14.1 全等三角形及其性质 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 目 录 1. 学习目标 3. 知识点1 全等形 6. 课堂小结 2. 新课导入 4. 知识点2 全等三角形 7. 当堂小练 CONTENTS 5. 知识点3 全等三角形的性质 8. 拓展与延伸 1. 理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质. 2. 能正确表示两个全等三角形，能找准全等三角形的对应边、对应角. 3. 能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题. 学习目标 知识回顾 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线. 三角形的中线的定义 在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 三角形的角平分线的定义 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高. 三角形的高的定义 知识回顾 三角形内角和定理 三角形的内角和等于180. 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的性质定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的判定定理 三角形外角性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形外角和 三角形的每一个顶点处有两个外角，它们互为对顶角，一个三角形共有六个外角.在每个顶点处各取个外角，则三角形的外角和为360. 新课导入 观察下列几组图形，他们的形状和大小有什么特点？ 1、形状相同；2、大小相同；3、能够完全重合. 归纳 新课导入 你能再举出一些类似的例子吗？ 新课讲解 知识点1 全等形 观察每组中的两个图形有什么特点？ ① ② ③ ④ ⑤ 形状、大小完全相同 形状相同、大小不同 形状、大小均不相同 思考 新课讲解 将△ABC沿直线BC平移得到△DEF，两个三角形之间有什么关系？ A B C D E F 1. △ABC与△DEF大小相等. 2. △ABC与△DEF形状相同. 3. △ABC与△DEF完全重合. 结论：一个图形经过平移后，位置发生变化，但是大小、形状没有发生变化，平移前后的图形是全等形. 思考 新课讲解 将△ABC沿直线BC翻折180°得到△DBC，两个三角形之间有什么关系？ 1、△ABC与△DEF大小相等. 2、△ABC与△DEF形状相同. 3、△ABC与△DEF完全重合. 结论：一个图形经过翻折后，位置发生变化，但是大小、形状没有发生变化，翻折前后的图形是全等形. 思考 新课讲解 将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，两个三角形之间有什么关系？ 1、△ABC与△DEF大小相等. 2、△ABC与△DEF形状相同. 3、△ABC与△DEF完全重合. 结论：一个图形经过旋转后，位置发生变化，但是大小、形状没有发生变化，旋转前后的图形是全等形. 思考 新课讲解 能够完全重合的两个图形叫作全等形. 全等形定义： 全等形的特征：“两相同”与“两无关”. (1)“两相同”：①形状相同；②大小相同. (2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关. 全等变换的常见方式：平移、翻折、旋转. 1.完全重合说明两个图形的周长和面积相等. 2.周长或面积相等的两个图形不一定是全等形. 注意 例 新课讲解 1. 请观察下面的6组图形(如图14.1-1)，其中是全等形的是________(填序号) ①⑤⑥ 解：①⑤⑥中的两个图形的形状、大小都相同，是全等形； ②③中的两个图形的大小都不相同，不是全等形； ④中的两个图形的形状不同，不是全等形. 新课讲解 练一练 1. 下列各组图形是全等形的是（ ） 两个图形的形状不相同 两个图形的形状相同，大小相同 两个图形的形状不相同 两个图形的形状相同，大小不相同 B 新课讲解 练一练 2. 下列说法中，正确的是( ) A． 形状相同的两个图形一定全等 B． 两个长方形是全等形 C． 两个正方形一定是全等形 D． 两个全等形的面积一定相等 D 知识点2 全等三角形 新课讲解 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 全等三角形的定义： E D F A B C 新课讲解 △ABC≌△DEF A　 B C F E D 全等的表示方法 “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. 读作“三角形ABC全等于三角形DEF”. 注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上. 新课讲解 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角. 例如，右图中△ABC≌△DEF， 点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点； AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边； ∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 全等三角形中的对应元素 A B C D E F 例 新课讲解 2. 如图，△ABC≌△BAD，请指出两个全等三角形的对应边和对应角. 解：对应边：AB与BA，BC与AD，AC与BD. 对应角：∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD，∠C与∠D. 新课讲解 例 3. 如图，将△ ABC 绕其顶点B 顺时针旋转一定角度后得到△ DBE，请判断图中△ ABC 和△ DBE 是否为全等三角形. 若是，写出其对应边和对应角. 方法点拨：根据图形旋转前后的对应位置找对应关系. 解：△ ABC ≌△ DBE. 对应边：AB 和DB，AC 和DE，BC 和BE. 对应角：∠ A 和∠ BDE，∠ ABC 和∠ DBE，∠ C 和∠ E. 新课讲解 练一练 1. 如图，△ AOC ≌△ BOD，C，D 是对应顶点，下列结论错误的是 ( ) A. ∠ A 与∠ B 是对应角 B. ∠ AOC 与∠ BOD 是对应角 C. OC 与OB 是对应边 . OC 与OD 是对应边 C 新课讲解 练一练 2. 如图，将△ABC沿直线BC向右平移，得到△DEF，这两个三角形是否全等？若全等，请表示出来，并指出这对全等三角形的对应边和对应角． 解：全等，△ABC≌△DEF. 对应边：AB和DE，AC和DF，BC和EF； 对应角：∠A和∠D，∠B和∠DEF，∠ACB和∠F. 新课讲解 全等三角形中对应元素的确定方法 1. 字母顺序法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角. 2. 图形位置法： (1)公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边； (2)对应角所对的边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (3)对应边所对的角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. 3. 图形特征法： (1)最长边对应最长边，最短边对应最短边； (2)最大角对应最大角,最小角对应最小角. 方法总结 知识点3 全等三角形的性质 新课讲解 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. ∵ △ABC≌△DEF， ∴ AB=DE，AC=DF，BC=EF(全等三角形的对应边相等）， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F(全等三角形的对应角相等）. 全等三角形性质的几何语言 A　 B C F E D 全等三角形的性质： 新课讲解 例 4. 如图，已知△ ABC ≌△ EDF，求证：(1)DC=BF； (2)AC∥EF. 方法点拨： 证明：(1) ∵△ ABC ≌△ EDF， ∴ DF=BC. ∴ DF－CF=BC－CF，即DC=BF. (2) ∵△ ABC ≌△ EDF， ∴∠ACB= ∠EFD. ∴ AC∥EF. 新课讲解 例 5. 如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，∠BAC=65，∠ABC=26，AC，BD的延长线相交于点E. 求∠CBD，∠AEB的度数. 解：∵， ∴. ∴. 在中，， ∴ . E　 B　 A　 D　 C　 新课讲解 练一练 1. 如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，且点B，E，C在同一条直线上，试判断AE和DE的关系，并证明你的结论． 解：AE＝DE，AE⊥DE.证明如下： ∵∠B＝90°， ∴∠A＋∠AEB＝90°. ∵Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴AE＝DE，∠A＝∠DEC. ∴∠DEC＋∠AEB＝90°. ∴∠AED＝90°，即AE⊥DE. 新课讲解 练一练 2. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度数. 解：∵△ADB ≌△EDB ≌△EDC， ∴∠ABD= ∠EBD= ∠C，∠A= ∠BED= ∠CED. 又∵∠BED＋∠CED=180 ， ∴∠ BED= ∠CED=90. ∴∠A=90. ∴∠ ABD＋∠ EBD＋∠ C=180－∠ A=90. ∴ 3∠ C=90 . ∴∠ C=30. 利用全等三角形的性质求角的度数的方法 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出所要求的角的度数. 方法点拨 新课讲解 全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用方法，关键是抓住“对应”两字，结合图形或表达式中字母的对应位置，灵活地找到对应边或对应角. 总结 1. 全等三角形的对应元素相等. 2. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 拓展 课堂小结 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 对应边相等 性质 全等 定义 对应角相等 全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫作全等形. 性质 定义 如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等. 当堂小练 1. 下列各组图形是全等形的是（ ） D 当堂小练 2. 有下列说法： ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同 ； ③两个正方形一定是全等形； ④边数相同的图形一定能够重合. 其中错误说法的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 形状大小相同的图形均能完全重合 形状相同，大小不一定相同 形状大小都不一定相同 B 当堂小练 3. 判断题： (1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.（ ） (2)全等三角形的周长相等，面积也相等.（ ） (3)面积相等的三角形是全等三角形.（ ） (4)周长相等的三角形是全等三角形.（ ） √ √ × × 当堂小练 4. 如图，△ABC≌△BDE，∠A和∠EBD，∠C和∠E是对应角. 说出这两个三角形的对应边和另一组对应角. 解：对应边有AC与BE，CB与ED，AB与BD； 对应角还有∠CBA和∠D. 当堂小练 5. 在△ABC中，∠B = ∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100，那么在△ABC中与100角对应相等的角是（ ） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 分析：△ABC为等腰三角形，等腰三角形的底角不可能为钝角。所以∠A=100. A 当堂小练 6. 图中有两个全等三角形，其中的小写字母表示三角形的边长，则∠1等于多少度？ 解：由题得， △ABC≌△DEF， ∴∠1=∠C. 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180， ∴∠C=180-∠A-∠B =180-60-54=66. ∴∠1=66. a c b A　 B　 C　 b c F　 E　 D　 a 当堂小练 7. 如图，△ABC≌△DEC，CA与CD，CB与CE是对应边.∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？ 解：∠ACD和∠BCE相等，理由如下： ∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB=∠DCE. ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE， 即∠ACD=∠BCE. A　 E　 B　 C　 D　 当堂小练 8. 如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角，在△EFG中，FG是最长边.在△NMH中，MH是最长边，且EF=2.1 ，EH=1.1 ，NH=3.3 . (1) 写出其他对应边及对应角； (2) 求线段NM及线段HG的长度. 解：(1)对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH； 对应角有∠E和∠N，∠EGF和∠NHM. (2)∵△EFG≌△NMH， ∴NM=EF=2.1 ，EG=NH=3.3. ∴HG=EG –EH=3.3 – 1.1=2.2. 拓展与延伸 D 解：(1) ∵△BAD≌ACE， ∴BD=AE，AD=CE. ∵AE=AD+DE， ∴BD=AD+DE=DE+CE. 如图，点A、D、E在同一条直线上，且△BAD≌△ACE. (1) 试说明BD=DE+CE； (2) △BAD满足什么条件时，BD//CE？并说明理由. D B E A C (2) 当△BAD满足∠ADB=90时，BD//CE.理由如下： ∵△BAD≌ACE， ∴∠ADB=∠CEA. 若∠ADB=90，则∠CEA=90，∠BDE=90. ∵∠BDE=∠CEA， ∴BD//CE. $$