个判断正确吗？ 探究 A′ A′ 新课讲解 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC ≌△DEF（SAS）． 几何语言： AB=DE， ∠B=∠E， BC=EF， 必须是两边夹角，把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来. 三角形全等的基本事实基本事实： 例 新课讲解 1. 如图，AC=AD ，AB平分∠CAD，求证∠C=∠D. 分析：如果证明△ABC≌△ABD，就可以得出∠C=∠D. 由题意可知，△ABC与△ABD具备“边角边”的条件. AB既是△ABC的边又是△ABD的边.我们称它为这两个三角形的公共边. 证明：∵AB平分∠CAD， ∴∠CAB=∠DAB. 在△ABC和△ABD中， AC=AD， ∠CAB=∠DAB， AB=AB， ∴△ABC≌△ABD（SAS）. ∴∠C=∠D. 在书写两个三角形全等的条件“边角边”时，要按照“边→角→边”的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角分别相等. 注意 新课讲解 例 2. 如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD. 求证：△ABC≌△AED． 方法点拨：根据条件找出两个三角形中的两条边及其夹角对应相等，根据“SAS”判定两个三角形全等. 证明：∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，即∠BAC＝∠EAD. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS). 新课讲解 例 3. 如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？ A D B C 解：C，D到B的距离相等. ∵AB是南北方向，CD是东西方向， ∴∠BAD=∠BAC=90°. 在△BAD和△BAC中， AD=AC， ∠BAD=∠BAC， BA=BA， ∴△BAD≌△BAC（SAS）， ∴BD=BC. 新课讲解 练一练 1. 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C. 求证：∠A=∠D. 证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE(SAS)， ∴∠A=∠D. AB=DC， ∠B=∠C， BF=CE， A D B E F C 新课讲解 练一练 2. 如图 ，已知∠1 =∠2，AC =DB，求证∠ABD=∠DCA. 证明：在△ABC与△DCB中， ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴∠ABC=∠DCB. ∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2， 即∠ABD=∠DCA. 新课讲解 练一练 3. 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使得CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ A B C D E 解：由题可知，∠ACB=∠DCE（对顶角相等）. 在△CAB和△CDE中， CA=CD， ∠ACB=∠DCE， CB=CE， ∴△CAB≌△CDE（SAS）. ∴AB=DE， 即DE的长就是A，B的距离. 新课讲解 思考 先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠B=∠B′，AC=A′C′（即两边及其中一边的对角分别相等），此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？ A B C B′ C′ A′ 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 结论 新课讲解 证明三角形全等要善于挖掘图中隐藏的相等的边和角， 其中出现相等的边的情况有：①公共边，②线段的中点，③等边加减等边； 出现相等的角的情况有：①公共角，②对顶角，③角平分线，④等角加减等角，⑤平行线的性质，⑥垂直，⑦余角、补角的性质，⑧全等三角形的性质. 因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 方法总结 课堂小结 三角形全等的判定 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”). 为证明线段和角相等提供新的证法. 内容 边角边 1.已知两边，必须找夹角； 2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边. 应用 注意 当堂小练 1. 判断下列结论的对错. (1) 有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等. (2) 如图，AD=BC，要根据“SAS”判定△ABD≌△BAC，还需要添加的条件是∠D=∠C. (3) “SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角. A C B D O 需要添加∠DAB=∠CBA 当堂小练 2. 根据图中所给定的条件，可知全等三角形是 ( ) B A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. 以上都不对 当堂小练 3. 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　) A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF C 当堂小练 4. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，下列选项中添加的条件能使△ADF≌△CBE的是 (　 　) A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE B 当堂小练 5. 如图，AB=AC，利用“SAS”判定△ADC≌△AEB，需要添加什么条件，请证明你的结论. 解：由题可知∠A=∠A，AB=AC， 利用“SAS”判定，需要∠A的另一对 应边相等，即AD=AE.证明如下： 在△ADC和△AEB中， ∴ △ADC≌△AEB（SAS）. B D A F C E AC=AB， ∠A=∠A， AD=AE， 当堂小练 证明： ∵ AB//DE， ∴∠A=∠D. ∵AF=DC， ∴ AF+FC=DC+CF， 即AC=DF. 6. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB//DE，AB=DE，AF=DC.求证：BC//EF. B A D E C F 由平行得角相等 在△ABC和△DEF中， AB=DE， ∠A=∠D， AC=DF， ∴ △ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB=∠DFE，BC//EF. 当堂小练 7. 如图，已知AB=CD，BC=DA，E, F是AC上的两点，且AE=CF，写出DE和BF之间的关系，并证明你的结论. 解：DE=BF，DE//BF. 证明如下： 在△ADC和△CBA中， CD=AB， DA=BC， AC=CA， ∴ △ADC≌△CBA（SSS）. ∴∠DAC=∠BCA. A B D E F C 在△ADE和△CBF中， AD=CB， ∠DAC=∠BCA， AE=CF， ∴ △ADE≌△CBF（SAS）. ∴∠DEA=∠BFC，DE=BF. ∴∠DEC=∠BFE，DE//BF. 拓展与延伸 1. 如图，在，中， ，， ，，， 三点在同一直线上，连接， ，以下四 个结论； ；； .其中结论正确的是________.（把正确 结论的序号填在横线上）. 解析： ， ， 即. 在和 中， ， ，， ，故①正确； ②由题知 为等腰直角三角形， ， . ， ， ，故②不正确； 拓展与延伸 1. 如图，在，中， ，， ，，， 三点在同一直线上，连接， ，以下四 个结论； ；； .其中结论正确的是________.（把正确 结论的序号填在横线上）. ①③④ 解析： ， ， ， ，故③正确； ， ，故④正确. 拓展与延伸 2. 如图，四边形ABCD、四边形BEFG均为正方形，连接AG，CE，AG与BC，CE分别交于点M，点N. (1) 求证：AG=CE； (2) 求证：AG⊥CE. A B C D M N G F E 证明：(1) ∵四边形ABCD、四边形BEFG均为正方形， ∴AB=CB，GB=EB，∠ABC=∠GBE=90°. ∵∠ABC=∠GBE， ∴∠ABC+∠CBG=∠GBE+∠CBG， 即∠ABG=∠CBE. 在△ABG和△CBE中， AB=CB, ∠ABG=∠CBE, GB=EB, ∴ △ABG≌△CBE（SAS）， ∴AG=CE. (2) ∵△ABG≌△CBE， ∴∠GAB=∠ECB. ∵∠ABC=∠GBE=90°. ∴在△ABM中,∠AMB+∠GAB=90°. ∵∠AMB=∠CMN , ∠GAB=∠ECB， ∴∠AMB+ ∠GAB=∠CMN+∠ECB. ∴ ∠CMN+∠ECB=90°， ∴∠CNM=90°，即AG⊥CE. $$